Некоторые приемы устного счета при умножении

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«АРЫ-ТОЛОНСКАЯ ОСНОВНАЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА

ИМЕНИ А.С. СЫРОМЯТНИКОВОЙ»

678724, Республика Саха (Якутия), Томпонский район, с. Ары-Толон, пер. Школьный 9/1,

тел/факс: 8(41153)29-4-31, e-mail: atoosh2010@mail.ru

Некоторые приемы устного счета при умножении.

Учитель математики:

Барашкова Г.А.

2016

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«АРЫ-ТОЛОНСКАЯ ОСНОВНАЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА

ИМЕНИ А.С. СЫРОМЯТНИКОВОЙ»

678724, Республика Саха (Якутия), Томпонский район, с. Ары-Толон, пер. Школьный 9/1,

тел/факс: 8(41153)29-4-31, e-mail: atoosh2010@mail.ru

Некоторые приемы устного счета при умножении.

Технический прогресс отучил многих из нас производить элементарные арифметические действия в уме. А в повседневной жизни это надо уметь делать. Мы каждый день встречаемся с устными вычислениями дома, в школе, на рынке, в магазине при покупке, продаже продуктов, товаров. С приходом калькуляторов современные люди ленятся вычислять в уме. Привычка пользоваться калькулятором пагубно влияет на наши математические навыки. В своей многолетней работе на уроках математики особое внимание уделяю приемам устного счета. Устный счет способствует развитию памяти обучающихся и повышению математической культуры мышления.

Счет в уме является самым древним и простым способом вычисления. Знание упрощенных приемов устных вычислений дает не только возможность быстро производить расчеты в уме, но и исправлять ошибки в результатах вычислений, выполненных с помощью калькулятора. Хотя на экзаменах и на уроках математики запрещено пользоваться калькулятором.

Рассмотрим некоторые приемы устного умножения.

1. Умножение на однозначное число.

При умножении на однозначное число рассуждаем так: 15·7. 15 представляем в виде суммы разрядных слагаемых 10 и 5. Сначала 10 умножаем на 7, а затем 5 умножаем на 7. Полученные числа складываем.

15·7=(10·7)+(5·7)+70+35+105.

Решите примеры.

1	2	3	4	5	6
36·7	16·4	29·2	48·7	32·5	44·6
77·6	87·5	91·8	93·1	82·2	73·3
64·5	66·3	33·4	74·2	55·4	48·4
35·4	49·2	44·5	55·6	66·7	77·8
88·9	99·9	23·3	31·5	47·6	83·5
33·8	43·8	75·8	82·8	75·8	69·8
32·7	34·7	54·7	76·7	87·7	92·7
92·9	83·9	75·9	61·9	22·8	46·7

1. Умножение на 10, 100, 1000 и так далее.

а) Если умножим целые числа на 10; 100; 1000 и так далее, то в результат умножения необходимо справа приписать столькр нулей, сколько нулей при единице:

1. 34·10=340;

2. 309·100=30900;

3. 97·1000=97000;

4. 50·100000=5000000.

Решите примеры.

1	2	3	4	5	6
36·10	16·10	29·10	48·10	32·10	44·10
77·100	87·100	91·100	93·100	82·100	73·100
64·1000	66·1000	33·1000	74·1000	55·1000	48·1000

б) Если умножим десятичные дроби на 10; 100; 1000 и так далее, то десятичную запятую переносим в право на столько знаков, сколько нулей при единице.

1. 63,4·10=634;

2. 33,09·10=330,9;

3. 197,825·100=197,82,5;

4. 150,07654·1000=150076,54.

Решите примеры.

1	2	3	4	5	6
3,6·10	16,1·10	0,29·10	4,81·10	0,32·10	4,46·10
0,77·100	28,7·100	0,91·100	9,3·100	82,1·100	73,9·100
6,4·1000	6,7·1000	33,1·1000	7,4·1000	5,15·1000	4,28·1000

1. Умножение на 0,1; 0,01; 0,001 и так далее.

а) Если умножим целые числа на 0,1; 0,01; 0,001 и так далее, то в результате умножения необходимо справа выделить столько знаков, сколько знаков после запятой множителя.

1. 347·0,1=34,7;

2. 309·0,01=3,09;

3. 97·0,001=0,097;

4. 50256·0,0001=5,0256.

Решите примеры.

1	2	3	4	5
36·0,1	16·0,01	29·0,001	48·0,0001	32·0,001
177·0,01	807·0,001	911·0,01	931·0,001	82·0,0001
64·0,001	66·0,0001	33·0,0001	742·0,01	55·0,00001

б) Если умножим десятичные дроби на 0,1; 0,01; 0,001 и так далее, то в результат умножения необходимо справа выделить столько знаков, сколько знаков после запятой множителей.

