Разработка открытого урока " Решение квадратных уравнений"

Цели урока:

1. Дидактические :

2. повторить, обобщить знания по теме «Квадратные уравнения»;учить сравнивать, делать выводы; показать практическое приложение темы.

1. Развивающие:

развивать логическое мышление и мировоззрение учащихся.

1. Воспитательные:

Воспитание у школьников устойчивого интереса к математике.

Устная работа.

1. Вопросы классу:

– Дайте определение квадратного уравнения.

– Какое уравнение является неполным?

– Как решаются неполные квадратные уравнения?

– Какими способами можно решить полное квадратное уравнение?

– Запишите формулы, с помощью которых решают полные квадратные уравнения.

 Решить уравнения 

2х² – 18 = 0

3х² – 12х = 0

2,7х² = 0

х² + 16 = 0

6х² – 18 = 0

х² – 5х = 0

Какое из уравнений этой группы будет лишним?Почему?

х² – 5х + 1 = 0

9х² – 6х + 10 = 0

х² + 2х – 2 = 0

х² – 3х – 1 = 0

– Какое квадратное уравнение называют приведенным?

– каким способом можно решить приведенное квадратное уравнение?

I.

Выполните следующие задания.

1) Решить уравнение:

(х – 2)(х + 2) = 7х – 14;                              

2) Решить уравнение:

5(х + 2)² = – 6х – 44

3)Докажите, что для любого значения d уравнение

(d – 3)х² + (d + 2)х + 1 = 0 имеет два корня.

Задержимся на поляне теоремы Виета и выполним несколько заданий.

1.Составить приведенное квадратное уравнении, корнями которого являются числа х₁ = 7, х₂ = 2.

2.Найти подбором корни уравнений.

1) х² – 6х + 8 = 0

2) х² – 2х – 15 = 0

3) х² – 15х + 36 = 0

4) х² – 9х + 20 = 0

5) х² + 11х – 12 = 0

Самостоятельная работа.

1 вариант.

х² – 14х + 33 = 0

35 – у² = 0

60а + а² = 0

2 вариант.

х² – 12х – 45 = 0

4,5у – у² = 0

а² –  12 = 0

III. Покинув поляну теоремы Виета и двигаясь дальше, мы подходим к распутью трех дорог. А здесь стоит тысячелетний камень с надписью:

«Налево пойдешь – домой попадешь,

Направо пойдешь – работу найдешь,

Прямо пойдешь – в прошлое забредешь».

Предлагаю разделиться.

Задача: Дочь-восьмиклассница возвращается домой:

– Мамочка, мы всем классом к

8 марта решили обменяться фотоснимками.

– Это хорошо. Память будет. Но это ж сколько фото надо?

– А мы сосчитали – 650. Нас в классе ....

– Подожди не говори. Я сама сосчитаю.

– Так сколько учеников в классе?

Решим одну из задач знаменитого индийского математика ХII века Бхаскары.

Обезьянок резвых стая,

Власть поевши, развлекалась.

Их в квадрате часть восьмая

На поляне забавлялась.

А 16 по лианам

Стали прыгать, повисая.

Сколько было обезьянок,

Ты скажи мне в этой стае?

Задание: Создан проект теплицы. На ее покрытие имеется 89 м² полиэтиленовой пленки. Заданы размеры теплицы: высота – 2 м, длина – 5 м, наклон крыши - 45°. Найдите такую ширину теплицы, чтобы оптимально использовать пленку.

Тип урока: повторительно - обобщительный

Форма проведения: туристический поход – путешествие по Стране квадратных уравнений.

Эпиграф к уроку: "Предмет математики настолько серьезен, что полезно не упускать случая делать его немного занимательным".

Паскаль

Цели урока:

1.Дидактические

Повторить, обобщить знания по теме «Квадратные уравнения»;

учить сравнивать, делать выводы;

показать практическое приложение темы.

2.Развивающие

Развивать логическое мышление и мировоззрение учащихся.

3.Воспитательные:

Воспитание у школьников устойчивого интереса к математике.

Ход урока.

Организационный момент.

Мой юный друг!

Сегодня ты пришел вот в этот класс,

Чтоб посидеть, подумать, отдохнуть,

Умом своим на все взглянуть.

