Открытый урок математики "Длина окружности"

УПРАВЛЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ

АДМИНИСТРАЦИИ ГОРОДА АНЖЕРО-СУДЖЕНСКА

КЕМЕРОВСКОЙ ОБЛАСТИ

МУНИЦИПАЛЬНОЕ АВТОНОМНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ АНЖЕРО-СУДЖЕНСКОГО ГОРОДСКОГО ОКРУГА

«ОСНОВНАЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА № 32»

«Великое открытие» или

«Теорема Виета»

(урок математики в 8 классе)

Анжеро-Судженский городской округ, 2013 г.

Автор-составитель: Веремьёва Надежда Петровна,

учитель математики и информатики

высшей квалификационной категории

МАОУ «ООШ № 32»

«Великое открытие или «Теорема Виета». Методическая разработка урока математики для 8 класса // Н. П. Веремьёва – Анжеро-Судженск, 2013 г.

Данная методическая разработка предназначена для проведения комбинированного урока математики в 8 классе при изучении раздела «Квадратные уравнения». В ней рассмотрены основные приемы при решении квадратных уравнений с использованием формул Теоремы Виета.

Презентация к данному уроку может быть взята за основу при составлении уроков по другим темам.

Пояснительная записка

Данный урок усвоения новых знаний построен с учётом системно-деятельностного и компетентностного подхода, с применением группового и проектного способа обучения.

Все этапы урока соответствуют структуре продуктивного мыслительного акта: постановка проблемы – поиск путей ее решения – формулировка вывода – проверка вывода.

На этапе мотивации использован прием «погружение в проблему», основанный на личностной реакции ребенка.

Мы можем чем-то научить наших учеников, если они сами хотят этому научиться. Поэтому главное – это заинтересовать школьников нашим предметом, который на самом деле – самый интересный и нужный каждому человеку, именно поэтому урок основывается как «Великое открытие или Теорема Виета». Для поддержания интереса к предмету данный урок построен с использованием компьютерной презентации при объяснении нового материала, при повторении, систематизации знаний, закреплении изученного. При объяснении нового материала презентация сопровождает и иллюстрирует объяснения учителя. Также на уроке использованы элементы здоровьесберегающих технологий.

Сценарий урока

План-конспект урока математики

«Теорема Виета»

Тема урока: «Великое открытие или «Теорема Виета»

Учитель: Веремьёва Надежда Петровна

Класс: 8

Дата проведения:

Тип урока: урок изучения нового материала

Цели урока:

• Обучающая: создать условия для исследовательской деятельности учащихся при изучении нового материала. «Открыть» теорему Виета. Научиться применять ее при решении приведенных квадратных уравнений, при составлении уравнений по его корням. Познакомить учащихся с методами исследования (теоретическими и эмпирическими).

• Развивающая: способствовать выработке у школьников умения обобщать изучаемые факты, формулировать выводы; развивать исследовательские навыки и самостоятельность путем составления ими уравнений; развивать интеллектуальные умения: сравнивать, обобщать, анализировать, систематизировать.

• Воспитательная: уделить внимание эстетическому воспитанию, показать учащимся, что математика имеет свою красоту и изящество, побуждать учащихся к самоконтролю, воспитание познавательной активности, организованности, сосредоточенности, положительного отношения к учебе, научить преодолевать трудности, настраиваться на успех в любом деле; формировать навыки сотрудничества.

Задачи урока:

• Закрепить навыки умения решать квадратные уравнения, научиться быстро решать квадратные уравнения.

• Формировать развитие мышления, счетных навыков.

• Возбудить интерес учебными действиями к урокам математики.

Оборудование:

• Учебник Ю. Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк и др. «Математика. 8 класс». – М.: Мнемозина, 2009 г.

• Презентация «Теорема Виета», проектор, интерактивная доска Interwrite DualBoard

• Рабочие листы

• Контрольные листы для учащихся

Продолжительность урока – 45 мин

Структура урока

1. Организационный момент. Проверка домашнего задания (2 мин)

2. Постановка темы и целеполагание (3 мин)

3. Объяснение нового материала (15 мин)

1 этап. Обзор. Мотивация

2 этап. Исследование – поиск путей решения проблемы

3 этап. Обмен информацией.

4 этап. Связывание информации.

