Пирамида. Усеченная пирамида. Правильная пирамида. Тетраэдр

Министерство образования, науки и молодежной политики Краснодарского края государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение Краснодарского края

«Лабинский социально-технический техникум»

Методическая разработка

урока математики

по теме:

«Пирамида. Усеченная пирамида. Правильная пирамида. Тетраэдр »

Подготовила:

преподаватель математики

Пятакова З.В.

Лабинск, 2017

Пирамида. Усеченная пирамида. Правильная пирамида. Тетраэдр

Цели урока:

Обучающие: изучить новый вид многогранников – пирамиды,

выйти на понятие правильной пирамиды,

рассмотреть задачи, связанные с пирамидой и с правильной пирамидой,

Развивающие:развивать познавательный интерес через творческую активность, исследовательскую деятельность на основе умения делать обобщения по данным, полученным в результате исследования,

развитие технического, логического, образно-пространственного мышления учащихся.

Воспитательные:развивать эмоционально-положительное отношение к изучению геометрии,воспитывать культуру графического труда,эстетическое воспитание,развивать геометрическую зоркость, пространственное воображение.

Тип урока: комбинированый.

План урока:

1. Организационный момент.

2. Актуализация знаний.

3. Изучение нового материала.

4. Решение простейших задач.

5. Сообщение материала студентом

6. Закрепление материала

7. Итоги урока

8. Самостоятельная подготовка.

9. Рефлексия.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, презентация, карточки.

Ход урока:

1. Организационный момент.

Вступительное слово преподавателя:

Сегодня мы совершим путешествие во времени.

Слайд1Фараон Джосер повелел создать для себя необычную гробницу, похожую на гигантскую каменную лестницу, по которой фараон после смерти должен был подняться на небо. Его замысел воплотил в жизнь великий египетский зодчий Имхотеп.Правившие после Джосера фараоны тоже строили себе ступенчатые пирамиды, пока фараону Снофру не пришла в голову мысль выстроить для своей гробницы не ступенчатую, а гладкую пирамиду.

Слайд2Вслед за Снофру Древним Египтом правил его сын, фараон Хуфу, или, как мы его привыкли называть, - Хеопс. За 23 года своего правления он сумел выстроить самую грандиозную и удивительную пирамиду, которую мы называем первым чудом света.

Пирамиды – самое грандиозное из всех чудес света.Построенная около 2600 г. до н.э., она имеет высоту 146 метров, состоит из 2300000 каменных блоков, каждый весом примерно 3 тонны.

Даже сегодня при современных машинах и механизмах выстроить такую громадную пирамиду было бы нелегко.

Итак, цель урока: изучить новый вид многогранников – пирамиды.

Что мы можем узнать о пирамиде? Познакомиться с понятием пирамида, ее видами, элементами, свойствами, решить простейшие задачи.

2. Актуализация знаний.

Термин «пирамида» заимствован из греческого «пирамис» или «пирамидос». Греки  в свою очередь позаимствовали это слово из египетского языка. В папирусе Ахмеса встречается слово «пирамис»  в смысле ребра правильной пирамиды. Другие считают, что термин берет свое начало от формы хлебцев в Древней Греции («пирос» - рожь). В связи с тем, что форма пламени напоминает образ пирамиды, некоторые ученые считали, что термин происходит от греческого слова «пир» - огонь.

Мы с вами рассмотрим пирамиду с математической точки зрения.

- Опишите фигуры, изображенные на Слайде3 (основание, вершина, ребра)

- Что объединяет эти тела? (в основании n-угольник, боковые грани – треугольники).

- Как можно назвать эти тела? (пирамиды)

3. Изучение нового материала

Рассказ преподавателя:

Слайд4Итак, пирамидой называется многогранник, который состоит из плоского многоугольника – основание пирамиды; точки, не лежащей в плоскости основания – вершины пирамиды и всех отрезков, соединяющих вершину пирамиды с точками основания – боковыми ребрами.

- Слайд5Дайте определение высоты пирамиды. (Высотой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания).

- Слайд6Что это за многогранник? Дайте определение тетраэдра (поверхность, состоящая из четырех правильных треугольников или многогранник, состоящий их четырех треугольников)

- Слайд7, 8Пирамида называется правильной, если её основание – правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является её высотой.

- Слайд9Какие пирамиды могут быть правильными?

- Слайд10в основании лежит квадрат - четырехугольная пирамида,

- Слайд11в основании лежит правильный треугольник – треугольная пирамида

в основании лежит правильный шестиугольник – шестиугольная пирамида и т.д.

- Слайд12,13Свойства боковых ребер и боковых граней правильной пирамиды. (Все боковые ребра правильной пирамиды равны, а боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками)

4.Решение простейших задач

Построим пирамиду Хеопса.