Пусть ты не станешь Пифагором,

Каким хотел бы, может быть,

Но будешь ты рабочим, а может и ученым,

И будешь, я надеюсь, математику любить.

Ребята, сегодня у нас не совсем обычный урок. Сегодня каждый из вас имеет возможность получить оценку за урок по результатам работы на различных его этапах. Для этого у вас на партах лежат карты результативности, в которые вы будете фиксировать свой успех в баллах. И еще один не обсуждаемый закон: для ответа на поставленный вопрос вы поднимаете руку и ни в коем случае не перебиваете друг друга. Желаю всем удачи. Мы с вами отправляемся в путешествие по одной математической стране. А как она называется, вы сможете узнать, если выполните следующее задание.

Карта результативности.

Решить анаграммы (в словах изменен порядок букв). Какие слова зашифрованы?

таиимдкирнн (дискриминант)

ренунеави (уравнение)

эцнткфиеофи (коэффициент)

биерагпол (гипербола)

ерпенаемня (переменная)

– Исключите лишнее слово по смыслу (гипербола).

– Что объединяет остальные слова? (квадратные уравнения)

Историческая справка. Сообщения учащихся. Молодцы. Кстати, а вы знаете, когда появились первые квадратные уравнения? Очень давно. Их решали в Вавилоне около 2000 лет до нашей эры. Итальянский ученый Леонард Фибоначчи изложил формулы квадратного уравнения. И лишь в 17 веке, благодаря Ньютону, Декарту и другим ученым эти формулы приняли современный вид. А с каким еще понятием мы постоянно сталкиваемся при решении квадратных уравнений? С дискриминантом .А вот понятие D придумал английский ученый Сильвестр, он называл себя даже “математическим Адамом” за множество придуманных терминов. А зачем он нам нужен? Он определяет число корней квадратного уравнения.

Да, сегодня мы с вами отправимся в туристический поход по Стране квадратных уравнений. Вспомним и обобщим все те знания, которые вы получили на предыдущих уроках, готовясь к этому «походу».

Итак, откройте тетради и запишите тему урока «Решение квадратных уравнений».

Устная работа.

Для того, чтобы поход был успешным, необходимо теоретически исследовать территорию путешествия.

1. Вопросы классу:

– Дайте определение квадратного уравнения.

– Какое уравнение является неполным?

– Как решаются неполные квадратные уравнения?

– Какими способами можно решить полное квадратное уравнение?

– Запишите формулы, с помощью которых решают полные квадратные уравнения.

– Решить уравнения (устно):

2х² – 18 = 0

3х² – 12х = 0

2,7х² = 0

х² + 16 = 0

6х² – 18 = 0

х² – 5х = 0

4х² + 36 = 0

12 + 4х² =0

– Какое из уравнений этой группы будет лишним? Почему?

х² – 5х + 1 = 0

9х² – 6х + 10 = 0

х² + 2х – 2 = 0

х² – 3х – 1 = 0

– Какое квадратное уравнение называют приведенным?

– каким способом можно решить приведенное квадратное уравнение?

Поход начался.

I. Итак, вы готовы к путешествию. Отправляемся в путь!

Мы подошли к границе Страны квадратных уравнений. Для того, чтобы нам разрешили ее пересечь, необходимо выполнить следующие задания.

а) Докажите, что для любого значения d уравнение (d – 3)х² +× (d + 2)х + 1 = 0 имеет два корня. (Один ученик работает у доски с комментированием, остальные – работают в тетради).

в) Определите, при каких значениях m и n уравнение (х – m)(х – n) = m² имеет корни.

(задания б) и в) два ученика выполняют самостоятельно у доски, остальные – в тетради).

Дополнительные вопросы ученикам, отвечающим у доски:

– Сколько корней имеет уравнения:

х² – 1 = 0

(у – 2)² + 4 = 0

(m – 1)² = 0

(Пока учащиеся выполняют это задание, несколько учеников получают индивидуальные карточки-задания, затем сдают на проверку).

Карточка 1.

