kopilkaurokov.ru - сайт для учителей

Создайте Ваш сайт учителя Курсы ПК и ППК Видеоуроки Олимпиады Вебинары для учителей

Пирамида. Усеченная пирамида. Правильная пирамида. Тетраэдр презентация

Нажмите, чтобы узнать подробности

Пирамида. Усеченная пирамида. Правильная пирамида. Тетраэдр

Цели урока:

Обучающие: изучить новый вид многогранников – пирамиды,

выйти на понятие правильной пирамиды,

рассмотреть задачи, связанные с пирамидой и с правильной пирамидой,

Развивающие:развивать познавательный интерес через творческую активность, исследовательскую деятельность на основе умения делать обобщения по данным, полученным в результате исследования,

развитие технического, логического, образно-пространственного мышления учащихся.

Воспитательные:развивать эмоционально-положительное отношение к изучению геометрии,воспитывать культуру графического труда,эстетическое воспитание,развивать геометрическую зоркость, пространственное воображение.

Просмотр содержимого документа
«Пирамида. Усеченная пирамида. Правильная пирамида. Тетраэдр презентация»

• Пирамиды

Пирамиды

– это многогранник, состоящий из n -угольника А 1 А 2 А 3 ...А n ( основание ) и n треугольников ( боковые грани ), имеющих общую вершину ( Р ). РА 1 ; РА 2 ; РА 3 ; ... ; РА n – боковые ребра А 1 А 2 ; ... ;А 1 А n – ребра основания Р H – высота пирамиды - h Р h А 3 А 2 H А 1 А n

– это многогранник, состоящий из n -угольника А 1 А 2 А 3 ...А n ( основание ) и n треугольников ( боковые грани ), имеющих общую вершину ( Р ).

РА 1 ; РА 2 ; РА 3 ; ... ; РА n – боковые ребра

А 1 А 2 ; ... ;А 1 А n – ребра основания

Р H – высота пирамиды - h

Р

h

А 3

А 2

H

А 1

А n

SABC - тетраэдр S B A C

SABC - тетраэдр

S

B

A

C

Правильная пирамида

Правильная пирамида

основание – правильный многоугольник, вершина проецируется в центр основания;  боковые ребра – равны;  боковые грани – равные равнобедренные треугольники.
  • основание – правильный многоугольник, вершина проецируется в центр основания;
  • боковые ребра – равны;
  • боковые грани – равные равнобедренные треугольники.

H – высота,

h – апофема

H

h

Правильные пирамиды

Правильные пирамиды

Правильная четырехугольная пирамида а – сторона основания H – высота, h – апофема,  AB = BC = CD = DA = a ( в основании – квадрат) К – середина DC P h H B C a К O D A a

Правильная четырехугольная пирамида

а – сторона основания

H – высота,

h – апофема,

AB = BC = CD = DA = a ( в основании – квадрат)

К – середина DC

P

h

H

B

C

a

К

O

D

A

a

Правильная треугольная пирамида h – апофема  H – высота, S AB = BC = AC = a h B H D O A a C

Правильная треугольная пирамида

h – апофема

H – высота,

S

AB = BC = AC = a

h

B

H

D

O

A

a

C

Свойства боковых ребер и боковых граней правильной пирамиды

Свойства боковых ребер и боковых граней правильной пирамиды

Отметим некоторые свойства правильной n-угольной пирамиды на примере треугольной пирамиды. Как известно центр правильного треугольника совпадает с центром вписанной и описанной около него окружности. Поэтому отрезки АО, ВО и СО равны как радиусы.  Поэтому прямоугольные треугольники АОМ, ВОМ и СОМ равны по двум катетам (МО-общая). Из равенства этих треугольников следует равенство соответствующих сторон: АМ=ВМ=СМ – боковые ребра равны.

Отметим некоторые свойства правильной n-угольной пирамиды на примере треугольной пирамиды. Как известно центр правильного треугольника совпадает с центром вписанной и описанной около него окружности. Поэтому отрезки АО, ВО и СО равны как радиусы. Поэтому прямоугольные треугольники АОМ, ВОМ и СОМ равны по двум катетам (МО-общая). Из равенства этих треугольников следует равенство соответствующих сторон: АМ=ВМ=СМ – боковые ребра равны.

