«Определение логарифма. Логарифм числа.»

Министерство образования, науки и молодежной политики Краснодарского края государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение Краснодарского края»

«Лабинский социально-технический техникум»

Методическая разработка

урока математики

по теме:

«Определение логарифма.

Логарифм числа.»

Подготовила:

преподаватель математики

Пятакова З.В.

Лабинск, 2016

Определение логарифма. Логарифм числа.

Цели урока:

Образовательная:ввести определение логарифма, научить решать логарифмы.

Развивающая:развитие мыслительных операций посредством конкретизации, развитие зрительной памяти, потребности к самообразованию, способствовать развитию познавательных процессов.

Воспитательная:воспитание познавательной активности, чувства ответственности, уважения друг к другу, взаимопонимания, уверенности в себе; воспитание культуры общения.

Тип урока:комбинированный.

План урока:

1. Организационный момент

2. Актуализация знаний

3. Изучение нового материала

4. Закрепление. Работа у доски.

5. Самостоятельная работа

6. Итоги урока

7. Самостоятельная подготовка.

Оборудование: интерактивная доска, раздаточный материал.

Ход урока:

1.Организационный момент.

Сообщение темы и цели урока. Проверка домашнего задания.

2. Актуализация знаний

-Ребята, какую тему мы изучали перед нашим сегодняшним уроком?

-Дайте определение степени числа.

- Какие свойства степеней вы знаете?

Таким образом, зная основание и показатель степени, мы можем рассчитать число. А как вы думаете, существует в математике обратный процесс? Можно ли зная результат и основание определить показатель степени?

- Да, можно. Это называется логарифмированием.

3.Изучение нового материала.

Логарифмы и логарифмирование всегда считались сложной темой в курсе математики. Существует много разных определений логарифма,мы же определим логарифм просто и наглядно. Для этого составим таблицу:

Слайд 1

2	4	8	16	32	64

Итак, перед нами степени двойки. Если взять число из нижней строчки, то можно легко найти степень, в которую придется возвести двойку, чтобы получилось это число. Например, чтобы получить 16, надо два возвести в четвертую степень. А чтобы получить 64, надо два возвести в шестую степень. Это видно из таблицы. А теперь — собственно, определение логарифма:

Слайд 2,3

Определение.Логарифм по основанию a от аргумента x — это степень, в которую надо возвести число a, чтобы получить число x.

Слайд 4

Обозначение:

= b

где a — основание, x — аргумент, b — собственно, чему равен логарифм.

Например, 2³ = 8 ⇒log₂ 8 = 3 (логарифм по основанию 2 от числа 8 равен трем, поскольку 2³ = 8). С тем же успехом log₂ 64 = 6, поскольку 2⁶ = 64.

Операцию нахождения логарифма числа по заданному основанию называют логарифмированием. Итак, дополним нашу таблицу новой строкой:

Слайд 5

21	22	23	24	25	26
2	4	8	16	32	64
log2 2 = 1	log2 4 = 2	log2 8 = 3	log2 16 = 4	log2 32 = 5	log2 64 = 6

К сожалению, далеко не все логарифмы считаются так легко. Например, попробуйте найти log₂ 5. Числа 5 нет в таблице, но логика подсказывает, что логарифм будет лежать где-то на отрезке [2; 3]. Потому что 2²³, а чем больше степень двойки, тем больше получится число.Если взять калькулятор и посчитать, чему равны такие логарифмы, то получатся очень длинные числа. Взгляните сами:

Слайд 6

log₂ 5 = 2,32192809...

log₃ 8 = 1,89278926...

log₅ 100 = 2,86135311...

Такие числа называются иррациональными: цифры после запятой можно писать до бесконечности, и они никогда не повторяются. Если логарифм получается иррациональным, его лучше так и оставить: log₂ 5, log₃ 8, log₅ 100.

Важно понимать, что логарифм — это выражение с двумя переменными (основание и аргумент). Многие на первых порах путают, где находится основание, а где — аргумент. Чтобы избежать досадных недоразумений, просто взгляните на картинку:

Слайд 7

Перед нами — не что иное как определение логарифма. Вспомните: логарифм — это степень, в которую надо возвести основание, чтобы получить аргумент. Именно основание возводится в степень — на картинке оно выделено красным. Получается, что основание всегда находится внизу!

Как считать логарифмы?

С определением разобрались — осталось научиться считать логарифмы, т.е. избавляться от знака «log». Для начала отметим, что из определения следует два важных факта:

Аргумент и основание всегда должны быть больше нуля. Это следует из определения степени рациональным показателем, к которому сводится определение логарифма.

Основание должно быть отличным от единицы, поскольку единица в любой степени все равно остается единицей. Из-за этого вопрос «в какую степень надо возвести единицу, чтобы получить двойку» лишен смысла. Нет такой степени!

Такие ограничения называются областью допустимых значений (ОДЗ).

Слайд8

Получается, что ОДЗ логарифма выглядит так: log_a x = b ⇒ x 0, a 0, a ≠ 1.