1. Физкультминутка (2 мин)

2. Проектная работа (10 мин)

3. Закрепление и обобщение изученного материала (10 мин)

4. Постановка домашнего задания (1 мин)

5. Подведение итогов урока. Рефлексия (3 мин)

Ход урока

1. Организационный момент. Проверка домашнего задания

Цель: подготовить учащихся к работе.

Приветствие учащихся; проверка их готовности к уроку.

2. Постановка темы и целеполагание.

Ребята, сегодня у нас очередной урок по теме «Квадратные уравнения». Вы уже умеете решать квадратные уравнения различными способами. Почему тогда автор учебника предлагает изучить еще одну тему, связанную с решением квадратных уравнений?

(- Значит, есть более рациональный, эффективный способ решения квадратных уравнений)

Давайте попробуем определить цели нашего сегодняшнего урока, что мы уже умеем делать, чему должны или можем научиться. Итак…

(высветить слайд с незаполненной таблицей и в ходе обсуждения её заполнить)

О квадратных уравнениях
№ п/п	Что я знаю	Что не знаю
1. 2. 3.	Решать по формуле полные квадратные уравнения Решать неполные квадратные уравнения Решать задачи с помощью квадратных уравнений	Новый способ решения квадратных уравнений

Выслушать предложения ребят, скорректировать ответы, сделать выводы и сформулировать цели урока.

Напишите в тетрадях дату, классная работа, тему урока: Теорема Виета.

3. Объяснение нового материала.

1 этап. Обзор. Мотивация.

На протяжении последних уроков мы занимались решением квадратных уравнений.

Занимаясь квадратными уравнениями, вы, вероятно, уже заметили, что информация об их корнях скрыта в коэффициентах. Кое - что «скрытое» для нас уже открылось.

От чего зависит наличие или отсутствие корней квадратного уравнения? (от дискриминанта)

Из чего составляется дискриминант квадратного уравнения?

(из коэффициентов a, b, c)

В зависимости от того, какие коэффициенты квадратного уравнения, можно определять корни неполных квадратных уравнений.

Как ещё связаны между собой корни и коэффициенты квадратного уравнения? Чтобы раскрыть эти связи, наверное, будет полезно понаблюдать за коэффициентами и корнями различных квадратных уравнений.

Дома вы решали квадратные уравнения и я надеюсь, что все вы правильно решили эти уравнения. Проверку осуществим следующим образом: вы называете мне любое уравнение, я записываю его на доске и мгновенно называю его корни.

Проверяя домашнюю работу, ученики приходят в недоумение: каким образом учителю удается угадывать корни всех уравнений?

Учитель предлагает учащимся решить уравнение х²–2087х+2086=0. Вид коэффициентов вызывает у учащихся нежелание решать такое уравнение, а учитель называет корни этого уравнения сразу.

Учащиеся высказывают предположение о существовании особых свойств либо новой формулы корней приведенного квадратного уравнения. Ученики ставят проблемный вопрос:

“Существует ли связь между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения? Если существует, то какова эта связь?”

При поиске закономерностей исследователи часто фиксируют свои наблюдения в таблицах, которые помогают обнаружить эти закономерности.

Сейчас мы проведём небольшое исследование, а результаты исследования занесём в таблицу.

2 этап. Исследование – поиск путей решения проблемы.

Класс делится на группы по пять человек. Каждая группа получает задание и проводит исследование.

Задания для исследования каждой группе:

1 группа

1. х² -2х -3 = 0

2. х² - 10х + 21 = 0

3. х² – 3х – 10 = 0

4. х² +3х – 10 = 0

5. х² + 2х – 35 = 0

2 группа

1. х² - 9х + 20 = 0

2. х² + 5х – 6 = 0

3. х² – 2х – 15 = 0

4. х² + 2х – 15 = 0

5. х² + х – 42= 0

З группа

1. х² + 7х + 10 = 0

2. х² - 8х + 15 = 0

3. х² – х – 12 = 0

4. х² + х – 6 = 0

5. х² + 12х + 20 = 0

4 группа

1. х² + 8х + 15 = 0

2. х² - 7х + 10 = 0

3. х² – х – 12 = 0

4. х² + 7х + 12 = 0

5. х² + 7х – 18= 0

5 группа

1. х² + 10х + 21 = 0

2. х² - 7х + 12 = 0

3. х² + 13х + 30 = 0

4. х² + х – 30 = 0

5. х² – 8х + 15 = 0

План исследования.