  • Свойство 1: В правильной n-угольной пирамиде все боковые ребра равны между собой. Из равенства ребер следует и равенство боковых граней. Треугольники АВМ, ВСМ и АСМ равны по трем сторонам.
  • Свойство 2: Все боковые грани правильной n-угольной пирамиды суть равные равнобедренные треугольники, поэтому все плоские углы при вершине равны, все плоские углы при основании равны. Из равенства прямоугольных треугольников ОРМ, ОТМ и ОКМ (ОТ=ОР=ОК как радиусы вписанной окружности; МО - общая) следует равенство всех двугранных углов при основании пирамиды РОРМ=РОТМ=РОКМ
  • Свойство 3: В правильной n-угольной пирамиде все двугранные углы при основании равны.
S •  В А С D

S

В

А

С

D

•  D В С А

D

В

С

А

1. В основании пирамиды Хеопса – квадрат со стороной 230м, тангенс угла наклона боковой грани к основанию равен 1,2. Найти высоту самой высокой египетской пирамиды, если основание ее лежит в центре квадрата. Решение: S 1 . AC    В D = О 2.  Пирамида правильная  S О   (АВС) В 3. ОЕ  А D    ОЕ   С D   С А 4.  S Е   С D  (по теореме о 3 перпендикулярах) О E 5.    S ОЕ – п\у tg E = S О : ОЕ D 6.  ОЕ = 0,5А D =115м 7. S О = ОЕ •   tg E = 115 •  1,2  = 138 м Ответ: 138 м.

1. В основании пирамиды Хеопса – квадрат со стороной 230м, тангенс угла наклона боковой грани к основанию равен 1,2. Найти высоту самой высокой египетской пирамиды, если основание ее лежит в центре квадрата.

Решение:

S

1 . AC В D = О

2. Пирамида правильная

S О (АВС)

В

3. ОЕ  А D ОЕ С D

С

А

4. S Е С D (по теореме о 3 перпендикулярах)

О

E

5. S ОЕ – п\у tg E = S О : ОЕ

D

6. ОЕ = 0,5А D =115м

7. S О = ОЕ tg E = 115 1,2 = 138 м

Ответ: 138 м.

2. В основании пирамиды Хеопса – квадрат со стороной 230м, высота пирамиды 138 м . Найти боковое ребро самой высокой египетской пирамиды. Решение: 1 . AC    В D = О S 2.    АО D – п\у, р\б по т. Пифагора А D 2 = D О 2 +ОА 2  2О D 2 = 230 2 = 52900 О D 2  = 2 6 450 В С А О 3 .  Пирамида правильная  S О   (АВС) 4 .   S О D – п\у 230 м D по т. Пифагора DS 2 = D О 2 +О S 2 = 2 6 450 + 138 2 = = 2 6 450 +19044 = 45494 D S    213 м Ответ: 213 м.

2. В основании пирамиды Хеопса – квадрат со стороной 230м, высота пирамиды 138 м . Найти боковое ребро самой высокой египетской пирамиды.

Решение:

1 . AC В D = О

S

2. АО D – п\у, р\б

по т. Пифагора

А D 2 = D О 2 +ОА 2

D 2 = 230 2 = 52900

О D 2 = 2 6 450

В

С

А

О

3 . Пирамида правильная

S О (АВС)

4 . S О D – п\у

230 м

D

по т. Пифагора DS 2 = D О 2 S 2 = 2 6 450 + 138 2 =

= 2 6 450 +19044 = 45494

D S 213 м

Ответ: 213 м.

3.Чему равна площадь поверхности правильного тетраэдра с ребром 1? Решение SABC – тетраэдр   S 1. S пов=4 S тр 2. S тр = 0,5 а 2 sin 60 0 3.  S пов=4 •  0,5 а 2 sin 60 0 =  = B A Ответ:  C

3.Чему равна площадь поверхности правильного тетраэдра с ребром 1?

Решение

SABC – тетраэдр

S

1. S пов=4 S тр

2. S тр = 0,5 а 2 sin 60 0

3. S пов=4 0,5 а 2 sin 60 0 =

=

B

A

Ответ:

C

4. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды Хеопса, сторона основания которой равна 230  м и высота 138  м. Решение: 1. S б.пов=4 S тр S 2. AC    В D = О 3.  Пирамида правильная  S О   (АВС) В 4. ОЕ  С D    ОЕ   А D   5.  S Е   А D  (по теореме о 3 перпендикулярах) С А О 6.   S ОЕ – п\у по т. Пифагора Е S 2 = ЕО 2 +О S 2 = 115 2 + 138 2 = = 13225 +19044 = 32269 Е S    180 E D 7. ES - высота  А S D  S А SD = 0,5 Е S •А D = 0,5 •1 80 • 230 =20 70 0 м 2 Ответ: 82 80 0 м 2 8. S б.пов =4 S тр = 4 • 20 70 0 = 82 80 0 м 2

4. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды Хеопса, сторона основания которой равна 230 м и высота 138 м.

Решение:

1. S б.пов=4 S тр

S

2. AC В D = О

3. Пирамида правильная

S О (АВС)

В

4. ОЕ  С D ОЕ А D

5. S Е А D (по теореме о 3 перпендикулярах)

С

А

О

6. S ОЕ – п\у

по т. Пифагора

Е S 2 = ЕО 2 S 2 = 115 2 + 138 2 =

= 13225 +19044 = 32269

Е S 180

E

D

7. ES - высота А S D

S А SD = 0,5 Е S •А D = 0,5 •1 80 • 230 =20 70 0 м 2

Ответ: 82 80 0 м 2

8. S б.пов =4 S тр = 4 • 20 70 0 = 82 80 0 м 2

5. (устно) Боковое ребро правильной пирамиды вдвое больше ее высоты. Определите угол наклона бокового ребра к плоскости основания. Решение: S 1. AC    В D = О 2.  Пирамида правильная  S О   (АВС)     S О D –п\у  В 3. S D = 2 •  SO С А 4 .    D = 30 0 О D Ответ: 30 0 .

