«Определение арифметической прогрессии. Формула n- го члена арифметической прогрессии».

Урок по теме

«Определение арифметической прогрессии. Формула n- го члена арифметической прогрессии». (Алгебра 9 класс).

Учебник: Алгебра. 9 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / Ю.Н.Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.В. Суворова; под ред. С.А. Теляковского. – 16-е изд. – М.: Просвещение, 2009. – 271с.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Цель урока: ввести понятие арифметической прогрессии, её членов и разности, вывести формулу n-го члена арифметической прогрессии.

Задачи урока:

Образовательные - ввести понятия арифметической прогрессии; формулы n-го члена.

Развивающие - вырабатывать умения сравнивать математические понятия, находить сходства и различия, умения наблюдать, подмечать закономерности, проводить рассуждения по аналогии; сформировать умение строить и интерпретировать математическую модель некоторой реальной ситуации.

Воспитательные - содействовать воспитанию интереса к математике и ее приложениям, активности, умению общаться, аргументировано отстаивать свои взгляды.

Оборудование: мел, доска, учебник, презентация, проектор, компьютер.

Форма работы: фронтальная.

Методы: частично-поисковый, репродуктивный.

Структура работы:

Мотивационно - ориентировочный этап - 10 минут;

Содержательный этап - 31 минута;

Рефлексивно-оценочный этап - 4 минуты.

Ход урока.

I. Организационный момент. Приветствие.

II. Актуализация опорных знаний.

1. Устная работа.

Слайд №4. Даны числовые последовательности:

1, , , , ,…

1, 3, 9, 27, 81,…

, , , , ,…

4, 8, 12, 16, 20,…

Учитель: найдите зависимость между членами этой последовательности:

Ученик: 1) , где n=1,2,3,..

2) a_n=2n-1, где n=1,2,3…

3) , где n=1,2,3…

4) a_n=4n, где n=1,2,3…

Учитель: Какие способы задания последовательностей вы знаете?

Ученик: Рекуррентный и с помощью формулы n-ого члена.

Учитель: Какой способ называется реккурентным?

Ученик: Он состоит в том, что указывают первый член или несколько первых членов последовательности и формулу, выражающую любой член последовательности через предыдущие.

Учитель: Верно, молодцы. Теперь еще одно задание, на доске записаны числовые последовательности (слайд№5):

1) 1,3,5,7,9…

2) 1,4,7,10,13…

Учитель: Запишите n-ый член каждой последовательности.

Ученик: 1) a_n=2n-1, n=1,2…

2) a_n=3n-2, n=1,2…

Учитель: Хорошо. Теперь задайте последовательности рекуррентной формулой.

Ученик: 1), где a₁=1

2) a_n+1=a_n+3, где a₁=1

Учитель: Проанализируем все эти последовательности. Что вы можете сказать о членах этих последовательностей?

Ученик: В первой последовательности каждый следующий член на 2 больше предыдущего, а во второй – на 3 больше предыдущего.

Учитель: Правильно, каждый следующий член этих последовательностей получается из предыдущего прибавлением какого-либо числа.

1. Мотивация

Учитель: В математике и в практике встречается очень много последовательностей, каждый член которой равен предыдущему, сложенному с одним и то же числом. Посмотрим на задачу, приведенную в таблице.

Задача: Продолжительность года приблизительно равна 365 суткам. Более точное значение равно 365¼ суток, поэтому каждые четыре года накапливается погрешность, равная одним суткам. Для учета этой погрешности к каждому четвертому году добавляются сутки, и удлиненный год называется високосным. Например, в третьем тысячелетии високосными годами будут годы 2004, 2008, 2012, 2016, 2020…

Учитель: В этой последовательности каждый ее член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенного с одним и тем же числом 4. Задайте эту последовательность рекуррентно (записывается в таблицу).

Ученик: a_n+1=a_n+4, где a₁=2004

Учитель: И таких примеров в математике и практике очень много. Такие последовательности называются арифметическими прогрессиями. Итак, какова будет цель нашего урока:

Ученик: изучить какие последовательности являются арифметическими прогрессиями.

Учитель: и ввести понятие членов арифметической прогрессии и её разности, вывести формулу n-го члена арифметической прогрессии.

Откройте тетради и запишите число и тему урока: «Арифметическая прогрессия».

II. Этап открытия нового знания

Учащиеся «открыли» определенный вид последовательности

Учитель: Попробуйте самостоятельно сформулировать определение такой прогрессии на основе выделенных ими характеристических свойств.

Определение: Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом.(слайд №7)

(Слайд №8). (а_п) – арифметическая прогрессия, если для любого п N выполняется условие

а_{п + 1} = а_п + d, где d – некоторое число.

Учитель: Обычно арифметическая прогрессия обозначается так: Выразите из формулы d (записывается в таблицу).

Ученик: d= a_n+1-a_n

Учитель: Словами скажите чему оно равно?

Ученик: Разности двух соседних членов последовательности.

Учитель: Поэтому d называют разностью арифметической прогрессии.(слайд№9). Давайте устно выполним задание(слайд 10):

Назвать первый член и разность арифметической прогрессии:

1. 6,8,10,…

2. 7,9,11,…

3) 25,21,17,…

4) -12,-9,-6,…

Ученик:

Учитель: Хорошо. (Слайд 11) Рассмотрим следующие примеры арифметической прогрессии, нужно записать, как будет выглядеть арифметическая прогрессия: 1)

2)

3)

4)

Ученик :

1)

2)

3)

4)

IV. Творческое применение полученных знаний

Учитель: Хорошо, то есть, зная первый член арифм. прогрессии и разность, можно найти любой ее член, вычисляя последовательно второй, третий, четвертый и т.д. члены. Однако для нахождения члена прогрессии с большим номером такой способ неудобен. Давайте выведем формулу, чтобы можно было вычислить любой член прогрессии.

