Понятие сложного процента. 10-11 класс

Чернышева Т.В. ГБОУ гимназия 1576 СПш743 г. Москва

Формула сложных процентов

и её применение

СЛОЖНЫЙ ПРОЦЕНТ - начисление процентов на проценты, расчет процентов на два или большее число периодов, проводимый таким образом, что процент начисляется не только на исходную сумму, но и на процент, начисленный в предыдущем периоде.

Существует формула «сложных процентов», но её нет в школьных учебниках, её, к сожалению, не знают и не применяют даже 10 – 11 классники общеобразовательной школы. А между тем, она существенно облегчает решение многих задач и задания на эту тему встречаются в экзаменационных текстах.

Понятие процент как сотой части какого-либо числа. Одно из основных понятий элементарной математики.

Практически каждый школьник знаком с ним и знает правила нахождения процента данного числа, числа по его проценту, процентное отношение чисел. Умеет решать задачи по этим правилам или с помощью пропорции. Но среди множества задач на проценты встречаются такие, в которых некоторая величина в конце каждого этапа времени испытывает изменение на определённое число процентов.

Решить такую задачу, находя несколько раз процент от данной величины не просто, но возможно, если таких этапов 2 или 3. Если же число этапов больше, то нужно применять так называемую формулу «Сложных процентов». В школьных учебниках математики её нет, но эта формула хорошо известна в теории процентов и неразрывно связана с правилом начисления « Сложных процентов», например в банковском деле.

Среди десятичных дробей особенно часто на практике используется дробь 0,01, т. е. «процент». Процент – сотая часть числа. В хозяйственных и статистических расчетах, во многих отраслях науки части величин принято выражать в процентах. При решении многих сложных задач на проценты удобно использовать формулу сложных так называемых «Сложных процентов». Эту формулу легко доказать методом «Математической индукции» на факультативах или элективных курсах. А на уроках можно рассмотреть решение задач с использованием формулы сложных процентов.

1. Проценты, начисленные на величины, полученные в результате начисления процентов, называются сложными.

Пусть некоторая переменная величина А в начальный момент имеет значение А_0, когда она увеличилась на р%, то стала равна А₁;. Найдём это значение.

А₀ - 100% А₀ : А₁ = 100: (100 + р)

А₁ - (100 + р)%

А₁ = А₀ (1+р/100)

Если же величина несколько раз изменилась на одно и тоже число %, то её значение вычисляется через n изменений по формуле “сложных процентов”.

1. А₁ = А₀ (1+р/100)ⁿ

Если изменение происходит на разное число процентов, то формула выглядит так:

А_n = А₀ (1+р1/100) (1+р2/100)…. (1+рn/100)

Если изменение происходит на разное число процентов, то формула выглядит так:

A_n=A0(1+p₁/100)(1+p₂/100)…(1+p_n/100)

Примеры задач, решаемых по этой формуле:

Задача 1 Зарплату учителю повысить сначала на 10% , а через год еще на 20%. На сколько процентов повысилась зарплата учителя по сравнению с первоначальной?

Решение. Т.к. здесь проценты находятся от величины , полученной от начисления процентов, то можно применить формулу сложных процентов:

Пусть A₀=1, то A₂=1*(1+1,1)(1+0,2)=1,32 или

A₂=1*(1-X/100) (100-X)/100=1,32 ; 100-X=132

X=32%

Ответ: на 32%

Задача 2 В сберкассу некоторые работники учреждения успели положить в начале отпуска А рублей под 3% годовых. Сколько рублей будет получено через 1 год, а через 3?

A₁=А*(1+0,03)

А3=А*(1-Р1/100)*(1-P2/100)*(1-P3/100)

Задача 3 Большой интерес у учащихся вызывает задача накопления миллиона.

Секрет накопления богатства заключается в чуде сложных процентов. Альберт Эйнштейн как-то сказал, что сложные проценты это "величайшее математическое открытие в истории". Дело в том, что доход генерируют не только первоначально вложенные средства, но и накопленные реинвестированные проценты.

«Знать силу сложных процентов и не применять ее для достижения финансовой независимости – это просто безответственное невежество»
Бодо Шефер, «Путь к финансовой независимости»
Когда говорят о сложных процентах, то имеют ввиду, что следующий процент начисляется уже на тот, который получен в прошлом периоде. Другими словами «процент на процент».

Итак, что влияет на прибыль при инвестировании?
Два главных фактора: время и процентная ставка.

Допустим, Вы хотите накопить 1 миллион рублей.

