Производная функции. Исследование функции с помощью производной

Урок – семинар в10 классе по математике

Тема: Производная функции. Исследование функции с помощью производной

Цели :

Общеобразовательные - проверка сформированности у учащихся определения производной, физического и геометрического смысла производной, устанавливать характер изменения функции по знаку производной, выявлять точки, подозрительные на экстремум, использовать понятии е производной для исследования свойств функции;

Развивающие – установить, могут ли учащиеся применять метод дифференциального исчисления для решения прикладных задач, установить , могут ли учащиеся выделять этапы в решении прикладных задач;

Воспитательные – проверить сформированность качеств знаний: прочность, глубина, оперативность мышления.

I

Вопросы к классу с комментариями учителя

1.Дайте определение производной и поясните ее физический смысл.

2.Точка движется по закону:

а) s(t) = t²

б) s(t) =

в) s(t) =t³

г) s(t) = t + 1

Укажите, какое из движений является равномерным, а какое равноускоренным

1. Найдите , по определению, производную функции f(х) = х² – 4х

2. Как вы понимаете, что функция непрерывна в точке х_0. Какая существует связь между непрерывностью функции в точке х₀ и дифференцируемостью функции в этой точке.

3. Начертите схематически график функции, которая всюду непрерывна, но в точке х₀ не имеет производной

4. Дифференцируемы ли следующие функции:

а) f(х) = в точке х =3

б) f(х) = в точке х = -5

в) f(х) = в точках х =-2, х = 2, х = 0

6. Напомнить основные свойства производной и правила нахождения производной сложной функции:

II

Задания вызванным ученикам.

1. В чем заключается геометрический смысл производной. Написать уравнение касательной.

2. Построить с исследованием график функции f(х) = х² - х³

Заслушиваются ответы учеников

Устная работа класса

1. Касательная к графику функции f(х) = х³ – 2х² + 3 параллельна оси абсцисс. Найдите абсциссы точек касания.

2. Какой угол составляет с положительным направлением оси абсцисс касательная к графику функции f(х) = - х + 3 в точке х₀ = 1

3. Касательная к графику функции f(х) =3х² -7 параллельна прямой у = 12х – 3. Найдите абсциссы точек касания.

4. Может ли касательная к графику функции:

- иметь более одной общей точки с графико м функции

- совпадать с графиком этой функции

5. Вопросы:

- верно ли, что если функция имеет производную в точке х₀ , то она имеет и касательную в этой точке (да)

- Верно ли обратное утверждение (нет)

III

Задания вызванным ученикам.

1. - Дать геометрическую интерпритацию формулы Лагранжа;

- Найти координаты точки пересечения двух касательных к графику функции у= в точках с абсциссами х= 4 и х = -2.

2. - Сформулировать достаточный признак возрастания ( убывания функции ) и доказать.

- Верно ли, что если функция возрастает на некотором промежутке, то ее производная положительна на этом промежутке.

- Найти наибольшее значение функции f(х) =- - х на промежутке (-2)

Устная работа класса

1. Какие из указанных функций убывают на множестве R :

f(х) =2х² – 2х -3

f(х) = 4х -1

f(х) =

f(х) =-3х⁵

1. Начертите схематически график непрерывной функции, производная которой отрицательна на множестве R, за исключением двух точек, в которых производная равна нулю.

2. При каких значениях а функция f(х) = х³ + ах +3 возрастает на всей области определения (при а ≥0)

IV

Подведение итогов учителем по разобранному материалу:

1. Определение критических точек

2. Понятие о максимуме и минимуме функции

3. Теорема Ферма

4. Сформулировать достаточный признак экстремума

5. Верно ли, что если касательная к графику функции параллельна оси абсцисс в точках х₁ и х₂ , то х₁ и х₂ – точки экстремума.

V

1. Напоминание учителя о методах нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке

2. Задания вызванным ученикам

- Найти наименьшее и наибольшее значения функции f(х) = х³ +х + 1 на отрезке

- Найти наибольшее значения функции f(х) = на промежутке

3. исследования функции с помощью производной дали следующие результаты

f ᶦ + - +

-2 3

Как найти наибольшее значение функции на промежутке и ее наименьшее значение на отрезке .

Итог урока

В заключении подводятся итоги урока и выставляются оценки учащимся, вызванным учителем, и тем, кто активно работал на уроке.

Если останется время, повторить методы построения графика функции с помощью производной.

Пример. Построить график функции f(х) =

Находим:

1. D(х)

2. f(х)=0

3. исследуем заданную функцию с помощью ее производной

4. строим график заданной функции

Домашнее задание .построить график функции f(х) =