1. Заполните рабочий лист.

2. Сравните результаты колонок №2 и №5 по каждому уравнению, найдите закономерность, сделайте вывод.

3. Сравните результаты колонок №3 и №6 по каждому уравнению, найдите закономерность, сделайте вывод.

4. Ответьте на вопрос урока.

5. Подготовьте отчет.

Одна из групп, составленная из более сильных учащихся, проводит исследование и на доске выполняет дополнительное задание, связанное с нахождением суммы и произведения корней приведенного квадратного уравнения в общем виде.

3 этап. Обмен информацией.

На доске вычерчена заготовка таблицы “Рабочий лист”. Первая группа при отчете записывает в эту таблицу только первое уравнение из своего списка, вторая группа - только второе уравнение из своего списка, третья – третье уравнение и т.д. После отчета всех групп на доске появляется заполненная таблица:

Рабочий лист

1	2	3	4	5	6
Приведенное квадратное уравнение	Второй коэффициент p	Свободный член q	Корни х1 и х2	Сумма корней х1 + х2	Произведение корней х1*х2
х2 -2х -3 = 0	-2	-3	3 и -1	2	-3
х2 + 5х – 6 = 0	5	-6	-6 и 1	-5	-6
х2 – х – 12 = 0	-1	-12	4 и -3	1	-12
х2 + 7х + 12 = 0	7	12	-3 и -4	-7	12
х2 – 8х + 15 = 0	-8	15	3 и 5	8	15
х2 + pх + q =0				-p	q

(проверяем заполнение учащимися таблицы)

4 этап. Связывание информации.

Вопрос. Можем ли мы сделать предположение о связи между корнями

приведенного квадратного уравнения и его коэффициентами?

(х₁+х₂ = -р, х₁•х₂ =q.)

(Проведенное исследование позволяет учащимся высказать гипотезу о связи между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения.)

Гипотеза: Если дано приведенное квадратное уравнение, то сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение равно свободному члену.

Но это нужно доказать. Может быть, не для всех приведенных уравнений эти равенства справедливы.

(Ученики предполагают, что если истинность гипотезы удастся доказать путем рассуждений, то они получат новую теорему.)

Учитель: Решить уравнение: x² – 4x + 8 = 0.

Вопрос: Для всех ли уравнений подходит это утверждение? Значит, формулировка требует уточнения.

Слайд 8. Если приведенное квадратное уравнение имеет корни x₁ и x₂ , то

x₁ + x₂ = - p

x₁ × x₂ = q.

Учитель: Проверили опытным путем только на 6 уравнениях, но математика наука точная, чтобы утверждать, надо доказать.

Еще Леонардо да Винчи говорил «Ни одно человеческое исследование не может назваться истинной наукой, если оно не прошло через математические доказательства».

Гипотеза. Если x₁ и x₂ – корни уравнения x² + px + q = 0,

то x₁ + x₂ = -р, x₁· x₂ = q.

Для подтверждения данной гипотезы к отчету готовится группа 1, она составляет доказательство, схему и выступает с докладом у доски.

- Вспомните, какая теорема называется обратной данной теореме? (Теорема, в которой условием является заключение данной теоремы, а заключением – условие данной теоремы, называется теоремой, обратной данной).

- Составьте схему теоремы, обратной записанной.

Один из возможных вариантов ответов:

“Условие”: х₁ + х₂ = -р, х₁· х₂ =q.

“Заключение”: х₁ и х₂ – корни квадратного уравнения х² + рх + q = 0.

Формулируется теорема, обратная данной.

Если числа р, q, х₁, х₂ таковы, что х₁ + х₂ = -р, х₁· х₂ = q, то х₁ и х₂ - корни приведенного квадратного уравнения х² + рх + q = 0.

Данная теорема справедлива, хотя из курса геометрии нам известно, что не всегда из истинности прямой теоремы следует истинность обратной. Доказывать эту теорему будет вторая группа.

Группы 2 и 3 находят устные приемы решения квадратных уравнений и их применение.

Группа 1 готовит историческую справку о математике Франсуа Виете.

На подготовку к отчету вам отводится 5 минут, на выступление 2-3 минуты.