Посмотрите, сколько Вам нужно вложить один раз под 12% годовых, чтобы иметь миллион.
Нужно 105000 руб., чтобы иметь миллион через 20 лет.
Нужно 325000 руб., чтобы иметь миллион через 10 лет.
Посмотрите, сколько Вам нужно ежегодно вкладывать под 12% годовых, чтобы иметь миллион.
Нужно ежегодно вкладывать 12500 руб., чтобы иметь миллион через 20 лет.
Нужно ежегодно вкладывать 51000 руб., чтобы иметь миллион через 10 лет.

Если изменить процентную ставку?

При увеличении процентной ставки в 1,7 раз суммы снижаются во много раз больше.

Посмотрите, сколько Вам нужно вложить один раз под 20% годовых, чтобы иметь миллион.
Нужно 26100 руб., чтобы иметь миллион через 20 лет.
Нужно 161600 руб., чтобы иметь миллион через 10 лет.
Посмотрите, сколько Вам нужно ежегодно вкладывать под 20% годовых, чтобы иметь миллион.

Нужно ежегодно вкладывать 4500 руб., чтобы иметь миллион через 20 лет.
Нужно ежегодно вкладывать 32100 руб., чтобы иметь миллион через 10 лет.
Представляете, что нужно всего-навсего около:
1000 руб. в месяц, чтобы иметь миллион через 20 лет,
4300 руб. в месяц, чтобы иметь миллион через 10 лет.
Вот она сила и чудо сложных процентов!

Конечно, миллион – это с другой стороны не так уж и много. Тогда переведите все расчеты в доллары и прикиньте, будут ли эти деньги иметь для Вас значение.

Единственное, чего не хватает у людей, это дисциплинированности. Не так уж просто, в течение 10 или 30 лет делать регулярные вложения. Жизнь идет, затраты растут. И также трудно отложить крупную сумму, не купив чего-нибудь нужного. Но с другой стороны, вспомните пример с геометрической прогрессией. Если начать с малого, то впоследствии будет проще.

Задача 4 Цену товара сперва сократили на 20% , затем новую цену снизили ещё на 15% и, наконец, после перерасчета произвели снижение ещё на 10% . Какова новая цена товара. Если первоначальная цена 2500р.

Решение:

1.По формуле «сложных процентов»

А3=Ао*(1-Р1/100)*(1-P2/100)*(1-P3/100)

А3=А0*(1-20/100)*(1-15/100)*(1-10/100)

A3=A0*4/5*17/20*9/10

A3=2500*4*17*9/1000

A3= 612*2, 5

A3= 1530

1530р. – новая цена, т. е. цена снизилась на 970р.

Ответ: 1530 р.

2.Решим эту же задачу обычным способом ( по определению процента)

1)2500*0,2=500(руб.) – на столько снизили цену в 1-й раз

2)2500-500=2000 (руб.) – новая цена после 1-го снижения её на 20%.

3)2000*0,15= 300 (руб.) на столько снизилась цена во 2-ой раз.

4) 2000-300=1700(руб.) – новая цена после её снижения на 15%.

5) 1700*0.1=170 (руб.) на столько снизилась в 3-й раз

6)1700-170=1530 (руб.) – новая цена после её снижения на 10 %

Ответ: 1530 руб.

Задача 5 В 1-ый день продали 40% всех конфет, во 2-й день – 20% остатка, а в 3-й день – 50% оставшихся конфет. Сколько всего продали кг конфет, если первоначально их было 1200кг.

Решение:

1. По формуле «сложных процентов»

Аn=A0*(1-40/100)*(1-20/100)*(1-50/100)

An=1200*6/10*8/10*1/2

An=1200*24/100=12*24=288(кг)

Ответ: 288кг

2. По определению процента.

1) 1200 * 0.4=480(кг) конфет продали в 1-й день.

2)1200-480=720(кг) конфет осталось в 1-й день.

3)720*0.2=144(кг) конфет продали во 2-ой день.

4)720-144=576(кг) осталось во 2-ой день

5) 576*0.5=288(кг) – осталось в 3-й день.

Ответ: 288 кг

Задача 6 Рыночная цена моркови в связи с переменной погодой понизилась на 25%, затем повысилась на 20%, потом вновь понизилась на 10%, а весной повысилась на 20%.Выросла ли цена по сравнением с первоначальной, или понизилась и на сколько?

Решение:

Пусть Ао - первоначальная цена, а Аn – полученная цена, решаем по формуле сложных процентов

Аn=Aо*(1-25/100)*(1+20/100)*(1-10/100)*(1+20/100)

An=Aо*(1-1/4_*(1+1/5)*(9/10)*11/5

An=Aо*3/4*6/5*9/10*6/5

An=Aо*972/1000

Т.к. 972/100то Anо,

Т.е. новая цена стала меньше

На Aо=An/Aо*100%=

=Aо-972/1000*Aо/Aо*100%=

=(1-972/1000)*100%=

=100% - 97,2%=2,8%

Цена стала меньше на 2,8%

Ответ: на 2,8%