Конспект урока на тему "Перпендикулярность прямой и плоскости"

Тема: ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ

Цели:

• Сформировать у обучающихся понятие перпендикулярности прямых в пространстве, прямой перпендикулярной плоскости; изучить лемму о перпендикулярности двух параллельных прямых третьей; теоремы в которых устанавливается связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости.
• Продолжить формирование навыков самостоятельности у обучающихся в процессе самоконтроля и при изучении нового материала.
• Воспитывать познавательный интерес к предмету.

Методическая цель:

Активизация познавательной деятельности обучающихся на уроке математики.

КМО:

• Рисунки к теоремам
• Справочный материал
• Рисунки к задачам (подготовленные обучающимися)
• учебник
• карта отметок

Тип урока:

Изучение нового материала.

Вид урока:

Комбинированный.

Ход урока.

1. Орг. момент.
2. Подготовка обучающихся к занятию.

Сообщение темы и цели занятия. Мотивация.

1. Формирование новых знаний.

Работа с обучающимися получившими опережающее задание.

1 обучающийся: Две прямые в   пространстве   называются   перпендикулярными    (взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен 90°. Перпендикулярность прямых а и b обозначается так: а^b. Перпендикулярные прямые могут пересекаться и могут быть

скрещивающимися. На рисунке1 перпендикулярные прямые а и b пересекаются, а перпендикулярные прямые а и с скрещивающиеся.

2 обучающийся: Докажем лемму о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой.

Лемма. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

Доказательство. Пусть а||b и a^c. Докажем, что b^с. Через произвольную точку М пространства, не лежащую на данных прямых, проведем прямые МА и МС, параллельные соответственно прямым а и с (рис. 2). Так как a^c, то ÐAMC = 90°.

Рисунок 1

Рисунок 2

По условию леммы b||а, а по построению а||МA, поэтому b||МА. Таким образом, прямые b и с параллельны соответственно прямым МА и МС, угол между которыми равен 90°. Это означает, что угол между прямыми b и с также равен 90°, т. е. b^c. Лемма доказана.

Оформление в тетради:

Дано:

а||b, a^c

Доказать:

b^с

Доказательство:

1. Через точку М Îa, МА|| a, МС|| c, a ^ cÞ ÞМА^МСÞÐAMC=90°.

2. b||а, а||МAÞ b||МАÞ b^c.

3 обучающийся:    Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости. Определение. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Перпендикулярность прямой а и плоскости a обозначается так: a^a. Говорят также, что плоскость a, перпендикулярна к прямой а.

Если прямая а перпендикулярна к плоскости a, то она пересекает эту плоскость. В самом деле, если бы прямая а не пересекала плоскость a, то она или лежала бы в этой плоскости, или была бы параллельна ей. Но тогда в плоскости a имелись бы прямые, не перпендикулярные к прямой а, например прямые, параллельные ей, что противоречит определению перпендикулярности прямой и плоскости. Значит, прямая а пересекает плоскость a.

На рисунке 3 изображена прямая а, перпендикулярная к плоскости a.

Окружающая нас обстановка дает много примеров, иллюстрирующих перпендикулярность прямой и плоскости. Непокосившийся телеграфный столб стоит прямо, т. е. перпендикулярно к плоскости земли. Так же расположены колонны здания по отношению к плоскости фундамента, линии пересечения стен по отношению к плоскости пола и т. д.

Докажем две теоремы, в которых устанавливается связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости.

Рисунок 3

Теорема. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости,

Рисунок 4

Доказательство. Рассмотрим две параллельные прямые а и a1 и плоскость a, такую, что a^a. Докажем, что и  a1^a.

Проведем какую-нибудь прямую х в плоскости a (рис. 4). Так как a^a, то a^x. По лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей a1^x. Таким образом, прямая a1 перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости a, т. е. a1^a. Теорема доказана.

Оформление в тетради:

Дано:

а|| a1, a^a

Доказать:

a1^a

Доказательство:

Проведём х Îa, т.к. a^a, то a ^хÞ a1^ х (лемма) Þ Þa1^a..

Докажем обратную теорему.

Теорема. Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.

Рисунок 5

Доказательство. Рассмотрим прямые а и b, перпендикулярные к плоскости a (рис. 5,а). Докажем, что а || b.

Через какую-нибудь точку М прямой b проведем прямую b1, параллельную прямой а. По предыдущей теореме b1^a. Докажем, что прямая b1 совпадает с прямой b. Тем самым будет доказано, что а || b. Допустим, что прямые b и b1 не совпадают. Тогда в плоскости b, содержащей прямые b и b1, через точку М проходят две прямые, перпендикулярные к прямой с, по которой пересекаются плоскости a иb (рис. 5, б). Но это невозможно, следовательно, а||b. Теорема доказана.

Оформление в тетради:

Дано:

a^a, b^a

Доказать:

а || b

Доказательство:

1.Предположим, что а || b тогда, через М Îb, b1 ||aÞ Þa^a Þ b1^a.

2. через точку М в плоскости b,   b и b1 ^с Þ а || b

1. Закрепление нового материала.

1. Чтение теорем устанавливающих связь между параллельностью и перпендикулярностью.

2. Попарная проверка теорем.

1. Применение знаний и умений обучающихся.

Заранее выбираются консультанты, которые разбирают задачи и выполняют рисунки к ним.

Группа делится на подгруппы, где вместе с консультантами разбираются задачи. От каждой группы представитель записывает решение задачи у доски. Все обучающиеся записывают решения задач в тетрадь.

1. подгруппа №116(а).
2. подгруппа №116 (б).
3. подгруппа №117
4. Подгруппа №118
5. Подгруппа №117

1. Домашнее задание.
2. Подведение итогов занятия(выставление отметок).

Приложение

№ 116 (а)

Дано: - параллелепипед, 

Доказать:  ,

Доказательство: A1D1ïïAD Þ AB^ A1D1 (лемма);

ABïïDC, B1C1ïïAD Þ DC^B1C1 (лемма).

№ 116 (б)

Дано: - параллелепипед,  AB^DD1

Доказать:  ,

Доказательство: ABïïA1B1, AB^DD1 Þ A1B1^ DD1 (лемма);

AB^DD1, DD1ïïCC1 Þ AB^CC1 (лемма).

№ 117

Дано: DABC - тетраэдр,  BC^AD, MÎAB, AM = MB, NÎAC, AN = NC

Доказать: AD^MN

Доказательство: MNïïBC, (как средняя линия D ABC);

BC^AD Þ MN^AD (лемма).

№ 118

Дано: a^a, A,M, O Î a, O,B,C,D Î a

Найти: прямые углы

Решение: a^a Þ  a^CO, a^ DO, a^BO (по определению перпендикулярности прямой и плоскости) Þ ÐAOB = 90º,

ÐMOC = 90º, ÐDOA = 90º