4. Физкультминутка.

Цель: создать здоровьесберегающие моменты на уроке.

Учитель. Предлагает упражнения для глаз и для улучшения мозгового кровообращения.

• Быстро поморгать, закрыть глаза и посидеть спокойно, медленно считая до 5. Повторить 4- 5 раз.

• В среднем темпе проделать 3- 4 круговых движения глазами в правую сторону, столько же в левую сторону. Расслабив глазные мышцы, посмотреть вдаль на счет 1- 6. Повторить 1-2 раза.

• И.п. – сидя на стуле.

1- 2 – отвести голову назад и плавно наклонить назад;

3- 4 – голову наклонить вперед, плечи не поднимать.

Повторить 4- 6 раз. Темп медленный.

5. Проектная работа

Группы получили задание, готовят отчет, выступают с докладом и дают распечатки каждому участнику проекта.

6. Закрепление и обобщение изученного материала

Попытаемся определить, какие задачи можно будет решать с помощью прямой и обратной теоремы.

- Как вы думаете, какой из этих теорем я пользовалась, когда готовилась к уроку и придумывала различные квадратные уравнения?

- Верно, с помощью обратной теоремы по заданным корням можно составлять квадратные уравнения.

Пример1: составьте приведённое квадратное уравнение корнями которого являются числа 4 и 5

(х₁+х₂=9=-р, р=-9, х₁∙х₂=20=q, следовательно уравнение имеет вид х² - 9х+20=0)

Задание №1 (работа в группах)

1. Выпишите на чистом листе пять пар чисел, являющихся корнями квадратных уравнений, которые вы решали на этапе исследования.

2. Обменяйтесь этими листами с соседними группами.

3. По заданным корням составьте соответствующие им квадратные уравнения.

4. Дайте эти уравнения на проверку группе, которая готовила вам задание.

Осуществляется проверка правильности выполнения задания каждой группой по пятибалльной шкале (за каждое верно составленное уравнение – 1 балл).

- Как вы считаете, какая теорема позволяет определять знаки корней квадратного уравнения (если эти корни существуют)?

- Верно, прямая теорема.

Задание №2 (работа в группах)

1. Не решая уравнение, определите знаки его корней:

1) х² + 45х – 364 = 0 – для первой группы;

2) х² + 36х + 315 = 0 – для второй группы;

3) х² – 40х + 364 = 0 – для третьей группы;

4) х² – 30х + 250 = 0 – для четвертой группы.

2. Не применяя формулу корней, найдите второй корень уравнения, если известен первый:

1) х² + 45х – 364 = 0, х₁ = 7 – для пятой группы;

Математиков всегда интересовал вопрос, как решить задачу более рациональным способом.

- Нельзя ли находить корни приведенного квадратного уравнения методом подбора?

- Какую теорему в этом случае будем использовать? (Для нахождения корней приведенного квадратного уравнения методом подбора используется теорема, обратная данной).

Образец. Решить уравнение х² – х – 6 = 0.

Решение:

х₁+ х₂= 1,

х₁ · х₂ = -6;

по теореме, обратной данной, х₁ = -2, х₂ = 3.

Ответ: -2; 3

Задание №3 (индивидуальная работа)

Учащиеся самостоятельно находят методом подбора корни приведенного квадратного уравнения, причем, ученик решает уравнение, соответствующее его порядковому номеру. Ученик, справившийся с заданием, на доске под своим порядковым номером записывает букву. Если уравнения решены, верно, то получится словосочетание:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22
Ф	р	а	н	с	у	а	В	и	е	т	о	т	е	ц	а	л	г	е	б	р	ы

Решите уравнение, соответствующее своему порядковому номеру, и выберите больший корень уравнения:

1. х² + 7х + 10 = 0

2. х² – х – 20 = 0

3. х² + 6х – 7 = 0

4. х² + 11х + 24 = 0

5. х² + 17х + 70 = 0

6. х² – 7х – 30 = 0

7. х² + 10х – 11 = 0

8. х² + х – 12 = 0

9. х² + 11х + 28 = 0

10. х² – 4х – 21 = 0

11. х² + 4х + 3 = 0

1. х² + 7х - 18 = 0

2. х² + 6х + 5 = 0

3. х² -9х +14 = 0

4. х² + 13х + 42 = 0

5. х² + 2х - 3 = 0

6. х² – х – 12 = 0

7. х² + 12х + 35 = 0

8. х² -10х + 21 = 0

9. х² -х - 30 = 0

10. х² – 9х + 20 = 0

11. х² -11х + 24 = 0

Код: большему корню уравнения соответствует буква

-11	- 10	-9	-8	-7	-6	-5	-4	-3	-2	-1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
я	к	м	ч	с	ц	г	и	н	ф	т	а	о	в	л	р	б	е	ы	п	у	д