Заметьте, что никаких ограничений на число b (значение логарифма) не накладывается. Например, логарифм вполне может быть отрицательным:

log₂ 0,5 = −1, т.к. 0,5 = 2−1.

Впрочем, сейчас мы рассматриваем лишь числовые выражения, где знать ОДЗ логарифма не требуется. Все ограничения уже учтены составителями задач. Но когда пойдут логарифмические уравнения и неравенства, требования ОДЗ станут обязательными. Ведь в основании и аргументе могут стоять весьма неслабые конструкции, которые совсем необязательно соответствуют приведенным выше ограничениям.

Теперь рассмотрим общую схему вычисления логарифмов. Она состоит из трех шагов:

1 шаг: Представить основание a и аргумент x в виде степени с минимально возможным основанием, большим единицы. Попутно лучше избавиться от десятичных дробей;

2 шаг: Решить относительно переменной b уравнение: x = ab;

3 шаг: Полученное число b будет ответом.

Вот и все! Если логарифм окажется иррациональным, это будет видно уже на первом шаге. Требование, чтобы основание было больше единицы, весьма актуально: это снижает вероятность ошибки и значительно упрощает выкладки. Аналогично с десятичными дробями: если сразу перевести их в обычные, ошибок будет в разы меньше.

Решение примеров у доски, с подробным пояснением.

Посмотрим, как работает эта схема на конкретных примерах:

Задача1

Вычислите логарифм: log₅ 25

Решение

Представим основание и аргумент как степень пятерки: 5 = 5¹; 25 = 5²;

log₅ 25 = b ⇒ (5¹)^b = 5²⇒ 5^b = 5²⇒ b = 2;

Получили ответ: 2.

Задача2

Вычислите логарифм:

Решение

Представим основание и аргумент как степень тройки:

3 = 3¹; 1/81 = 81⁻¹ = (3⁴)⁻¹ = 3⁻⁴;

Получили ответ: −4.

Задача3

Вычислите логарифм: log₄ 64

Решение

Представим основание и аргумент как степень двойки: 4 = 2²; 64 = 2⁶;

Составим и решим уравнение:

log⁴ 64 = b ⇒ (2²)^b = 2⁶⇒ 2^2b = 2⁶⇒ 2^b = 6 ⇒ b = 3;

Получили ответ: 3.

Задача4

Вычислите логарифм: log₁₆ 1

Решение

Представим основание и аргумент как степень двойки: 16 = 2⁴; 1 = 2⁰;

Составим и решим уравнение:

log₁₆ 1 = b ⇒ (2⁴)^b = 2⁰⇒ 2^4b = 2⁰⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0;

Получили ответ: 0.

Задача5

Вычислите логарифм: log₇ 14

Решение

Представим основание и аргумент как степень семерки: 7 = 7¹; 14 в виде степени семерки не представляется, поскольку 7¹²;

Из предыдущего пункта следует, что логарифм не считается;

Ответ — без изменений: log₇ 14.

Небольшое замечание к последнему примеру. Как убедиться, что число не является точной степенью другого числа? Очень просто — достаточно разложить его на простые множители. Если в разложении есть хотя бы два различных множителя, число не является точной степенью.

Задача 6

Выясните, являются ли точными степенями числа: 8; 48; 81; 35; 14.

Решение

8 = 2 · 2 · 2 = 2³ — точная степень, т.к. множитель всего один;

48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2⁴ — не является точной степенью, поскольку есть два множителя: 3 и 2;

81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3⁴ — точная степень;

35 = 7 · 5 — снова не является точной степенью;

14 = 7 · 2 — опять не точная степень;

Ответ

8, 81 — точная степень; 48, 35, 14 — нет.

Заметим также, что сами простые числа всегда являются точными степенями самих себя.

4. Закрепление. Работа у доски.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

5. Самостоятельная работа.

Работа по карточке №1 «Логарифм числа», карточки раздаются

Карточка №1«Логарифм числа»

1) 32^ =2 6) Log₁₆=0

2) ^2/3=25 7) Log_125=3

3) =  8) 8=

4) 2^ = 9) = 

5) ^-2=₁₀₎ 81^=27

Осуществляем взаимопроверку, какие возникли трудности? Ошибки проработали у доски.Выполняем второй вид работы по карточке № 2 «Логарифм числа»

Карточка №2«Логарифм числа»

а	х	ax=b	logab
3		81	4
	-3		
		8	
2	5		5

Осуществляем взаимопроверку, какие возникли трудности? Ошибки проработали у доски.

Просчитайте количество правильных ответов и оцените свою работу :

«5» - 25-26 номеров

«4» - 20-24 номера

«3» - 15-19 номеров

Отрицательных отметок сегодня не выставляем, можно взять дополнительное задание на дом.

6.Итог урока.

Подведем итоги нашей работы в виде таблицы:Слайд 9

Выставление оценок.

7.Самостоятельная подготовка.

Определить область значений логарифмических выражений.

По желанию студенты получают карточки дополнительного задания:

Дополнительное задание:

а	х	ax=b	logab
	1		
3		81	
	-2		-2