Определите знаки корней уравнения (если они существуют), не решая уравнения:

а) х² + 10х + 17 = 0

б) у² – 13х – 11 = 0

в) 5х² – 17х + 93 = 0

Карточка  2 – смотри документ.

Карточка 3.

При каком значении а уравнение х² – ах + 9 = 0 имеет два равных корня?

Карточка 4.

Решить уравнения:

а) (х – 2)(х + 2) = 7х – 14;                               б) 5(х + 2)² = – 6х – 44

Карточка 5.

Решите относительно х уравнение: сх² – 6сх + 3х = 15 – 5с.

II. Продвигаясь вглубь по стране, мы подходим к поляне, которая носит название вам известной теоремы. (стихотворение заранее готовится одним из учеников).

По праву достойна в стихах быть воспета

О свойствах корней теорема Виета.

Что лучше, скажи, постоянство такого:

Умножишь ты корни – и дробь уж готова:

В числителе с в знаменателе а.

А сумма корней тоже дроби равна:

Хоть с минусом дробь, что за беда

В числителе b, в знаменателе а.

Вопросы к классу:

– Сформулируйте теорему Виета для приведенного квадратного уравнения.

– Сформулируйте теорему, обратную теореме Виета.

Самостоятельная работа.

1 вариант.

х² – 14х + 33 = 0

35 – у² = 0

60а + а² = 0

2 вариант.

х² – 12х – 45 = 0

4,5у – у² = 0

а² –  12 = 0

(Учащиеся обмениваются тетрадями – взаимопроверка).

Задержимся на поляне теоремы Виета и выполним несколько заданий.

а) При каких значениях d корни уравнения (d – 3)х² + (d + 2)х + 1 =0 будут взаимно противоположными числами?

б) Составить приведенное квадратное уравнении, корнями которого являются числа х₁ = 7, х₂ = 2.

в) найти с в уравнении х² + 12х + с = 0, если известно, что разность квадратов корней равна 288.

(Задания б) и в) два ученика выполняют самостоятельно у доски).

Дополнительные вопросы:

Найти подбором корни уравнений.

а) х² – 6х + 8 = 0

б) х² – 2х – 15 = 0

в) х² – 15х + 36 = 0

г) х² – 9х + 20 = 0

д) х² + 11х – 12 = 0

е) х² + х – 56 = 0

III. Покинув поляну теоремы Виета и двигаясь дальше, мы подходим к распутью трех дорог. А здесь стоит тысячелетний камень с надписью:

«Налево пойдешь – домой попадешь,

Направо пойдешь – работу найдешь,

Прямо пойдешь – в прошлое забредешь».

Предлагаю разделиться.

На поиски работы отправится.... Он испытает себя в роли архитектора (сильный ученик получает карточку с заданием).

Задание: Создан проект теплицы. На ее покрытие имеется 89 м² полиэтиленовой пленки. Заданы размеры теплицы: высота – 2 м, длина – 5 м, наклон крыши - 45°. Найдите такую ширину теплицы, чтобы оптимально использовать пленку.

По левой дороге пойдет .... Внимание на экран (просматривается видеозапись инсценированной задачи).

Задача: Дочь-восьмиклассница возвращается домой:

– Мамочка, мы всем классом к

8 марта решили обменяться фотоснимками.

– Это хорошо. Память будет. Но это ж сколько фото надо?

– А мы сосчитали – 650. Нас в классе ....

– Подожди не говори. Я сама сосчитаю.

– Так сколько учеников в классе?

А все остальные пойдут прямо. Решим одну из задач знаменитого индийского математика ХII века Бхаскары.

Обезьянок резвых стая,

Власть поевши, развлекалась.

Их в квадрате часть восьмая

На поляне забавлялась.

А 16 по лианам

Стали прыгать, повисая.

Сколько было обезьянок,

Ты скажи мне в этой стае?

Итог урока.

На этом, к сожалению, наше путешествие подходит к концу. Поделитесь своими впечатлениями.

Вопросы классу.

– Что нового узнали?

– В какой момент путешествия было наиболее трудно? Почему?

– Что больше всего понравилось и запомнилось? Почему?

- Все ли мы рассмотрели что хотели?

- Пригодятся вам эти знания?

