"Решение задач с помощью пропорций"

Урок математики в 6-м классе по теме: "Решение задач с помощью пропорций" Учитель: Изгаршева Татьяна Викторовна.

Цель урока: используя ранее изученный материал систематизировать, обобщить и закрепить навыки решения задач с помощью пропорций; развивать познавательный интерес к математике.

Задачи: - обучающие: (формирование познавательных и логических УУД) развивать умение работать с математическим текстом, владение базовым понятийным аппаратом; закрепить овладение практически значимыми математическими умениями и навыками, их применение к решению математических задач, предполагающее умение: выполнять устные и письменные вычисления; проводить практические расчеты;

 - развивающие: (формирование регулятивных УУД) развивать умение ставить перед собой цель – целеполагание, как постановку учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно и усвоено учащимися, и того, что еще неизвестно; развитие познавательного интереса;

- воспитательные: (формирование коммуникативных и личностных УУД) развивать навыки самостоятельной работы и коммуникативные способности учащихся,  повышать познавательный интерес учащихся к изучаемому предмету.

Тип урока: Урок обобщения и систематизации знаний

Вид урока: Комбинированный

Материально-техническое обеспечение урока: компьютер учителя, проектор, презентация, карточки с заданиями.

ХОД УРОКА

Организационный момент

• 
  Проверка готовности класса к уроку;

• 
  Сообщение темы и цели урока.

С какими величинами мы с вами познакомились на прошлых уроках?

Какие величины называются прямо пропорциональными?

Какие величины называются обратно пропорциональными?

Приведите примеры величин, которые не являются пропорциональными.

Какую цель мы сегодня ставим себе на уроке?

Устные задания:

= 20 = 90 =12 = 26

Проверка домашнего задания на доске. №2(б)

Задание в парах: разделите число в данном отношении:

480 в отношении 4 : 8 Ответ: 160 и 320

320 в отношении 2 : 6 Ответ: 80 и 240

250 в отношении 2 : 3 Ответ: 100 и 150

120 в отношении 4 : 2 Ответ: 80 и 40

Как мы видим проще такие задачи решать по действиям.

Вспомним какой алгоритм решения задач с помощью пропорций.

1. За 6 ч поезд прошел 480 км. Какой путь прошел поезд за первые 2 ч, если его скорость была постоянна.

Составим краткую запись условия задачи:

В процессе устного обсуждения выясняем, что время и путь уменьшились в одно и то же число раз, так как при постоянной скорости эти величины прямо пропорциональны.

Затем, составляем пропорцию и решаем её: ; Х= 160 (км)

2. Расстояние между городами пассажирский поезд прошел со скоростью 80 км/ч за 3 ч. За сколько часов товарный поезд пройдет то же расстояние, со скоростью 40 км/ч?

Решение.

В процессе устного обсуждения выясняем, что скорость уменьшилась, а время увеличилось в одно и то же число раз, следовательно, эти величины при одном и том же расстоянии являются обратно пропорциональными.

(ч)

3. За 2 ч поймали 12 карасей. Сколько карасей поймали за 3 ч?
В процессе устного обсуждения выясняем, что количество пойманной рыбы и время не являются пропорциональными величинами, а значит решить нельзя.

Я попрошу одного желающего выйти к доске. В таблице надо определить, какие зависимости представлены: прямо пропорциональные, обратно пропорциональные или нет пропорциональной зависимости.

Задача	Прямо-пропор	Обратно-пропор	Нет зависи мости
1.За 2 кг картошки заплатили 100 рублей. Сколько стоят 8 кг картошки?	+
2.Два трактора вспахали поле за 6 дней. За сколько дней вспашут это поле 4 трактора, если будут работать с той же производительностью?		+
3.В 30 лет человек весит 76 кг. Сколько будет весить этот же человек в 45 лет?			+
4. Для перевозки груза потребовалось 24 машины грузоподъемностью 7,5 т. Сколько нужно машин грузоподъемностью 4,5 т, чтобы перевезти тот же груз?		+

Посмотрите на ваши карточки, давайте определим, про какую пропорциональную зависимость говорится в каждой задаче?