1. 33,09·0,1=3,309;

2. 197,825·0,01=1,97825;

3. 150,07654·0,001=0,15007654.

Решите примеры.

1	2	3	4	5
3,61·0,1	1,465·0,01	2,9543·0,001	4,824·0,0001	32,76·0,001
1,7723·0,01	8,0723·0,1	91,1657·0,01	9,3154·0,01	8,287·0,0001
6,412·0,001	66,17·0,0001	33,2591·0,001	74,265·0,01	5,507·0,001

1. Умножение круглых цифр.

При умножении круглого числа (в конце с одним или несколькими нулями) на число выполняем умножение, не обращая внимание на нули, которые расположены в конце числа. Выполняем умножение с числами без нулей и дописываем к нему количество нулей в двух числах вместе.

300·50000=15000000

Решите примеры.

1	2	3	4	5
360·100	160·2000	2900·80	4800·60	3200·700
770·200	80700·300	917·700	9300·500	820·4000
640·3000	6080·500	330·3000	740·400	550·9000

1. Последовательное поразрядное умножение.

Способ используется при умножении многоразрядного числа на одну цифру. Результат умножения не изменяется, если множимое разложить на сумму единиц, десятков, сотен и так далее, а потом каждый из чисел суммы умножить на цифру множимого. Полученные результаты умножений сложить.

1. 634·5=(600+30+4)·5=3000+150+20=3170;

2. 33·8=(30+3)·8=240+24=264;

3. 1971·7=(1000+900+70+1)·7=7000+6300+490+7=13356;

4. 15011·4=(1000+5000+10+1)·4=40000+20000+40+4=60044.

Решите примеры.

1	2	3	4	5
361·5	1605·2	2901·7	4758·8	321·9
7701·4	8072·6	917·8	9300·5	802·4
647·3	6060·5	330·9	7401·4	1501·9

6. Умножение двузначных чисел на 11.

Между цифрами двузначного числа вставляет сумму цифр числа (десятков и единиц), а если при сумме двух цифр возникает перенос в старший разряд, то его добавляем к цифре десятков.

1. 75·11=825;

2. 41·11=451;

3. 25·11=275;

4. 81·11=891.

Решите примеры.

1	2	3	4	5
65·11	74·11	55·11	75·11	99·11
35·11	16·11	77·11	96·11	39·11
36·11	44·11	63·11	72·11	96·11

7. Умножение трехзначных чисел на 11.

Между крайними цифрами трехзначного числа вставляем суммы цифр десятков и сотен, а также десятков и единиц, а если при сумме двух цифр возникает перенос в старший разряд, то его добавляем к цифре старшего разряда.

1. 523·11=5753;

2. 941·11=10351.

Решите примеры.

1	2	3	4	5
665·11	374·11	955·11	675·11	399·11
535·11	216·11	877·11	596·11	239·11
436·11	144·11	637·11	472·11	196·11

8. Умножение на 22, 33, …,99.

Чтобы двузначное число умножить на 22, 33, …,99, надо этот множитель представить в виде произведения однозначного числа (от 2 до 9) на 11, то есть 44=4·11; 55=5·11; 77=7·11 и т. д.

1. 24·22=24·2·11=48·11=528;

2. 23·33=23·3·11=69·11=759;

3. 18·44=18·4·11=72·11=792;

4. 76·55=76·5·11=380·11=4180;

5. 82·77=82·7·11=574·11=6314.

Решите примеры.

1	2	3	4	5
72·66	42·77	79·22	59·55	71·88
65·44	53·88	96·33	26·66	97·33
21·55	34·99	89·44	68·77	48·99

9. Умножение одинаковых двузначных чисел, которые оканчиваются на 5.

Цифру десятков умножаем на эту же цифру, увеличенную на единицу, и приписываем к результату 25.

1. 35·35=35²=1225;

2. 25·25=25²=625;

3. 45·45=45²=2025;

4. 9,5·9,5=9,5²=90,25;

5. 350·3,5=1225;

6. 5,5·5500=55²·10=30250.

Решите примеры.

1	2	3	4	5
15·15	75·75	3,5·3,5	250·2,5	3,5·3500
55·55	85·85	2,5·2,5	450·4,5	7,5·7500
65·65	95·95	4,5·4,5	650·6,5	6,5·6500

10. Умножение на число, оканчивающиеся на 5.