Домашнее задание п. 54. № 483, 484

Благодарю всех членов туристической группы за интересное путешествие. Надеюсь, что в дальнейшем вы также успешно будете путешествовать по другим странам, и не только математическим. Спасибо за урок.

Цель урока:

Закрепить  определения и свойства параллелограмма, ромба, квадрата, прямоугольника;

Совершенствовать навыки решения задач

Воспитывать познавательную активность, умение работать в парах, осуществлять взаимоопрос и взаимопроверку.

Ресурсы: интерактивная доска, карточки с заданиями, рабочая карточка урока.

Форма проведения: комбинированный урок.

Ход урока

I. Просмотр позитивного ролика «Для поднятия настроения».

   Мы изучили с вами тему «Прямоугольник, ромб, квадрат и их свойства. Сегодня мы повторим теоретический материал по теме и рассмотрим ряд задач на применение определений и свойств прямоугольника, ромба, квадрата, параллелограмма.

II. Знакомство с рабочей картой урока

Рабочая карта урока.

Фамилия, имя ______________________________________________

III. Внутренний и внешний круг(взаимоопрос в парах)

1)Каждый придумайте по пять вопросов по теме;

2)Стоя в круге, лицо к лицу, задайте друг другу по пять вопросов, оцените, за 1 правильный ответ – 1 балл.

IV. Теоретическая самостоятельная работа(заполнение «семантической карты)

Заполните таблицу, отметив знаки «+»-да, «-» -нет.(7 баллов)

V. Взаимопроверка работ по готовым ответам

VI. Решение задач по готовым чертежам( за каждую задачу 3 балла)

VII. Проверка решения задач у доски(три ученика)

Ответы: 1) 6см; 2)15º; 3) 60º,60º,120º,120º.

VIII. Трениг «Я желаю, тебе добра, ты желаешь мне добра, мы желаем всем добра».

IX. Решение разноуровневых задач

1. Угол между диагоналями прямоугольника равен 80 º. Найдите углы между диагональю прямоугольника и его сторонами.

(3 балла).

2. В ромбе АВСD биссектриса угла ВАС пересекает сторону ВС и диагональ ВD соответственно в точках М и N. Найдите угол ANB, если угол АМС равен 120 º (5 баллов).

Ответы к задачам

1. Ответ: 50º 40º.

2. Ответ: 110º

X. Составление диаграммы Венна

XI. Подведение итогов урока.

Выставление итоговой оценки за урок по критериям.

.

Цель:   

обобщить и систематизировать знания и умения учащихся решать задачи по теме: «Трапеция. Средняя линия трапеции». Проверить уровень сформированности знаний учащихся по данной теме с помощью тестовых заданий.

Тип: системно-обобщающий

Оборудование: таблица «Трапеция», проектор, карточки, тесты

Сценарий урока

 1. Организационный момент

Учитель. Здравствуйте, ребята!

Сегодня у нас с вами не совсем обычный урок. Необычен он не только тем, что присутствуют гости. Но еще и тем, что сегодня каждый из вас оценит свою работу на уроке с помощью карточки-мониторинга: каждый раз отвечая на вопрос, решая задачу или тест, вы будете отмечать это в карточке, выставляя в соответствующей графе «+». Надеюсь, что сегодня на уроке вас ждет и успех, и радость, и вы сможете показать свою одаренность  и сообразительность.

2. Актуализация опорных знаний учащихся по теме.

А сейчас посмотрите на слайд. Что это за фигуры? Почему?

3. Сообщение темы урока, цели, ожидаемых результатов. (на экране соответствующий слайд)

Учитель. Сегодня на уроке мы обобщим и систематизируем уже имеющиеся знания по этой теме. Результатом нашего урока станет тестирование по данной теме, чтобы подготовиться к нему мы повторим основные понятия и определения, решим несколько задач устно и ответим на вопросы. Полученные знания помогут вам на уроках, экзаменах, в дальнейшей жизни. Итак, давайте начнем:

1. Вспомните выученные четырехугольники, назовите их.

2. Какой четырехугольник называется трапецией?

3. Какие стороны называются основаниями? боковыми сторонами?

4. Дайте определение высоты трапеции.

5. Чему равна сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции?

