Применение графов в математике

Этапы (+время)

Деятельность

учителя

учащихся

Организационный момент

1 мин

- Здравствуйте, дорогие ребята, гости! Я рада вас всех видеть! Сегодня мы проведем внеурочное занятие по математике. Начать его я бы хотела со слов выдающегося немецкого писателя и мыслителя Иоганна Вольфганга Гёте: «Математики как французы: все, что вы им говорите, они переводят на свой язык, и это тотчас же становится чем-то совершенно иным». Я предлагаю вам сегодня убедиться в том, что средства математики помогают решать различные жизненные задачи. Мы будем работать по группам: обсуждать, размышлять и принимать решения. Одна группа учащихся – «Эрудиты», вторая – «Знатоки». Перед вами листы и канцтовары, необходимые для работы.

Самоконтроль подготовки.

Учащиеся готовы к началу работы.

Мотивация

3 мин

Многим ученикам очень нравится решать головоломки, занимательные задачи, загадки с подвохом, логические трюки. Что это – бесполезная трата времени или упражнения для тренировки интеллектуальных способностей?

Из всего многообразия головоломок остановим свое внимание на тех, в которых требуется нарисовать фигуру одним росчерком, то есть, не отрывая карандаша от бумаги, и не проводя по одной линии дважды. Я думаю, многие из присутствующих встречали такие задания. Учащийся 1 и учащийся 2 8 класса провели исследование среди восьмиклассников. Ребята засекали время, в течение которого оно выполнялось. Учащийся 1 (озвучивает результаты)

Результаты исследования показали, что 21%ПОЛНОСТЬЮ СПРАВИЛИСЬ С ЗАДАНИЕМ В ТЕЧЕНИЕ 1-2 МИНУТ

67%ВЫПОЛНИЛИ ЗАДАНИЕ В ТЕЧЕНИЕ 3-5 МИНУТ

8%ЧАСТИЧНО СПРАВИЛИСЬ С ЗАДАНИЕМ

4%НЕ СМОГЛИ ВЫПОЛНИТЬ ЗАДАНИЕ.Проанализировав результаты, мы установили, что лучше с заданием справлялись те ребята, кто увлекается математикой.Учитель: «Предлагаю командам решить данную задачу»: (1 минута на обсуждение)

Вывод: задание не является разрешимым. То есть не всегда возможно решить такую задачу. А как узнать, чтобы не терять время, например на олимпиадах, когда встречаются такие задания?

Известен анекдот. Некто давал миллион рублей каждому, кто начертит следующую фигуру одним росчерком. Надежда стать миллионером, решив такую легкую задачу, заставила потратить много бумаги и времени. Казалось бы, вот еще чуть-чуть и получится. Но! Эта задача так же является неразрешимой. .
Чтобы ответить на эти вопросы, познакомимся с одним историческим фактом…

Эмоциональное включение в урок

Актуализация знаний

2 мин.

Город Кенигсберг (после мировой войны он называется Калининград) стоит на реке Преголь. Некогда там было 7 мостов, которые связывали между собой берега и два острова. Жители города заметили, что они никак не могут совершить прогулку по всем семи мостам, пройдя по каждому из них ровно один раз. Так возникла головоломка: “можно ли пройти все семь кенигсбергских мостов ровно один раз и вернуться в исходное место?”

В 1735 году эта задача стала известна великому математику Леонарду Эйлеру, который выяснил, что такого пути нет, т. е. доказал, что эта задача неразрешима. При решении задачи о Кенигсбергских мостах Эйлер поступил следующим образом: он "сжал" сушу в точки, а мосты "вытянул" в линии. В наше время такие схемы из точек и линий стали называть графами. Графы помогают в решении различных головоломок, математических и логических задач, а также играют важную роль и в обычной жизни. Итак, тема занятия: «Графы» С дворянским титулом «граф» тему нашего занятия связывает только общее происхождение от латинского слова «графио» - пишу.

Записывают тему урока.

Целеполагание и планирование

1 мин

Каким же образом понятие графа даст нам ответы на поставленные вопросы? На неразрешимые задачи. И как пользоваться этим методом?

Предлагают варианты

Формулирование целей и задач своей учебной деятельности

Открытие нового знания

4 мин

Граф – это геометрическая фигура, состоящая из точек (вершины графа) и линий, их соединяющих (ребра графа)

Включение нового знания в систему знаний

10 мин

Понятие графа помогает решать не только головоломки, но и комбинаторные задачи - задачи на подсчет различных комбинаций.

Видео про 4 рукопожатия (2 мин).

Задача командам: встретились как-то 5 друзей и стали здороваться друг с другом. Сколько всего получилось рукопожатий?«Эрудиты» – решают задачу с помощью графов, «Знатоки» – практическим способом – осуществляя рукопожатия и подсчитывая их. Как вы думаете, какой способ удобнее? Если задача будет про 20 человек?

Метод графов в решении задач такого плана предпочтителен, потому что схематическая запись задачи должна быть удобна, компактна, и в то же время, достаточно наглядна.

Решение олимпиадных задач принципиально отличается от решения школьных, даже очень сложных, задач! Это обусловлено, прежде всего, выбором разделов, традиционно рассматриваемых на олимпиадах. Многие темы не рассматриваются в школьном курсе математики и требуют нестандартного подхода. При решении некоторых задач нам может очень помочь метод графов. Попробуем убедиться в этом.

