Последовательности и прогрессии

Материал полезен для учителей и учащихся для подготовки к ЕГЭ по математике. Даны задачи с решениями на последовательности и прогрессии. Особый интерес для нас представляют последовательности, называемые арифметической и геометрической прогрессиями. Зная понятия последовательностей, формулы, учащиеся смогут решить данные задачи.

Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?

Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.

Быстро и объективно проверять знания учащихся.

Сделать изучение нового материала максимально понятным.

Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.

Наладить дисциплину на своих уроках.

Получить возможность работать творчески.

=> ПОЛУЧИТЬ СУПЕРСПОСОБНОСТИ УЧИТЕЛЯ <=

Просмотр содержимого документа
«Последовательности и прогрессии »

Последовательности и прогрессии

1. Найдите все целые значения и такие, что

Решение.

Заметим, что из условия следует, что Далее имеем:

1. Если то каждое из слагаемых равно и при равенство будет верно.

2. Если левая часть уравнения не превосходит суммы конечной геометрической прогрессии с первым членом и знаменателем сумма которой, в свою очередь, меньше суммы бесконечно убывающей прогрессии с тем же первым членом и тем же знаменателем:

Таким образом, в этом случае уравнение решений не имеет.

3. Если то откуда получаем:

Числа и на три нацело не делятся, следовательно, откуда и Последнее уравнение натуральных решений не имеет.

Ответ:

2. Можно ли привести пример пяти различных натуральных чисел, произведение которых равно 1512 и

а) пять;

б) четыре;

в) три

из них образуют геометрическую прогрессию?

Решение.

Случай а). Пусть числа где по условию — натуральное число, — искомые члены прогрессии. Их произведение равно но уравнение не имеет натуральных решений. Итак, необходимой прогрессии из 5 чисел не существует.

Случай б). Пусть прогрессия состоит из четырех членов а пятое натуральное число равно Поскольку имеем: что невозможно для натуральных и поскольку разложение числа 1512 не содержит четвертых степеней простых сомножителей отличных от 1. Заметим однако, что знаменатель прогрессии может не быть натуральным числом и исследуем этот случай. Пусть — несократимая дробь, Тогда что невозможно, так как разложение числа 1512 не содержит шестых степеней простых сомножителей отличных от 1.

Случай в). Пусть прогрессия состоит из трех членов а четвертое и пятое натуральные числа равны и Тогда Положим в этом равенстве Далее, полагая получим один из требуемых наборов чисел: 3, 6, 12, 7, 1.

Ответ: а) нет; б) нет; в) да.

3. Каждое из чисел a₁, a₂, …, a₃₅₀ равно 1, 2, 3 или 4. Обозначим

S₁ = a₁+a₂+...+a₃₅₀,

S₂ = a₁²+a₂²+...+a₃₅₀²,

S₃ = a₁³+a₂³+...+a₃₅₀³,

S₄ = a₁⁴+a₂⁴+...+a₃₅₀⁴.

Известно, что S₁ = 513.

а) Найдите S₄, если еще известно, что S₂ = 1097, S₃ = 3243.

б) Может ли S₄ = 4547 ?

в) Пусть S₄ = 4745. Найдите все значения, которые может принимать S₂.

Решение.

Пусть количества единиц, двоек, троек и четвёрок среди … равны соответственно. Тогда и

а) По условию

где

Решая систему четырёх линейных уравнений с четырьмя неизвестными, находим: Значит,

б) Если где то В последнем равенстве левая часть кратна 5, а правая — нет, поэтому не может быть равным 4547.

в) Если где то Кроме того, поскольку получаем:

Вычтем из первого полученного равенства второе: Значит, делится на 5 и может равняться только 0 или 5. При получаем:

При получаем:

Ответ: а) 11285; б) нет; в) 905 или 917.

4. Каждое из чисел a₁, a₂, …, a₄₅₀ равно 1, 2, 3 или 4. Обозначим

S₁ = a₁+a₂+...+a₄₅₀,

S₂ = a₁²+a₂²+...+a₄₅₀²,

S₃ = a₁³+a₂³+...+a₄₅₀³,

S₄ = a₁⁴+a₂⁴+...+a₄₅₀⁴.

Известно, что S₁ = 739.

а) Найдите S₄, если еще известно, что S₂ = 1779, S₃ = 5611.

б) Может ли S₄ = 6547 ?

в) Пусть S₄ = 6435. Найдите все значения, которые может принимать S₂.

Решение.

Пусть количества единиц, двоек, троек и четверок среди равны соответственно. Тогда и

а) По условию

где

Решая систему из четырех уравнений с четырьмя неизвестными, находим:

Значит,

б) Если где , то

В последнем равенстве левая часть кратна 5, а правая - нет, поэтому не может быть равным 6547.