6. Какие существуют отдельные виды трапеции?

7. Какую трапецию называют равнобокой?

8. Какую трапецию называют прямоугольной?

9. Что называется средней линией трапеции?

10. Сформулировать свойство средней линии трапеции.

11. Перечислить свойства равнобокой трапеции.

(каждый раз правильно ответив на вопрос, ученик ставит себе в карточку мониторинга «+», при этом учитель напоминает: «Поставь себе плюс»)

4. Систематизация и углубление знаний учащихся по теме: «Трапеция. Средняя линия трапеции».

На экране слайд «Геометрия полна приключений, потому что за каждой задачей скрывается приключение мысли. Решить задачу – это значит пережить приключение. (В. Произволов)»
1. Учитель. А теперь, ребята, перейдем к решению задач по готовым рисункам. Не забывайте ставить «+»за верно решенные задачи в карточку-мониторинга.

Рисунки к задачам – презентация «Трапеция. Средняя линия трапеции». При решении задач ответы учащихся оцениваются, поощряется оригинальность решения, многовариантность способов.

Количество решаемых задач определяет учитель, сообразуясь с темпом  учащихся задач и со временем.

5. Проверка уровня знаний учащихся с помощью тренировочного мини-теста «Трапеция. Средняя линия трапеции»

Учитель. Ребята, думаю, что теперь вы готовы ответить на вопросы мини-теста, с выбором только одного правильного ответа. Необходимые вычисления вы делаете в черновиках,  исправления и зачеркивания в ответах приравниваются к ошибке. Время выполнения мини-теста – 6 минут. Приступайте.

На экране слайд «Хочешь быть счастливым всю жизнь – будь честным человеком. Т. Фуллер»

 (Мини-тест состоит из шести заданий, правильный  ответ за каждое задание  оценивается  в один балл)

Мини-тест

ВАРИАНТ 1

Один из углов равнобокой трапеции равен 30º. Найдите неизвестные углы трапеции.    

Острый угол прямоугольной трапеции в 8 раз меньше её тупого угла. Найдите эти углы.                           

Основания трапеции 5 см и 9 см. Найдите её среднюю линию.

В трапеции средняя линия равна 7 см, а меньшее основание равно 3 см. Найдите большее   основание трапеции.            

Подведение итогов. Оценивание знаний учащихся 

Учтель. Ребята, время вышло, положите ручки на парты, обменяйтесь тетрадями. Внимание на экран. Выполняется проверка ответов мини-теста. Слайды с вопросами и правильными ответами на экране.

За каждый правильный ответ поставьте себе «+» в карточку мониторинга.

Поднимите руки, кто правильно ответил на все вопросы мини-теста, вам бонус – два плюса;

Поднимите руки, кто ошибся в одном вопросе,  вам тоже бонус – поставьте один плюс. Дополнительные бонусы и самым активным.

Подсчитайте количество набранных плюсов, это и есть ваша оценка за урок. Она выставляется в журнал по желанию, но хочу предупредить, что следующий тест состоит из 12 задач и оценку выставляет компьютер.

Домашнее задание: решить три задачи из учебника (п.8) на выбор, подготовиться к тестированию по теме «Трапеция. Средняя линия трапеции».

Начало урока.

Здравствуйте ребята! Присаживайтесь.

Сегодня необычный урок, у нас много гостей, поэтому, чтобы снять некую скованность и напряжение, давайте все подарим друг другу свою улыбку. И гости нам тоже подарят свою улыбку. J

Ответьте, пожалуйста, на вопрос: где и когда мы используем знания полученные на уроках геометрии? А можно обойтись без этих знаний в жизни?

На партах перед каждым из вас стоят две коробочки и маленькие бумажки прямоугольной формы. На одной коробочке написано ЗНАЮ, на другой НОВЫЕ ЗНАНИЯ. Договоримся с вами, что когда вы услышите вопрос, на который знаете ответ, будете опускать в коробочку «ЗНАЮ» бумажку, а если узнаете что-то впервые, опустите бумажку в коробочку с «НОВЫМИ ЗНАНИЯМИ».

Сообщение темы урока.