Задачи на прямую и обратную пропорциональную зависимость.

П 1.Масса 15 одинаковых деталей составила 45 кг. Какова масса 12 таких деталей?

П 2.За 3 ч машина проехала 240 км. За сколько часов она проехала бы 560 км, если бы ехала с той же скоростью?

О 3.Самолёт пролетел расстояние между двумя аэродромами за 6 ч со скоростью 800 км/ч. За сколько времени пролетит это расстояние другой самолёт, скорость которого 1200 км/ч?

П 4.На 20 км пути машина расходует 4 л горючего. Каков расход горючего на 110 км пути

О 5.Для отопления здания заготовлено угля на 180 дней при норме расхода 0,6 т угля в день. На сколько дней хватит угля, если его расходовать ежедневно по 0,5 т?

П 6.На изготовление 14 деталей расходуется 70 кг металла. Сколько потребуется металла на изготовление 27 таких деталей?

О 7.На участке дороги бетонные плиты длиной 6 м заменили новыми длиной 8 м. Сколько нужно новых плит для замены 240 старых?

О 8.Для перевозки груза машине грузоподъёмностью 6 т надо сделать 10 рейсов. Сколько придётся сделать рейсов машине, грузоподъёмностью 4 т, чтобы перевезти этот груз?

Физкультминутка.

Есть ещё много задач, которые мы можем решить пропорцией и по действиям.

Откройте учебники на стр.158

Пример 9. Одновременно из пунктов А и В, расстояние между которыми 14 км, друг за другом отправились пешеход и велосипедист. Скорость пешехода равна 5 км/ч, а скорость велосипедиста 12 км/ч. На каком расстоянии от пункта В велосипедист догонит пешехода?

Решение (по старому): 1) 12 – 5 = 7 (км/ч) скорость сближения

2) 14 : 7 = 2 (ч) догонит

3) 5 · 2 = 10 (км) пройдёт пешеход

Решение(пропорцией): х км пройдёт пешеход, (14 + х ) км проедет велосипедист.

Поскольку при данном времени расстояние прямо пропорционально скорости, то получим

Расстояние скорость

↓ (14 + х) км 12 км/ч ↓

х км 5 км/ч

5(14 + х) = 12х 70 + 5х = 12х 12х – 5х = 70 7х = 70 х = 10 (км)

А теперь в парах отрабатываем решение задач на карточках.

1. детали вес

↓ 15 45 ↓

12 х

кг

2. время путь

↓ 3 240 ↓

х 560

ч

3. время скорость

↓ 6 800 ↑

х 1200

ч

4. путь топливо

↓ 20 4 ↓

110 х

л

5. дни уголь

↓ 180 0,6 ↑

х 0,5

дней

6. детали металл

↓ 14 70 ↓

27 х

кг

7. плиты длина

↓ 240 6 ↑

х 8

плит

8. грузоподъёмность рейсы

↓ 6 10 ↑

4 х

рейсов

А теперь поиграем, отгадайте какую зависимость отражают данные пословицы (называю вразнобой)

Пословицы, отражающие прямую зависимость: 

1. Чем дальше в лес, тем больше дров.

2. Как аукнется, так и откликнется.

3. Много снега, много хлеба.

4. Кто рано встаёт, тому Бог подаёт.

5. Как потопаешь, так и полопаешь.

6. Выучишь правило, выполнишь верно задание.

7. Кто много читает, тот много знает.

Пословицы, отражающие обратную зависимость: 

1. Тише едешь, дальше будешь.

2. Мир строит, а война разрушает.

3. Меньше народа, больше кислорода.

4. Лето собирает, зима съедает.

5. Было густо, стало пусто.

6. Мал грех, да большую вину несёт.

7. С большого грома – малый дождь.

8. Меньше слов – больше дела.