5. (устно) Боковое ребро правильной пирамиды вдвое больше ее высоты. Определите угол наклона бокового ребра к плоскости основания.

Решение:

S

1. AC В D = О

2. Пирамида правильная

S О (АВС) S О D –п\у

В

3. S D = 2 SO

С

А

4 . D = 30 0

О

D

Ответ: 30 0 .

PA 1 A 2 …A n – произвольная пирамида α – плоскость основания β – секущая плоскость, PB 1 B 2 …B n – пирамида P || B 2 B 3 β O B 1 B n B 1 B 2 …B n  – верхнее основание   A 1 A 2 …A n – нижнее снование A 1 B 1 B 2 A 2 ; …; A n B n B 1 A 1 – боковые грани – трапеции A 1 B 1 ; A 2 B 2 ; …; A n B n – боковые ребра OO 1 = H – высота A 3 H α A 2 O 1 A 1 A n

PA 1 A 2 …A n – произвольная пирамида

α – плоскость основания

β – секущая плоскость,

PB 1 B 2 …B n – пирамида

P

||

B 2

B 3

β

O

B 1

B n

B 1 B 2 …B n – верхнее основание

A 1 A 2 …A n – нижнее снование

A 1 B 1 B 2 A 2 ; …; A n B n B 1 A 1 – боковые грани – трапеции

A 1 B 1 ; A 2 B 2 ; …; A n B n – боковые ребра

OO 1 = H – высота

A 3

H

α

A 2

O 1

A 1

A n

Правильная треугольная усеченная пирамида – боковые грани  –  равные между собой равнобокие трапеции. Δ  ABC и  Δ  A 1 B 1 C 1 – равносторонние OO 1 = H – высота КК 1 = h – апофема   B 1 a K A 1 O C 1 B h H b K 1 O 1 A C

Правильная треугольная усеченная пирамида –

боковые грани – равные между собой равнобокие трапеции.

Δ ABC и Δ A 1 B 1 C 1 – равносторонние

OO 1 = H – высота

КК 1 = h – апофема

B 1

a

K

A 1

O

C 1

B

h

H

b

K 1

O 1

A

C

Правильная четырехугольная усеченная пирамида – боковые грани – равные между собой равнобокие трапеции. ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 – квадраты OO 1 = H – высота KK 1 = h – апофема B 1 O 1 C 1 a K 1 A 1 D 1 h H B C b K O A D

Правильная четырехугольная усеченная пирамида –

боковые грани – равные между собой равнобокие трапеции.

ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 – квадраты

OO 1 = H – высота

KK 1 = h – апофема

B 1

O 1

C 1

a

K 1

A 1

D 1

h

H

B

C

b

K

O

A

D

Домашнее задание

Домашнее задание

  • 1). Если в правильной треугольной пирамиде высота H равна стороне основания a, то боковые ребра составляют с плоскостью основания углы в 600. Верно ли это утверждение?
  • 2). Сторона квадрата равна 10 см. Доказать, что нельзя, используя его в качестве основания, построить правильную четырехугольную пирамиду с боковым ребром 7 см.
  • 3). Доказать или опровергнуть утверждение: «если в пирамиде все ребра равны, то пирамида правильная».


Получите в подарок сайт учителя

Предмет: Математика

Категория: Презентации

Целевая аудитория: 10 класс.
Урок соответствует ФГОС

Скачать
Пирамида. Усеченная пирамида. Правильная пирамида. Тетраэдр презентация

Автор: Пятакова Зоя Владимировна

Дата: 03.11.2017

Номер свидетельства: 436492

Похожие файлы

object(ArrayObject)#850 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(110) "Пирамида. Усеченная пирамида. Правильная пирамида. Тетраэдр"
    ["seo_title"] => string(62) "piramida_usiechiennaia_piramida_pravil_naia_piramida_tietraedr"
    ["file_id"] => string(6) "436491"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1509704854"
  }
}
object(ArrayObject)#872 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(36) "Усеченные пирамиды "
    ["seo_title"] => string(22) "usiechiennyie-piramidy"
    ["file_id"] => string(6) "219708"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1434351622"
  }
}

Получите в подарок сайт учителя

Видеоуроки для учителей

Курсы для учителей

ПОЛУЧИТЕ СВИДЕТЕЛЬСТВО МГНОВЕННО

Добавить свою работу

* Свидетельство о публикации выдается БЕСПЛАТНО, СРАЗУ же после добавления Вами Вашей работы на сайт

Удобный поиск материалов для учителей

Ваш личный кабинет
Проверка свидетельства