1. Постройка Великих пирамид Хеопса, Хефрена и Микерина требовала огромных усилий всех свободных египтян. Их труд был настоящим чудом. Строители работали с большим энтузиазмом над возведением гробницы своего великого фараона. Они верили: фараон – сын бога, и после смерти он окажется среди богов. Если они выкажут ему подлинное уважение, он позаботится о них, простых людях, об их детях, внуках и правнуках.

Выкажем же и мы ему подлинное уважение. Построим пирамиду Хеопса.

Итак, что лежит в основании пирамиды Хеопса (квадрат)

- Как изображается квадрат на плоскости? (параллелограммом)

- Слайд 14построим основание,

- отметим вершину параллелограмма,

- соединим вершину боковыми ребрами с вершинами основания.

2. Построим треугольную пирамиду.

- Слайд15Построим основание,

- отметим вершину параллелограмма,

- соединим вершину боковыми ребрами с вершинами основания.

Решение задачи у доски преподавателем

Слайд161. В основании пирамиды Хеопса – квадрат со стороной 230м, тангенс угла наклона боковой грани к основанию равен 1,2. Найти высоту самой высокой египетской пирамиды, если основание ее лежит в центре квадрата.

Решение

1. AC ВD = О

2.Пирамида правильная SО  (АВС)

3. ОЕ  АD ОЕ  АD

4.SЕ  СD(по теореме о 3 перпендикулярах)

Чему равен тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике? (отношению противолежащего катета к прилежащему катету)

5. SОЕ – п\у tgE = SО : ОЕ = 1,2

6.ОЕ = 0,5АD =115м

7. SО = ОЕ •tgE = 1,2 • 115 = 138 м

Ответ: 138м

S

230

О

А

В

С

D

Е

Решение задач у доски студентами (по желанию)

Слайд172. В основании пирамиды Хеопса – квадрат со стороной 230м, высота пирамиды 138 м. Найти боковое ребро самой высокой египетской пирамиды.

Решение

1. AC ВD = О

2.  АОD – п\у, р\б

по т. Пифагора АD² = DО²+ОА²

2ОD²= 2302 = 52900

ОD² = 26450

3.Пирамида правильная SО  (АВС)

4. SОD – п\у

по т. Пифагора DS² = DО²+ОS² = 26450 + 1382=

= 26450 +19044 = 45494

DS  213 м

Ответ: 213м

230

О

А

В

С

D

S

Слайд18

- Из чего состоит поверхность пирамиды? (из основания, и боковых граней)

- Чем является боковая грань? (треугольником)

Слайд19

3.Чему равна площадь поверхности правильного тетраэдра с ребром 1?

Решение

1. S_пов=4S_тр

2. S_тр = 0,5а²sin60⁰

3. S_пов= 4 • 0,5а²sin60⁰ =

Ответ:

Слайд204. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды Хеопса, сторона основания которой равна 230м и высота 138м.

Решение

1. S_б.пов=4S_тр

2. AC ВD = О

3.Пирамида правильная 

SО  (АВС)

4. ОЕ  СD ОЕ  АD

5.SЕ  АD(по теореме о 3 перпендикулярах)

6. ЕОS- п\у по т. Пифагора ЕS² = ЕО²+ОS² = 115² + 138² =

= 13225 +19044 = 32269

ЕS 180

7. ES - высота АSD

S_АSD= 0,5 ЕS•АD 0,5•180 • 230 20700 м²

8. S_б.пов=4S_тр4 • 20700  82800 м²

Ответ: 82800 м²

S

230

138

А

В

С

D

О

Е

Слайд215. (устно) Боковое ребро правильной пирамиды вдвое больше ее высоты. Определите угол наклона боко­вого ребра к плоскости основания. (30⁰)

5.Сообщение студента (самостоятельное изучение материала)

Усеченная пирамида

Кроме обычной пирамиды часто в математике, в технике, в бытувстречаются пирамиды, у которых нет вершины. Другими словами – усеченные пирамиды. Рассмотрим их вид и свойства подробнее.

Слайд22

Слайд23

Слайд24

6.Закрепление изученного материала

Работа по карточкам, по вариантам.

Вариант 1

Вариант 2

Работы сдаются на проверку.

7. Итоги урока.

Ребята, на сегодняшнем уроке мы изучили один из видов многогранников,

подведем итоги нашей совместной работы (выставлениеоценок).

8.Рефлексия.

Что нового узнали
Какие знания пригодились на сегодняшнем уроке?
Что было сложного?
Что понравилось на уроке?

9. Самостоятельная подготовка.

Изобразить пирамиду в пространстве.

Решить задачи:

1). Если в правильной треугольной пирамиде высота H равна стороне основания a, то боковые ребра составляют с плоскостью основания углы в 60⁰. Верно ли это утверждение?

2). Сторона квадрата равна 10 см. Доказать, что нельзя, используя его в качестве основания, построить правильную четырехугольную пирамиду с боковым ребром 7 см.

3). Доказать или опровергнуть утверждение: «если в пирамиде все ребра равны, то пирамида правильная».

(раздаются карточки)