- Как вы думаете, можно ли применять теорему Виета к неприведенному квадратному уравнению? (Да, можно, т.к любое неприведенное квадратное уравнение можно привести к приведённому).

7. Постановка домашнего задания.

1. Докажите теорему Виета для квадратного уравнения вида ax² + bx + c = 0 ( индивидуальное задание).

2. Составьте, решите и оформите на формате А4 три задачи на применение теоремы Виета и три задачи на применение теоремы, обратной теореме Виета (дополнительное задание).

8. Рефлексия. Оценивание

Применение теоремы Виета

В. В. Маяковский: "Если звезды зажигают, значит, это кому-нибудь нужно".

Зачем же нужна теорема Виета?

С ее помощью можно:

• найти сумму и произведение корней квадратного уравнения, не решая его;

• зная один из корней, найти другой;

• определить знаки корней уравнения;

• подобрать корни уравнения, не решая его.

- Чем лично для вас был интересен этот урок?

- Какие формы работы вам понравились?

- На каком этапе урока вы испытывали затруднения?

- Где вы видите практическое применение изученной теоремы?

- Как вы думаете, над какими вопросами данной темы нам предстоит еще работать?

Учащиеся заполняют контрольные листы, оценивают себя и друг друга, выставляют оценки.

Используемые ресурсы и литература:

1. Ссылка: https://ru.wikipedia.org/wiki/Виет,_Франсуа – биография

2. Ссылка:http://somif.do.am/photo/velikie_matematiki/fransua_viet/2-0-51 - фотогалерея

3. Э.Г.Гельфман и др. МПИ-проект. Квадратные уравнения. Учебное пособие по алгебре для 8 класса.- Томск: Изд-во Том.ун-та, 1994.

4. Л.В.Кузнецов и др. «Сборник заданий для проведения письменного экзамена по алгебре за курс основой школы. 9 класс».

5. http://mathem-poem.narod.ru/nach/uchen/uchg.htm стихотворение

6. http://www.postupi.ru/ucheb/math/math_alg_uravn01.html доказательство теоремы

7. http://www.yspu.yar.ru:8101/projects/infomet/sposob/c62.htm задание

Приложения

Приложение 1

Виет Франсуа

1540 год - 14 февраля 1603 год

Франсуа Виет — замечательный французский математик, положивший начало алгебре как науке о преобразовании выражений, о решении уравнений в общем виде, создатель буквенного исчисления.

Виет первым стал обозначать буквами не только неизвестные, но и данные величины. Тем самым ему удалось внедрить в науку великую мысль о возможности выполнять алгебраические преобразования над символами, т. е. ввести понятие математической формулы. Этим он внес решающий вклад в создание буквенной алгебры, чем завершил развитие математики эпохи Возрождения и подготовил почву для появления результатов Ферма, Декарта, Ньютона.

Отец Виета был прокурором. По традиции сын выбрал профессию отца и стал юристом, окончив университет в Пуату. В 1560 году двадцатилетний адвокат начал свою карьеру в родном городе, но через три года перешел на службу в знатную гугенотскую семью де Партене. Он стал секретарем хозяина дома и учителем его дочери. . Именно преподавание пробудило в молодом юристе интерес к математике.

В 1571 году Виет перешел на государственную службу, став советником парламента, а затем советником короля Франции Генриха III.
В ночь на 24 августа 1572 года в Париже произошла массовая резня гугенотов католиками, так называемая Варфоломеевская ночь.

Виет изложил программу своих исследований и перечислил трактаты, объединенные общим замыслом и написанные на математическом языке новой буквенной алгебры, в изданном в 1591 году знаменитом «Введение в аналитическое искусство». Главный замысел ученого замечательно удался, началось преобразование алгебры в мощное математическое исчисление. Само название «алгебра» Виет в своих трудах заменил словами «аналитическое искусство». Он писал в письме к де Партене «Все математики знали, что под алгеброй и алмукабалой... скрыты несравненные сокровища, но не умели их найти. Задачи, которые они считали наиболее трудными, совершенно легко решаются десятками с помощью нашего искусства...».