(Слайд 12):По определению арифм.прогрессии :

…………………………………………..

Учитель: Таким образом, получилась формула n-го члена арифметической прогрессии, запишите ее.

Ученик:

V. Первичное закрепление изученного материала

1) Учитель: А теперь рассмотрим примеры решения задач с использованием этой

формулы. (слайд 13)

Последовательность ( - арифметическая прогрессия, где и . Нужно найти 40-й член этой прогрессии.

Ученик:

Учитель: Молодец, здесь мы непосредственно подставляли в формулу известные значения. Следующий пример:

Найти сотый член арифметической прогрессии, если

Ученик:

Учитель: Хорошо. А теперь закрепим изученный материал.

Этот пример на «прямое» использование формулы п-го члена арифметической прогрессии.

П р и м е р 2. Выяснить, является ли число –122 членом арифметической прогрессии (х_п):

23; 17,2; 11,4; 5,6; …

При рассмотрении этого примера пояснить, что для решения надо доказать, что существует п N, при котором будет верна формула п-го члена:

–122 = 23 + (п – 1) · (–5,8), где

d=17,2 – 23= –5,8 – разность арифметической прогрессии.

n-1 = -145:(-5,8)

n-1 = 25 , n = 26 – натуральное число.

Ответ: является.

Все задания, выполняемые учащимися на этом уроке, можно разбить на 3 типа:

1) На «узнавание» арифметической прогрессии, определение ее первого члена и разности.

2) На нахождение п-го члена арифметической прогрессии по определению и по формуле.

3) На запись формулы п-го члена по первому члену и разности, решение задач на «косвенное» использование формулы п-го члена (например, нахождение п).

Упражнения:

1. Решить устно(слайд 14):

а) Является ли последовательность арифметической прогрессией:

–3,5; –7; –10,5; –14; –17,5; … (Да.)

5; 5; 5; 5; … (Да.)

2; 12; 22; 23; 32; … ? (Нет.)

б) Найти члены арифметической прогрессии, обозначенные буквами:

–10; –7; с₃; с₄; с₅; с₆

–3,4; –1,4; а₃; а₄

12; у₂; 20; у₄.

в) (а_п) – арифметическая прогрессия. Является ли арифметической прогрессией последовательность:

12а₁; 12а₂; …; 12а_п; …

2) Самостоятельная работа

№ 575 (а,б), № 576 (а, в, д ) - у доски.

Самостоятельное решение с последующей проверкой.

Ответы к №575: а)10,14,18,22,26 б) 30,20,10,0,-10.

К №576: а) b₇ = b₁ +6d б) b₂₆ = b₁ +25d д) b_k+5 =b₁+(k+4)d

3) № 577. Решение у доски с объяснением.

а) c₁=20 d=3 c₅= 20+4∙3= 32

б) c₁= 5,8 d=- 1,5, c₂₁= 5,8 + 20∙(-5,8) = 5,8 -116 = 110,2

№ 579. Самостоятельное решение с последующей проверкой. (один ученик решает на откидной доске).

а) ; -1;…; d = -1- = - а₁₀ = + 9∙(-) = - 12 = -11
a_n = - ∙ (n-1) = - n +2

б)2,3; 1;…; d= 1- 2,3 = -1,3 а₁₀ = 2,3+ 9 ∙ (-1,3) = 2,3 – 11,7 = -9,4

a_n = 2,3 – 1,3(n-1) = -1,3n +3,6

3. № 584 (а). Задание на «не прямое» применение формулы. Еще раз подчеркнуть, что с помощью этой формулы можно находить следующие величины: а_п; а₁; d; п.

а) х₃₀ = 128, d =4; x₁-?

x₁ + 29∙ 4 = 128

x₁ = 128 – 116

x₁ =12

№ 585 (б).

у₁ = 28, у₁₅ = -21 d - ?

28 +14d = -21, 14d = -49, d = -3,5

VI. Решение задач из сборника заданий для подготовки к ОГЭ. (слайд 15)

Вариант 5 №6 (стр.30)

Выписано несколько последовательных членов арифметической прогрессии: -57; -44; -31;…. Найдите первый положительный член этой прогрессии.

Вариант 7 №6 (стр.40)

Выписано несколько последовательных членов арифметической прогрессии: …1; х;-5; -8;… Найдите член прогрессии, обозначенный буквой х.

VII. Рефлексивно-оценочный этап

Учитель: Какова была цель урока?

Ученик: Изучить какие последовательности являются арифметическими прогрессиями, ввести понятие членов арифметической прогрессии и её разности, вывести формулу n-го члена арифметической прогрессии.

Учитель: Достигли ли мы ее?

Ученик: Да.

Учитель: Как мы ее достигли?

Ученик: На конкретных примерах выявили арифметические прогрессии, находили их разность и члены. Вывели формулу n-го члена арифметической прогрессии, решали примеры на ее применение.

Учитель: Молодцы. Запишите домашнее задание: (слайд 16)

§9 (п. 25) № 578, 579, 599. Спасибо за внимание, урок окончен.