Пирамида. Усеченная пирамида. Правильная пирамида. Тетраэдр презентация

•

Пирамиды

– это многогранник, состоящий из n -угольника А 1 А 2 А 3 ...А n ( основание ) и n треугольников ( боковые грани ), имеющих общую вершину ( Р ).

РА 1 ; РА 2 ; РА 3 ; ... ; РА n – боковые ребра

А 1 А 2 ; ... ;А 1 А n – ребра основания

Р H – высота пирамиды - h

Р

h

А 3

А 2

H

А 1

А n

SABC - тетраэдр

S

B

A

C

Правильная пирамида

• основание – правильный многоугольник, вершина проецируется в центр основания;
• боковые ребра – равны;
• боковые грани – равные равнобедренные треугольники.

H – высота,

h – апофема

H

h

Правильные пирамиды

Правильная четырехугольная пирамида

а – сторона основания

H – высота,

h – апофема,

AB = BC = CD = DA = a ( в основании – квадрат)

К – середина DC

P

h

H

B

C

a

К

O

D

A

a

Правильная треугольная пирамида

h – апофема

H – высота,

S

AB = BC = AC = a

h

B

H

D

O

A

a

C

Свойства боковых ребер и боковых граней правильной пирамиды

Отметим некоторые свойства правильной n-угольной пирамиды на примере треугольной пирамиды. Как известно центр правильного треугольника совпадает с центром вписанной и описанной около него окружности. Поэтому отрезки АО, ВО и СО равны как радиусы. Поэтому прямоугольные треугольники АОМ, ВОМ и СОМ равны по двум катетам (МО-общая). Из равенства этих треугольников следует равенство соответствующих сторон: АМ=ВМ=СМ – боковые ребра равны.

• Свойство 1: В правильной n-угольной пирамиде все боковые ребра равны между собой. Из равенства ребер следует и равенство боковых граней. Треугольники АВМ, ВСМ и АСМ равны по трем сторонам.
• Свойство 2: Все боковые грани правильной n-угольной пирамиды суть равные равнобедренные треугольники, поэтому все плоские углы при вершине равны, все плоские углы при основании равны. Из равенства прямоугольных треугольников ОРМ, ОТМ и ОКМ (ОТ=ОР=ОК как радиусы вписанной окружности; МО - общая) следует равенство всех двугранных углов при основании пирамиды РОРМ=РОТМ=РОКМ
• Свойство 3: В правильной n-угольной пирамиде все двугранные углы при основании равны.

S

•

В

А

С

D

•

D

В

С

А

1. В основании пирамиды Хеопса – квадрат со стороной 230м, тангенс угла наклона боковой грани к основанию равен 1,2. Найти высоту самой высокой египетской пирамиды, если основание ее лежит в центре квадрата.

Решение:

S

1 . AC  В D = О

2. Пирамида правильная 

S О  (АВС)

В

3. ОЕ  А D  ОЕ  С D 

С

А

4. S Е  С D (по теореме о 3 перпендикулярах)

О

E

5.  S ОЕ – п\у tg E = S О : ОЕ

D

6. ОЕ = 0,5А D =115м

7. S О = ОЕ • tg E = 115 • 1,2 = 138 м

Ответ: 138 м.

2. В основании пирамиды Хеопса – квадрат со стороной 230м, высота пирамиды 138 м . Найти боковое ребро самой высокой египетской пирамиды.

Решение:

1 . AC  В D = О

S

2.  АО D – п\у, р\б

по т. Пифагора

А D 2 = D О 2 +ОА 2

2О D 2 = 230 2 = 52900

О D 2 = 2 6 450

В

С

А

О

3 . Пирамида правильная 

S О  (АВС)

4 .  S О D – п\у

230 м

D

по т. Пифагора DS 2 = D О 2 +О S 2 = 2 6 450 + 138 2 =

= 2 6 450 +19044 = 45494

D S  213 м

Ответ: 213 м.

3.Чему равна площадь поверхности правильного тетраэдра с ребром 1?

Решение

SABC – тетраэдр 

S

1. S пов=4 S тр

2. S тр = 0,5 а 2 sin 60 0

3. S пов=4 • 0,5 а 2 sin 60 0 =

=

B

A

Ответ:

C

4. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды Хеопса, сторона основания которой равна 230 м и высота 138 м.

Решение:

1. S б.пов=4 S тр

S

2. AC  В D = О

3. Пирамида правильная 

S О  (АВС)

В

4. ОЕ  С D  ОЕ  А D 

5. S Е  А D (по теореме о 3 перпендикулярах)

С

А

О

6.  S ОЕ – п\у

по т. Пифагора

Е S 2 = ЕО 2 +О S 2 = 115 2 + 138 2 =

= 13225 +19044 = 32269

Е S  180

E

D

7. ES - высота  А S D

S А SD = 0,5 Е S •А D = 0,5 •1 80 • 230 =20 70 0 м 2

Ответ: 82 80 0 м 2

8. S б.пов =4 S тр = 4 • 20 70 0 = 82 80 0 м 2

5. (устно) Боковое ребро правильной пирамиды вдвое больше ее высоты. Определите угол наклона бокового ребра к плоскости основания.

Решение:

S

1. AC  В D = О

2. Пирамида правильная 

S О  (АВС)   S О D –п\у

В

3. S D = 2 • SO

С

А

4 .  D = 30 0

О

D

Ответ: 30 0 .

PA 1 A 2 …A n – произвольная пирамида

α – плоскость основания

β – секущая плоскость,

PB 1 B 2 …B n – пирамида

P

||

B 2

B 3

β

O

B 1

B n

B 1 B 2 …B n – верхнее основание

A 1 A 2 …A n – нижнее снование

A 1 B 1 B 2 A 2 ; …; A n B n B 1 A 1 – боковые грани – трапеции

A 1 B 1 ; A 2 B 2 ; …; A n B n – боковые ребра

OO 1 = H – высота

A 3

H

α

A 2

O 1

A 1

A n

Правильная треугольная усеченная пирамида –

боковые грани – равные между собой равнобокие трапеции.

Δ ABC и Δ A 1 B 1 C 1 – равносторонние

OO 1 = H – высота

КК 1 = h – апофема

B 1

a

K

A 1

O

C 1

B

h

H

b

K 1

O 1

A

C

Правильная четырехугольная усеченная пирамида –

боковые грани – равные между собой равнобокие трапеции.

ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 – квадраты

OO 1 = H – высота

KK 1 = h – апофема

B 1

O 1

C 1

a

K 1

A 1

D 1

h

H

B

C

b

K

O

A

D

Домашнее задание

• 1). Если в правильной треугольной пирамиде высота H равна стороне основания a, то боковые ребра составляют с плоскостью основания углы в 600. Верно ли это утверждение?
• 2). Сторона квадрата равна 10 см. Доказать, что нельзя, используя его в качестве основания, построить правильную четырехугольную пирамиду с боковым ребром 7 см.
• 3). Доказать или опровергнуть утверждение: «если в пирамиде все ребра равны, то пирамида правильная».