Тема нашего урока «Теорема Пифагора»

Обычно в начале урока говорят заранее, как будет проходить урок, но мы поступим иначе. Скажите, глядя на эту тему, что-нибудь знакомо Вам? Что бы вы хотели узнать по этой теме?

Формулировка теоремы и её доказательство.

Применение теоремы.Биография Пифагора.

Посмотрите то, что вы назвали это и будет планом нашего урока.

Подготовка к изучению нового материала.

Актуализация знаний.

- Какая геометрическая фигура изображена на экране?

НЕЗАБЫВАЙТЕ ПРО КОРОБОЧКИ СО ЗНАНИЯМИ!

- Как определили что это прямоугольный треугольник?

- Кто может дать полное определение прямоугольного треугольника? Но прежде чем мы приступим к изучению нового материала, покажите мне знания, которые нам необходимые для этого.

- Какой треугольник изображен сейчас?

Продолжите предложение:

- Сторона, лежащая против угла 90^о называется ...

- Стороны образующие прямой угол называются ...

Вспомним некоторые свойства прямоугольного треугольника:

- Сумма острых углов ...

- Катет, лежащий против угла 30^о равен ...

Посмотрим, что вы помните о свойствах площадей:

- Равные многоугольники имеют ...

- Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна ...

- Площадь квадрата равна ...

- Площадь прямоугольного треугольника равна ...

Проблемная ситуация

А теперь давайте решим небольшую задачу.

На каком предмете обычно решают такие задачи?

Задача 1

Задача 2

Какая фигура получилась? Какие стороны известны? Что найти?

Тех знаний о прямоугольном треугольнике, которые мы имеем, не хватает. Последнюю задачу решить не можем.

Сформулируйте то, что мы должны знать, чтоб решить  эту задачу?

Это и будет цель нашего урока.

Сообщение  главной цели урока.

Цель нашего урока как раз и заключается в том, чтобы выяснить, как связаны между собой стороны прямоугольного треугольника.

Исследовательская деятельность.

Чтоб это выяснить, мы займемся исследовательской деятельностью.

Я вам раздам лист, на котором оранжевым цветом закрашен равнобедренный прямоугольный треугольник, на сторонах которого построены квадраты. Ответьте на два вопроса и сделайте вывод.

Вывод: Площадь квадрата построенного на гипотенузе равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

Так изначально формулировалась теорема Пифагора.

Новый материал

Изначальная формулировка теоремы Пифагора

А вот и «пифагоровы штаны»

Затем теорема Пифагора стала звучать так.

Возникает вопрос, для любого ли прямоугольно треугольника справедливо это равенство или только для равнобедренного прямоугольного треугольника?

Посмотрим на доказательство.

Доказательство теоремы Пифагора Видео ресурс из ЦОР. (1 мин.)

Физминутка.

Историческая справка.

Поработаем в парах. Я раздам вам кусочек исторических сведений о Пифагоре. Каждый листочек пронумерован так, что если их прочесть по порядковому номеру, то мы сложим рассказ о Пифагоре в хронологическом порядке.

Применение теоремы Пифагора.

Видеоролик мультяшной формы из интернета (1,5 мин.)

Закрепление.

Мы доказали с вами одну из важнейших теорем геометрии. Давайте попробуем решить с её помощью несколько задач по готовым чертежам устно.

Все задачи делятся на два типа

Вернёмся теперь к задаче, которую мы не смогли решить в начале урока.

Решить древнюю индийскую задачу о тополе

Рассмотрим условия других древних задач

Подведение итогов.

Все ли мы рассмотрели что хотели?

Кто уже запомнил формулировку теоремы Пифагора?

Пригодятся вам эти знания?

Домашнее задание п. 54. № 483, 484

Почему теорему Пифагора называли «Теоремой Невесты»?

Рефлексия

Понравился вам урок?

Давайте заглянем в наши коробочки.

В какой коробочке листочков больше? Так и должно. Это правильно.

Теперь добавим новые знания в те, что мы имели.

Старайтесь с каждого урока выносить новые знания.

Всё состоит из мелочей! Знание это сила!

Посмотрите на высказывание Пифагора:

Из двух человек одинаковой силы сильнее тот, кто прав.

А кто прав? Тот кто мудрее!