Определение функции. Область определения и множество значений. График функции.

Конспект  урока.

Тема: Определение функции. Область определения и множество значений. График функции.

Цели:

Предметные:

         Студенты должны знать понятия функции, графики функции, область определения и множество значений функции.

         Развивать умения построения графиков функций.

Метапредметные:

         уметь самостоятельно добывать новые для себя математические знания, используя для этого доступные источники информации;

         уметь выстраивать конструктивные взаимодействия в команде по решению общих задач;

         уметь управлять своей познавательной деятельностью, проводить самооценку уровня собственного интеллектуального развития.

Личностные:

         осуществлять поиск полученной информации для нахождения области определения и множества значений функций.

Методы обучения:

         по источнику получения информации: словесный, практический;

         по характеру познавательной деятельности: беседа, репродуктивный, проблемные вопросы;

         активные методы обучения: обсуждение, самостоятельная работа, метод частично – поисковый.

Тип урока:

         Обобщение и систематизация знаний.

Элементы педагогических технологий:

         погружения;

         информационно-коммуникационная технология;

         дифференцированное обучение.

Межпредметные связи:

         Физика;

         Химия;

         Техническая механика.

План урока.

1.      Организационная момент (приветствие, проверка присутствующих и готовность студентов к уроку)…………………………………………………………………………3мин

2.      Понятие функции (история)…………………………………………………3мин

3.      Повторение опорных знаний………………………………………………..14мин

4.      Изложение нового материала………………………………………………..40мин

5.      Закрепление…………………………………………………………………..13мин

6.      Домашние задание……………………………………………………………7мин

Ход урока.

1.      Организационная момент (приветствие, проверка присутствующих и готовность студентов к уроку).

2.      Понятие функции

Идея зависимости величин восходит к древнегреческой науке. Развитие механики и техники 16 – 17 вв. потребовало введение общего понятия функции, что было сделано немецким философом и математиком Г. Лейбницем (1646 – 1716 гг). П. Ферма

и Р. Декарт показали, как представить функции аналитически. Декарт ввел в математику понятие переменной величины.

Строгое определение функции дал И. Бернулли (1667 – 1748 гг.), а затем его ученик, член Петербургской Академии Л. Эйлер ввел обозначение f (x) и объявил понятие функции центральным понятием анализа.

Позднее Ж. Фурье, Н. И. Лобачевский, И. П. Декарт и другие внесли большой вклад в развитие понятия функции. Установление функциональной зависимости между величинами иллюстрирует важные философские категории – причины и следствия.

3. Повторение опорных знаний.

3.1 Вопросы:

          

o    Какие функции вы знаете? ( Чертят в тетрадях функции)

o    Линейная функция, графиком которой является прямая.

o    Каким уравнением задаётся линейная функция? (презентация)

o     

3.2 Построить графики функций:

y = 2x,

y=2х+3,

y=х²

o     

1)Зависимость между переменными x  и y в линейной функции  y = kx является прямопропорциональной.

2)Область определения функции – множество R  всех действительных чисел.

Корни - единственный корень x = 0.

Промежутки постоянного знака зависят от знака параметра k:

k 0, то  y 0 при x 0 ; y

k 0 при x 0.

Экстремумов нет.

3)Монотонность функции:

если  k 0, то y  возрастает на всей числовой оси;
если k

Наибольшего и наименьшего значений нет.

Область значений - множество R.

Четность - функция y = kx нечетная.

4)Графиком линейной функции y = kx является прямая, проходящая через начало координат.

Коэффициент k называется угловым коэффициентом этой прямой.

Он равен тангенсу угла наклона этой прямой к оси X: k = tgα.

При положительных  k этот угол острый, при отрицательных - тупой.

5) Графиком линейной функции y = kx + b является прямая, смещенная на b единиц.

 Для построения графика достаточно двух точек.

Например: A(0;b) B(−kb;0), если k 0 .

6) График линейной функции y = kx + b при k 0, b 0.

7)Частный случай

График линейной функции y = kx + b при k 0, b =0.

 

o    Каким уравнением задаётся квадратичная функция? (презентация)

График функции у=ах² +n является

параболой, которую можно получить из

графика функции у=ах² с помощью

параллельного переноса вдоль оси у на n единиц вверх, если n0, или на -n единиц вниз, если n

График функции у=а(х-m)²  является параболой, которую можно получить из графика функции у=ах²  с помощью параллельного вдоль оси х на m единиц вправо, если m0, или –m   единиц влево, если m 

График функции у=а(х-m)²  +n является парабола, которую можно получить из графика функции у=ах² с помощью двух параллельных переносов: сдвига вдоль оси х на m единиц вправо, если m0, или на –m единиц влево, если m0, или на –n вниз, если n

 

3.      Изложение нового материала.

На этом уроке мы рассмотриваем важнейшее понятие в математике – функция. Мы узнаем, что такое числовая функция, как построить график функции, как найти область определения и область значений функции. Также рассмотрим возможные способы задания функции.

Пусть   и   – это два множества.

Функция   – это соответствие, которое каждому элементу из множества   сопоставляет единственный элемент из множества  .