Олимпиадная задача. Между 9 планетами Солнечной системы 1) Меркурий 2) Венера 3) Земля 4) Марс 5) Юпитер 6) Сатурн 7) Уран 8) Нептун и карликовой планетой Плутон (который разжалован из планет Солнечной системы) введено космическое сообщение. Ракеты летают по следующим маршрутам: Земля — Меркурий, Плутон — Венера, Земля — Плутон, Плутон - Меркурий, Меркурий - Венера, Уран - Нептун, Нептун - Сатурн, Сатурн — Юпитер, Юпитер — Марс и Марс — Уран. Можно ли добраться (возможны пересадки) с Земли до Марса?Решение. Нарисуем схему: планетам будут соответствовать точки, а соединяющим их маршрутам - непересекающиеся между собой линии.

Сделав набросок рисунка маршрутов, мы нарисовали граф, соответствующий условию задачи. Видно, что все планеты Солнечной системы разделились на две не связанных между собой группы. Земля принадлежит одной группе, а Марс - второй. Долететь с Земли до Марса нельзя.

Отвечают на вопросы учителя.

Выдвигают предположения.

Работают в группах в тетрадях

Физкультминутка

4 мин

Прикладное значение. На стенах нашего кабинета висят различные картинки. Как вы думаете, что их объединяет? Это типичные графы. Они необходимы в использовании во многих областях практической и научной деятельности людей. Например, схема движения метрополитена, авиалиний,схемы движения транспорта, генеалогическое древо, карта звездного неба (чтобы выделить отдельные созвездия из общего «звездного хаоса», первые астрономы условно соединили наиболее яркие звёзды линиями (построили графы). Всё множество видимых звёзд разделилось на отдельные группы – созвездия. Если граф ассоциировался с каким-либо знакомым объектом, то созвездию давалось соответствующее название,схема ЭВМ, схема переливания крови, различные планы в строительстве, в химии – графы, отображающие строение молекул.

Можно привести много различных примеров, которые объясняют и доказывают, что графы широко распространены в повседневной жизни. Можно предложить завучу использовать это понятие для облегчения составления расписания. В терминах графов легко формулируется и решается задача о назначении на должности в кадровой работе. Оказывается, графы применяются не только в таких серьезных науках, но с их помощью можно еще рассказывать сказки. Попробуем это сделать. На доске есть главные действующие лица (овалы с именами на магните). Подумайте, о какой сказке идет речь? Теперь предлагаю решить, как расположить главных героев в соответствии с осуществляемыми действиями. Получили граф, который поможет нам рассказать сказку с помощью метода, о котором мы вели речь сегодня на занятии. Причем данный граф, ребрам которого присвоено направление, называется ориентированным.

Несложные физические упражнения для снятия общего утомления

Учащиеся по очереди выходят к доске и правильно прикрепляют имена персонажей (магнитами )

Применение знаний и умений в новой ситуации

5 мин

12 мин

Данный граф имеет особо название. Это взвешенный граф – элементам графа, а именно ребрам, в соответствие поставлены числа (весы)Прохождение командами образовательного веб-квеста. Выберись из комнаты» на образовательной платформе «Joyteka» Чтобы выбраться из комнаты, необходимо решить 3 задачи.

Задача 1 В государстве 100 городов. Из каждого из них выходит 4 дороги. Сколько всего дорог в государстве?
Задача 2 На схеме нарисованы дороги между четырьмя населёнными пунктами A, B, C, D и указаны протяжённости данных дорог. Определите, какие два пункта наиболее удалены друг от друга (при условии, что передвигаться можно только по указанным на схеме дорогам). В ответе укажите кратчайшее расстояние между этими пунктами.

Задача 3 Пятеро ребят - Андрей, Володя, Даша, Борис и Галя договорились пойти в кино. Было решено, что если с кем - то созвониться не удастся, то поход в кино отменяется. Вечером у кинотеатра собрались не все, и поэтому посещение кино сорвалось. На следующий день стали выяснять, кто кому звонил. Оказалось, что Андрей звонил Борису и Володе. Володя звонил Борису и Даше. Борис звонил Андрею и Даше. Даша звонила Андрею и Володе, а Галя звонила Андрею, Володе и Борису. Нужно выяснить, почему не все собрались у кинотеатра.

Работают в группах.

Домашнее задание.

1 мин

Команде «Эрудит» предлагается выяснить, какие из фигур могут быть нарисованы одним росчерком пера, а какие нет. Команде «Знатоки» рассказать сказку «Колобок» с помощью графов. На следующем занятии обсудим.

Выбирают и записывают домашнее задание, задают вопросы

Рефлексия и оценивание

2 мин

А теперь подведем итоги:С каким новым понятием мы сегодня познакомились? (граф) Из каких элементов он состоит? (вершины и ребра). Какие виды графов существуют? Что мы хотели узнать? Где применяется понятие графа в математике? При решении каких задач? А в жизни? Мы убедились, что теория графов позволяет быстро и изящно решать задачи, которые весьма трудно решить другими методами и позволяет решить не только одну отдельно взятую задачу, но и находить методы решения целого класса задач. Предлагаю командам нарисовать свои эмоции после занятия в виде графов. Графы бывают еще и съедобными!!! (раздать командам – сладкий приз за участие – граф из конфет Чупа-чупс. Победителям – из больших конфет, проигравшим - маленьких). Всем спасибо!

Отвечают на вопросы учителя. Подводят итоги урока

Анализ собственной учебной деятельности. Самооценка