Перпендикулярность прямой и плоскости

Муниципальное общеобразовательное бюджетное учреждение

средняя общеобразовательная школа №15

городского округа г. Нефтекамск

Урок геометрии по теме

«Перпендикулярность прямой и плоскости»

Тип урока: обобщение и закрепление изученного материала.

Продолжительность урока: 45 минут.

Класс: 10А.

Технологии: компьютеры для проверки теории и самооценки знаний обучающимися, слайды на экране для проверки домашнего задания, обобщения и закрепления материала, съемный носитель информации для проверки решенных задач.

Учитель математики Давлетгареева И.Н.

г.Нефтекамск

2014 год.

Аннотация.

Данный урок геометрии я провела в 10А классе своей школы во время городского семинара учителей математики. Тип урока: обобщение и закрепление изученного материала по первым главам стереометрии. В начале урока проверяется домашнее задание с помощью слайдов, на экране тест и ключ к тесту, после которого появляется слово, органичным образом вплетенное в дальнейшее изложение урока. На примере из строительной практики учащиеся повторяют основные теоремы и признаки, после чего на экране появляются слайды с изображением Пизанской башни, в которой нарушен признак перпендикулярности прямой к плоскости. Основная часть урока – работа за компьютерами и работа по готовым чертежам. 4 ученика за компьютерами восстанавливают доказательство основных теорем, остальные работают на местах по чертежам на экране. Работа за ПК подразумевает уверенное пользование им, так как ученики после доказательства должны сохранить свои работы под определенными именами в определенных папках не в ПК, а на съемном носителе учителя, после этого только получают ключи к ответам и проверяют свои решения. Выставляя оценки, дети знают, что учитель их перепроверит, так как USB-накопитель учителя уже хранит их решения. После этой работы идет разминка – на развитие пространственного мышления. Работа с «конструктором» и решение задачи дает возможность отдохнуть от мерцания экрана. Проверка теории на слайдах позволяет быстро и качественно проверить все основные элементы материала, не загружая детей и себя бумагой и потерей времени. Домашнее задание ученики тоже получили с учетом своих возможностей, т.е. дифференцированно. На данном уроке я показала применение ПК для проверки знаний теоретического материала, кроме этого дети должны были показать свое умение быстро и оперативно работать с интерфейсом, навыки работы как уверенного пользователя компьютером. Урок получился насыщенным, ярким, и, несмотря на то, что геометрия – не самый любимый предмет учащихся, десятиклассники долго вспоминали этот урок не только из-за необычности, но и из-за того, что тот закрепляемый материал очень понадобился в последующем при решении задач на доказательство.

Цели урока:

Образовательная:

• обобщить, систематизировать и закрепить полученные знания по теме «Перпендикулярность прямой и плоскости»,

• проверить свои знания теории при решении задач.

Развивающая:

• развитие пространственного и логического мышления, пространственной абстракции и воображения,

• развитие навыка творческого подхода к решению задачи,

Воспитательная:

• привитие интереса к предмету.

Тип урока: обобщение и закрепление изученного материала.

Методы обучения: словесные, наглядные, метод самопроверки, взаимопроверки.

Формы организации урока: индивидуальная, парная, фронтальная.

Оборудование: компьютеры, проектор, экран, индивидуальный стереометрический «Конструктор», отвес, каркасные и стеклянные модели геометрических тел.

План урока.

1. Организационный момент – 1 мин.

2. Проверка домашнего задания в виде теста 5 мин.

3. Актуализация знаний с помощью примера из строительной практики.-5 мин.

4. Решение задач по готовым чертежам, работа за компьютерами – 15 мин.

5. Разминка. Развиваем пространственное мышление.- 2 мин.

6. Работа с «Конструктором» и решение задачи. – 8 мин.

7. Проверка по теории на слайдах. – 5 мин.

8. Дифференцированное домашнее задание. – 2 мин.

9. Итог урока. Рефлексия. – 2 мин.

Ход урока.

1. Организационный момент. Здравствуйте, ребята. Садитесь. Сегодня мы с вами на уроке повторим, обобщим и систематизируем знания, умения и навыки, полученные по теме «Перпендикулярность прямой и плоскости», решим задачи на применение теории по этой теме, а начнем с проверки домашнего задания.

1. У всех на партах готовые листочки с тестами, составленными по домашнему заданию, которое я вам задала из сборника задач ЕГЭ. На слайде таблица, откуда вы должны выбрать правильные ответы. Из полученных букв сложите слово.

Тест по домашнему заданию.

Задача №1.

В основании прямоугольного параллелепипеда квадрат со стороной 3. Найдите площадь сечения, проходящего через диагонали оснований, если высота параллелепипеда равна 2√2.

Задача №2. Объем прямоугольного параллелепипеда равен 64. Чему будет равен объем параллелепипеда, если каждое его ребро уменьшить в 4 раза?

Задача №3. Ребро куба АВСДА1В1С1Д1 равно 4, точка М – середина АА1. Найдите площадь сечения, проведенного через вершины Д1, С и точку М.

• По первой задаче: Чему равна диагональ основания параллелепипеда?

• Сколько получится, если ответ задачи увеличить в три раза?

• По второй задаче: Чему равен объем параллелепипеда?