Рефлексия А теперь я бы хотела, чтобы вы продолжили мне фразу:  

Сегодня на уроке…

             Теперь я знаю…

            Мне на уроке…

И, последнее, о чем я хочу вас сегодня попросить: возьмите, пожалуйста, на своих столах магнитики и прикрепите их на доске к изображению смайлика, которое соответствует вашему настроению

Подведение итогов урока: оценивание, выставление отметок.

Карточка для учащихся 7 вида (индивидуально)

Вычисли:

= = = = =

Алгоритм решения задач с помощью пропорций.

1.Внимательно прочитать задачу.

2.Выделить в задаче две величины.

3.Сделать краткую запись условия задачи.

4.Определить вид зависимости (прямая или обратная).

5.Составить пропорцию и решить её.

Задачи:

1. Для варки варенья из вишни на 6 кг ягод берут 4 кг сахарного песку. Сколько килограмм сахарного песку надо взять на 12 кг ягод? [8 кг].

2. Пять маляров могли бы покрасить забор за 8 дней. За сколько дней покрасят тот же забор 10 маляров? [4 дня].

3. В 100 граммах раствора содержится 4 грамма соли. Сколько граммов соли содержится в 300 граммах раствора? [12 г].

4. 4 комбайна могут убрать пшеницу с поля за 10 дней. За сколько дней уберут это поле 8 комбайнов? [5 дн].
   
   

Дополнительный материал (если останется время)

Давайте немного отвлечемся от задач и послушаем о золотой пропорции? Кто то, знает, что это такое?

«Есть вещи, которые нельзя объяснить. Например, ученые установили следующее. Вот Вы подходите к пустой скамейке и садитесь на нее. Где Вы сядете – посередине? Или, может быть, с самого края? Нет, скорее всего, не то и не другое. Вы сядете так, что отношение одной части скамейки к другой, относительно Вашего тела, будет равно 1,618. Простая вещь, абсолютно инстинктивная… Садясь на скамейку, Вы произвели «золотую пропорцию».

Итак, Золотая пропорция = 1 : 1,618 и это вовсе не математический вымысел.

Странная, загадочная, необъяснимая вещь: эта божественная пропорция мистическим образом сопутствует всему живому. Но Вы непременно увидите эту пропорцию и в изгибах морских раковин, и в форме цветов, и в облике жуков, и в красивом человеческом теле. Леонардо Да Винчи перед тем как создавать свои шедевры брал параметры человеческого тела, созданного по закону Золотой пропорции. Пропорции различных частей нашего тела составляют число, очень близкое к золотой пропорции. Если эти пропорции совпадают с формулой золотого сечения, то внешность или тело человека считается идеально сложенными. Все живое и все красивое – все подчиняется божественному закону, имя которому – «золотая пропорция».

О «золотой пропорции» знали еще в древнем Египте и Вавилоне, в Индии и Китае. Великий Пифагор создал тайную школу, где изучалась мистическая суть «золотой пропорции». Платон рассказывал, что Вселенная устроена согласно «золотой пропорции». Высшую гармонию «золотой пропорции» будут проповедовать Леонардо да Винчи и Микеланджело, ведь красота и «золотая пропорция» – это одно и тоже.

«Золотая пропорция» это продукт закона природы, основанный на правилах пропорциональности.

Художники, ученые, модельеры, дизайнеры делают свои расчеты, чертежи или наброски, исходя из соотношения золотой пропорции. Они используют мерки с тела человека, сотворенного  по принципу золотой сечения.

В математики есть понятие золотого прямоугольника. Как вы думаете, какое условие должно быть выполнено, чтобы прямоугольник был золотым? Его длинные стороны соотносятся с короткими сторонами в соотношении 1,618 : 1.

Золотой прямоугольник ab=1,6181 

Давайте немного побудим в роли художников. У вас в рабочих листах построен отрезок, измерьте его длину, и для него найдите соответствующую ширину (результат округлите до десятых), и постройте прямоугольник, чтобы он получился золотым.

Длина а=4,5см

Пропорция 4,5x=1,6181

х≈2,7см