 

Рассмотрим такой пример.

Предположим, есть 4 самолета и 6 городов. Согласно расписанию первый и второй самолет летят в первый город; третий самолет летит в третий город; четвертый самолет летит в пятый город (см. Рис. 1).

Рис. 1. Множество   и 

В этом примере множество самолетов – это множество  , множество городов – это множество , расписание – это соответствие, которое каждому элементу первого множества (самолетов) сопоставляет единственный элемент второго множества (городов).

Если элемент   из множества   переходит в элемент   из множества  , то этот элемент   обозначается  .

 – это образ элемента  . Множество всех   называется множеством значений функции (областью значений функции). В приведенном примере множество значений функции – это первый, третий и пятый город.

Множество   – это область определения функции.

Рассмотрим еще несколько примеров.

1. Площади

Каждой замкнутой фигуре на плоскости сопоставляется неотрицательное число (ее площадь  ) (см. Рис. 2). То есть задается функция.

Рис. 2. Каждой фигуре сопоставляется неотрицательное число (площадь)

Множество   – это множество всех замкнутых фигур на плоскости. Множество   – все неотрицательные числа, то есть луч  .

В данном случае множество значений функции совпадает с  , то есть множество значений – это луч  .

2. Движение

Движение – это такое преобразование плоскости, при котором сохраняются расстояния между всеми ее точками.

Множество   – это плоскость (множество всех точек плоскости),   – это движение плоскости, множество   – та же самая плоскость (см. Рис. 3).

Рис. 3. Движение плоскости

Числовая функция

Если даны числовое множество   и правило  , позволяющее поставить в соответствие каждому элементу   из множества   определенное число  , то говорят, что задана функция    с областью определения  .

Областью определения функции   называют множество всех значений  , для которых функция имеет смысл.

Множество всех значений функции  ,   называют областью значения функции. 

,   

 – независимая переменная (аргумент)

 – зависимая переменная

 – область определения функции

 – область значений функции

График функции

Графиком функции называется множество всех точек (на координатной плоскости) вида  , где  .

Пример

Задана функция  ,  , которая показывает изменение температуры воздуха в зависимости от времени года (с весны до весны). Построим график этой функции.

Независимая переменная   – это время; зависимая переменная   – это температура (см. Рис. 4).

Рис. 4. График функции  , 

Любая вертикальная прямая   (если   принадлежит области определения) пересекает график в единственной точке, так как согласно определению функции закон   такой, что каждому значению аргумента соответствует только одно значение функции.

Область определения – это проекция графика функции на ось  .

Область значения – это проекция графика функции на ось  .

Аналитический способ задания функции

Функция, заданная аналитически, – это функция, которая задана формулами. Чем хорош аналитический способ задания функции? Тем, что, если у вас есть формула – вы знаете про функцию всё. Вы можете составить табличку. Построить график. Исследовать эту функцию полностью. Точно предсказать, где и как будет вести себя эта функция. Весь математический анализ стоит именно на таком способе задания функций. 

Примеры:

1.  ,   (все натуральные числа) – такая функция называется последовательностью.

Построим график   функции (см. Рис. 5). Это прямая, на которой лежат точки с координатами  .

Рис. 5. График функции 

Все точки графика функции  ,   лежат на построенной прямой (некоторые из них отмечены на рис. 5). Например:

если  , то  ;

если  , то  .

Область определения этой функции – это множество всех натуральных чисел.

Область значения этой функции – неотрицательные нечетные числа.

 

 

Графический способ задания функции

В данном способе функция представлена графиком. По оси абсцисс откладывается аргумент ( ), а по оси ординат – значение функции ( ). По графику тоже можно выбрать любой   и найти соответствующее ему значение   (см. Рис. 10). 

Рис. 10. Данный график задает функцию

Однако не каждая кривая может задать график функции. Например, кривая на рисунке 11 не задает график функции, так как значению   соответствует несколько значений  .

Рис. 11. Данный график не является графическим заданием функции

Табличный способ задания функции

Этот способ представляет собой простую табличку. В этой таблице каждому   соответствует (ставится в соответствие) какое-то значение  . В первой строчке – значения аргумента. Во второй строчке – соответствующие им значения функции, например:

Словесный способ задания функции

Функцию можно однозначно задать словами.

Пример:  Пусть   – это дробная часть положительного числа   в его десятичной записи.

Это означает:            

если  , то

если  , то 

если  , то

Понятно, что при   функция равна нулю. Поймем, как ведет себя функция на интервалах вида  ,  .

Сначала рассмотрим функцию на интервале  , на нем  . При этом   (см. Рис. 12).

Рис. 12. График функции на промежутке 

5. Закрепление. Определите способ задания функции (задания на карточках)

6. Домашнее задание: §6, №126, №127(1,2)

Прочитайте параграф, еще раз внимательно рассмотрите определения. Постройте графики  

7. Список используемой литературы

Математика: алгебра и начала математического анализа.10 -11 классы:учеб. Для общеобразрват. Организаций: базовый и углубленный уровни/ др. Ш.А Алимов. М.: Просвещение, 2019

Богомолов Н.В. Математика: учеб. для ссузов.