в) Если где то

Кроме того, поскольку получаем:

Вычтем из первого полученного неравенства второе : Значит, делится на 5 и может равняться только 0 или 5.

При получаем:

Ответ: a) 19995; б) нет; в) 1371 или 1383.

5. Даны n различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию

а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 10?

б) Каково наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел меньше 1000?

в) Найдите все возможные значения n, если сумма всех данных чисел равна 129.

Решение.

Без ограничения общности можно считать, что числа составляют возрастающую арифметическую прогрессию. Обозначим — первый член этой прогрессии, a её разность. Тогда сумма её членов равна

а) Да, может. Числа 1, 2, 3, 4 составляют арифметическую прогрессию, а их сумма равна 10.

б) Для суммы членов арифметической прогрессии верно неравенство

Значит, откуда находим Сумма арифметической прогрессии 1, 2, …, 44 равна 990

в )Для суммы членов арифметической прогрессии верно:

Таким образом, число является делителем числа 258. Если то следовательно, Поскольку получаем, что или Прогрессии из 3 и 6 членов с суммой 129 существуют: например, 42, 43, 44 и 19, 20, 21, 22, 23, 24.

Ответ: а) да; б) 44; в) 3; 6.

6. Даны n различных натуральных чисел, составляющих арифметическую

прогрессию

а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 14?

б) Каково наибольшее значение n , если сумма всех данных чисел меньше 900?

в) Найдите все возможные значения n , если сумма всех данных чисел равна 123.

Решение.

Без ограничения общности можно считать, что числа составляют возрастающую арифметическую прогрессию. Обозначим a - первый член этой прогрессии, а d - ее разность. тогда сумма ее членов равна

a) Да, может. Числа 2,3,4,5 составляют арифметическую прогрессию, а их сумма равна 14.

б) Для суммы членов арифметической прогрессии верно равенство , тогда откуда находим

Сумма членов прогрессии 1, 2, 3,...41 равна 861. Значит .

в) Для суммы членов арифметической прогрессии верно:

таким образом, число n является делителем числа . Если то следовательно, Поскольку получаем, или .

Прогрессии из 3 и 6 членов с суммой 123 существуют: например, 40, 41, 42 и 18, 19, 20, 21, 22, 23.

Ответ: a) да; б) 41; в) 3; 6.

Предмет: Математика

Категория: Уроки

Целевая аудитория: 11 класс

Скачать
Последовательности и прогрессии

Автор: Хакимзянова Нурания Идерисовна

Дата: 07.08.2014

Номер свидетельства: 111404

Похожие файлы

Алгебра 9 класс. "Геометрическая прогрессия"

object(ArrayObject)#852 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(80) "Алгебра 9 класс. "Геометрическая прогрессия""
    ["seo_title"] => string(51) "alghiebra-9-klass-gieomietrichieskaia-proghriessiia"
    ["file_id"] => string(6) "253810"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1447669701"
  }
}

Геометрические прогрессии.

object(ArrayObject)#874 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(50) "Геометрические прогрессии."
    ["seo_title"] => string(32) "gieomietrichieskiie_proghriessii"
    ["file_id"] => string(6) "434552"
    ["category_seo"] => string(9) "geometria"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "testi"
    ["date"] => string(10) "1508943573"
  }
}

Презентация к уроку "Арифметическая прогрессия"

object(ArrayObject)#852 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(88) "Презентация к уроку "Арифметическая прогрессия""
    ["seo_title"] => string(56) "priezientatsiia-k-uroku-arifmietichieskaia-proghriessiia"
    ["file_id"] => string(6) "312002"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(11) "presentacii"
    ["date"] => string(10) "1459271929"
  }
}

Конспект урока по теме: "Арифметическая прогрессия"

object(ArrayObject)#874 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(95) "Конспект урока по теме: "Арифметическая прогрессия" "
    ["seo_title"] => string(60) "konspiekt-uroka-po-tiemie-arifmietichieskaia-proghriessiia-1"
    ["file_id"] => string(6) "142284"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1418246186"
  }
}

Конспект урока на тему "Определение арифметической и геометрической прогрессий""

object(ArrayObject)#852 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(150) "Конспект урока на тему "Определение арифметической и геометрической прогрессий"" "
    ["seo_title"] => string(93) "konspiekt-uroka-na-tiemu-opriedielieniie-arifmietichieskoi-i-ghieomietrichieskoi-proghriessii"
    ["file_id"] => string(6) "163974"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1422553445"
  }
}

Последовательности и прогрессии

Просмотр содержимого документа «Последовательности и прогрессии »

Похожие файлы

Полезное для учителя

Просмотр содержимого документа
«Последовательности и прогрессии »