IV. Мог ли ученый оказаться вне событий, которыми жило общество того времени? Конечно, нет! Виет оказался вовлечен в водоворот этих событий. Будучи хорошим ученым, он давал уроки знатным вельможам, поэтому оказался приближенным к королевской власти. Его жизнь развивалась по двум направлениям. С одной стороны – он занимался научной деятельностью. Но занимался он не математикой, а астрономией. Зарождение научного мировоззрения, формирование нового взгляда на строение солнечной системы не могли не увлечь его как ученого. Для научного обоснования точки зрения ученых необходимо было сделать расчеты. Вот поэтому попутно с астрономией Виет углубился в математику. И достиг в этом больших успехов. Виет первым придумал буквенные обозначения для известных чисел, так называемых параметров. До него процесс решения квадратных уравнений излагался в словесной форме т. е. без записи формул. Правда, записи Виета были громоздкими, их позже облегчил также французский математик Рене Декарт. Но идея введения букв принадлежала Виету, именно поэтому его называют «отцом математики». Рассмотренная в начале урока теорема явно свидетельствует о преимуществе использования связи корней с их коэффициентами против решения уравнения по формулам. Это увидели для уравнений второй степени . Для приведенного уравнения третьей степени формулы еще более громоздкие (речь идет о так называемых формулах Кордано). Впоследствии мы познакомимся с этой теорией более подробно.

Это ли не честь ученому, что школьники всего мира знают его имя в связи с изучением данной теоремы. Лучшего памятника трудно придумать.

Но будучи приближенным к королевскому двору, Виет оказался также участником исторических событий. Во время затяжной войны между Францией и Испанией, испанские инквизиторы, воюя против протестантской церкви, использовали шпионскую связь. Они считали, что придуманный ими шифр для шпионских донесений, состоящий из 600 знаков не доступен для разгадывания. Но часто их планы оказывались известными неприятелю, и они терпели поражение за поражением. Какова же была их ярость, когда они узнали о том, что их шифр расшифрован и в этом причина их неудач. Разгадал тайну шифра Франсуа Виет. Испанские инквизиторы заявили о том, что простой человек не мог разгадать шифр, обвинили Виета в заговоре с нечистой силой, которая якобы помогла ему. Заочно Виет был приговорен к смерти. В это время произошла смена королевской власти во Франции. Новый король Генрих IV взял ученого под защиту и не выдал инквизиторам. Однако есть определенная тайна смерти ученого. Вполне возможно, что приговор и был со временем исполнен.

Нам нужно еще понять, что двигало ученых в то непростое время заниматься наукой, даже под угрозой смерти. Наверное, это, прежде всего пытливость человеческого ума. Знак «?», который является ключом к развитию науки, не давал покоя во все времена людям мыслящим, любознательным. Кто я? Человек. Разум …это мне надо. Понять себя, свою сущность. Свое место в мире, люди стремились во все времена.

Загляните в себя, может страдает ваша природная любознательность , потому что уступили повседневности, лености? Судьбы многих ученых – примеры для подражания. Не все имена хорошо известны и популярны. Каков я для окружающих меня близких людей? Их мнение «конечно» не безразлично. Но самое главное «как я сам к себе отношусь? Достоин ли уважения?» подумайте об этом…

Приложене 2

Стихотворение

Теорему Виета тебе

Я запомнить легко помогу:

Сумма корней минус р,

Произведение q.

Приложение 3

Знакомство с приёмами устного решения квадратных уравнений.

Теорема Виета находит широкое применение и в уравнениях вида ах² + вх + с = 0.

Использование некоторых свойств даёт значительные преимущества для быстрого получения ответа при решении квадратных уравнений.  

Рассмотрим эти свойства:  

1)Если a + в +с = 0, то х₁ = 1, х₂ = с/а.

Например: 5х² + 4х – 9 = 0; х₁ =1, х₂ = - 9/5.

2)Если а - в +с = 0, то х₁ = - 1, х₂ = - с/а.