• По третьей задаче: чему равно меньшее основание трапеции?

• Какова площадь сечения?

Вариант ответа	8	18	3√2	2√5	12	36	3√5	2√2	24
Буква	1	с	о	а	з	т	н	е	р

Какое слово получили? У кого «отвес», получают «5». У кого ошибка в одной букве – «4».

1. Полученное слово, а вернее предмет, который оно обозначает, напрямую связан с одной теоремой, хорошо нам известной.

Вопрос. Скажите, для чего нужен отвес?

Ответ. Для проверки параллельности прямых. Строитель знает, что одна из прямых (отвес – вертикальное направление) перпендикулярна к горизонтальной плоскости. Если прямые параллельны, то угол дома перпендикулярен к плоскости, то есть вертикален.

Вопрос. Какую теорему применяет строитель?

Ответ. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.

Вопрос. (показывая два отвеса) Как расположены два отвеса по отношению к горизонтальной плоскости? Почему?

Ответ. Они перпендикулярны. Под действием силы тяжести.

Вопрос. А между собой как расположены?

Ответ. Параллельны.

Вопрос. Как звучит обратная теорема, по которой определяется параллельность этих прямых?

Ответ. Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.

Вопрос. А теперь посмотрите на картинку и скажите, какая теорема нарушена при строительстве современной пизанской башни?

Ответ. Теорема (признак перпендикулярности прямой и плоскости.) Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

1. - А теперь поработаем таким образом. 4 ученика садятся за компьютеры и будут сдавать теорию: определения и теоремы с доказательствами. Остальные поработают по готовым чертежам.

За ПК 4 сильных ученика будут восстанавливать определения, теоремы и их доказательства, затем скопируют готовые файлы на съемный диск учителя, после этого получают название файла с правильными ответами, открыв который проверяют свои решения и ставят себе оценку по заданному учителем критерию. На слайдах выводятся готовые чертежи, по которым будут работать остальные учащиеся.

Точка М лежит вне плоскости АВС.

1. Рис.1.Доказать: прямая АС перпендикулярна плоскости АВМ.

2. Рис.2.ВМDС- прямоугольник. Доказать: прямая СD перпендикулярна плоскости АВС.

3. Рис.3.АВСD – прямоугольник. Доказать: АD перпендикулярна АМ.

4. Рис.4. Доказать: прямая ВС перпендикулярна DЕ.

5. Рис.5. АВСD – параллелограмм. Доказать: прямая МО перпендикулярна плоскости АВС.

6. Рис.6. АВСD – ромб. Доказать: прямая ВD перпендикулярна плоскости АМС.

Самопроверка учащихся за ПК и оценивание учащихся, работающих по чертежам.

1. Сейчас отдохнем от задач, но не от геометрии. Для развития пространственного мышления предлагаю такое задание: Прозрачный кубик обвит проволокой так, как показано на рисунке 5.(проволока выделена жирной линией). Какие из рисунков 6 а, б, в, г, д соответствуют изображению проволоки, видимой со сторон, обозначенных стрелками: 1 – вид спереди, 2 – вид сбоку, 3 – вид сверху?

2 задание.

1. Работа с «Конструктором» и решение задачи.

1 сильный ученик собирает конструкцию по условию задачи, составляет модель решения задачи и оформляет на доске.

Задача. Дан прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С и катетом ВС=3см. Из вершин В и С восстановлены равные перпендикуляры к плоскости АВС. Найти длину отрезка АВ1, если АС1=4 см.

Дано: ΔАВС, ∟С=90°, ВВ

, ВС=3 см, =4 см.

Найти: .

Решение.1),

2)- прямоугольник,

3)

4)

5) Тогда ,

6)

Ответ: 5.

7. И перед подведением итогов повторим теорию на слайдах.

На слайдах выводятся предложения, вместо многоточия нужно ставить нужные слова.

1. Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если ………………

угол между ними равен 90°.

1. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая ………

перпендикулярна к этой прямой.

1. Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости……

параллельны.

1. Дан параллелепипед. Назовите

• Ребра, перпендикулярные к плоскости DCC1:

• АD, ВС, В1С1, А1D1.

• Плоскости, перпендикулярные ребру ВВ1:

• А1В1С1, АВС.

• Как расположены СС1 и DСВ?

• Перпендикулярны.

• Как расположены D1С1 и DСВ&

• Параллельны.

8. Домашнее задание. В качестве домашнего задания пойдет домашняя контрольная работа по пройденной теме, т.к. со следующего урока мы начнем изучать перпендикулярные плоскости. Она в двух вариантах, в каждом по 4 задания. Критерий оценивания: 2 верно решенных задания –на «3», 3 задания – на «4», 4 – на «5». Писать решения на розданных листочках, только подпишите их, на следующем уроке я соберу и выставлю оценки.

9.Итог урока. Ребята, давайте подведем итог. Сегодня на уроке:

1. Сформулировали теоремы, показывающие взаимосвязь между перпендикулярностью и параллельностью плоскостей и прямых.

2. Еще раз убедились, что наука не может развиваться сама по себе, она всегда служит для улучшения жизни людей, чтобы человек жил в гармонии с окружающим его миром.

3. Показали, как вы умеете применять теоретические знания к решению задач.

Выставление оценок.