3)Если а _- в +с _{или а+в+с не равно} 0, то можно устно решить другое уравнение: х² + вх + ас = 0 и его корни разделить на а.

Например:

а) 2х² – 11х + 5 = 0.

Решаем устно уравнение: х² – 11х + 10 = 0. Его корни 1 и 10, и делим на 2. Тогда х₁ = 1/2 , х₂ = 5.

Ответ: 1/2 ; 5.

в) 6х² –7х – 3 = 0

Решаем устно уравнение: х² – 7х - 18 = 0. Его корни (-2) и 9, и делим на 6.

Тогда х₁ = -  , х₂ =  .

Ответ: -  ;  . 

Приложение 4

Где использовать теорему Виета?

1). Можно, не находя корни, найти сумму и произведение корней квадратного уравнения вида :

2). Не решая уравнение , найти

Итак,

Приложение 5

Где использовать теорему, обратную теореме Виета?

а). Можно проверить правильность решения квадратного уравнения.

Покажем, что корни уравнения найдены правильно:

– 8 + 5 = – 3. – 8  5 = – 40.

Значит, по теореме, обратной теореме Виета, числа – 8 и 5 являются корнями уравнения

б). Найти подбором корни квадратного уравнения (устно):

Стихотворение «Теорема Виета», поэт Александр Гуревич:

По праву достойна в стихах быть воспета

О свойствах корней теорема Виета.

Что лучше, скажи, постоянства такого:

Умножишь ты корни – и дробь уж готова:

В числителе , в знаменателе

А сумма корней тоже дроби равна.

Хоть с минусом дробь эта, что за беда –

В числителе , в знаменателе

Итак,

Итак, мы научились применять теорему Виета и обратную ей для уравнений вида и

Приложение 6

Доказательство прямой теоремы Виета

x² + px + q = 0.

1. D 0. D= p² – 4q. x₁ = x₂ =

x₁ + x₂ = + = = = - p.

x₁ × x₂ = × = = = = =q.

1. D=0. x₁= x₂ = = D=- 4q

0=-4q, =4q

x₁ + x₂ = + = = -p.

x₁ × x₂ = × = = = q.

Гипотеза доказана, она получила название теоремы Виета.

Приложение 7

Связь между коэффициентами квадратного уравнения и его корнями

Теорему Виета применяют для решения квадратных уравнений, где или . Это дает значительное преимущество для быстрого получения ответа.

Если в уравнении , то один из его корней 1, а другой .

Если в уравнении , то один из его корней – 1, а другой

Решим уравнения:

1) a=2, b=-196, c =194

a+b+c = 2-196+194=0. Значит x₁ = 1, x₂ = 194:2 = 97

2)

а+b+c = 1+271-272 = 0. Значит x₁ = 1, x₂ = 272:2 = 136

Приложение 8

Рабочий лист ученика

Класс: ______________

Фамилия, Имя ______________________________________

Группа _______________

План исследования

1. Заполните рабочий лист.

2. Сравните результаты колонок №2 и №5 по каждому уравнению, найдите закономерность, сделайте вывод.

3. Сравните результаты колонок №3 и №6 по каждому уравнению, найдите закономерность, сделайте вывод.

4. Ответьте на вопрос урока.

5. Подготовьте отчет.

1	2	3	4	5	6
Приведенное квадратное уравнение	Второй коэффициент p	Свободный член q	Корни х1 и х2	Сумма корней х1 + х2	Произведение корней х1*х2
х2 + pх + q =0

Приложение 9

Контрольный лист ученика

Класс ____________

Фамилия, Имя ________________________________

Группа ___________________

За каждый критерий от 0 до 3 баллов

0 – не приступал

1 – выполнил, но с ошибками

2 – выполнил с 1 ошибкой

3 – полностью выполнил

№ п/п	Критерий	Самооценка
1	Устная работа
2	Решение уравнения в группе
3	Подготовка проектной работы
4	Составление квадратного уравнения
5	Задание 1
6	Задание 2
7	Задание 3
8	Ответы на вопросы, дополнения
Сумма баллов	Максимум - 24
Оценка за урок	От 2 до 5

Критерии оценки:

0-7 баллов – оценка «2»

8-16 баллов – оценка «3»

17-20 баллов – оценка «4»

21 – 24 балла – оценка «5»