Чтобы четное двузначное число, оканчивающиеся на 5, можно применить следующее правило. Если один из сомножителей увеличить в несколько раз, а другой уменьшить во столько же раз,призведение не измениться.

1. 44·5=(44:2)·5·2=22·10=220;

2. 28·15=(28:2)·15·2=14·30=420;

3. 32·25=(32:2)·25·2=16·50=800;

4. 48·85=(48:2)·85·2=24·170=(24·10+24·7)·10=4080.

Решите примеры.

1	2	3	4	5
72·5	14·35	34·65	36·85	24·65
64·15	24·45	84·25	14·95	44·25
38·25	28·55	48·65	36·15	54·35

11. Умножение 25.

Для того, чтобы научиться устно умножать на 25, надо хорошо знать признак делимости и таблицу умножения на 4.

На 4 делятся те, и только те числа, у которых две последние цифры числа выражают число, делящаяся на 4.

1224 делится на 4, так как 24 делится на 4;

1716 делится на 4, так как 16 делится на 4;

2800 делится на 4, так как 00 делится на 4.

Чтобы число умножить на 25, надо это число разделить на 4 и умножить на 100.

1. 484·25=(484:4)·25·4=121·100=12100;

2. 124·25=(124:4)·25·4=31·100=3100;

Решите примеры.

1	2	3	4	5
184·25	1024·25	12100·25	4076·25	5236·25
272·25	4116·25	3100·25	6012·25	81124·25
364·25	6032·25	944·25	11016·25	82380·25

12. Умножение на 75.

Чтобы число умножить на 75, надо это число разделить на 4 и умножить на 300.

1. 32·75=(32:4)·75·4=8·300=2400;

2. 48·75=(48:4)·75·4=12·300=3600.

Решите примеры.

1	2	3	4	5
36·75	124·75	448·75	612·75	812·75
64·75	384·75	536·75	628·75	868·75
84·75	164·75	564·75	720·75	984·75

13. Умножение на 50.

Чтобы число умножить на 50, надо это число разделить на 2 и умножить на 100.

1. 432·50=(432:2)·50·2=216·100=21600;

2. 848·50=(848:2)·50·2=424·100=42400.

Решите примеры.

1	2	3	4	5
124·50	394·50	2186·50	11904·50	100912·50
226·50	428·50	5242·50	74026·50	81818·50
304·50	816·50	6198·50	91824·50	24084·50

14. Умножение на 125.

Чтобы научится устно умножать на 125, надо хорошо знать таблицу умножения на 8 и признак делимости на 8.

На 8 делятся те, и только те числа, у которых три последние цифры выражают число, делящееся на 8.

3168 делится на 8, так как 168 делится на 8;

5248 делится на 8, так как 248 делится на 8;

12328 делится на 8, так как 328 делится на 8.

Как узнать, что трехзначное число делится на 8?

Рассмотрим примеры.

632 кратно 8, так как (63+) делится на (64 делится на 8);

712 кратно 8, так как (71+) делится на (72 делится на 8);

304 кратно 8, так как (30+) делится на (32 делится на 8);

374 кратно 8, так как (37+) делится на (40 делится на 8);

208 кратно 8, так как (20+) делится на (24 делится на 8).

Чтобы умножить число на 125, надо это число разделить на 8 и умножить на 1000.

1. 32·125=(32:8)·125·8=4·1000=4000;

2. 72·125=(72:8)·1000=9000.

Решите примеры.

1	2	3	4	5
64·125	896·125	2896·125	7224·125	6984·125
96·125	904·125	3904·125	8248·125	9264·125
224·125	1296·125	9296·125	18248·125	10784·125

15. Умножение двузначных чисел, у которых сумма цифр десятков равна 10, а цифры единиц одинаковые.

При умножении двузначных чисел, у которых сумма цифр десятков равна 10, а цифры единиц одинаковые, надо перемножить цифры десятков и прибавить цифру единиц, получим число сотен и затем к числу сотен припишем произведение единиц.

1. 72·32=(7·3+2)·100+2·2=2300+4=2304;

2. 64·44=(6·4+4)·100+4·4=2800+16=2816.

Решите примеры.

1	2	3	4	5
53·53	42·62	99·19	24·84	66·46
18·98	36·76	88·28	91·11	58·58
12·92	57·57	73·33	23·83	89·29

16. Умножение чисел, оканчивающихся на 1.

При умножении чисел, оканчивающиеся на 1, надо перемножить цифры десятков и к полученному произведению прибавить сумму десятков и единицу.

1. 81·31=?

80·30=2400, 80+30=110, 1·1=1;

81·31=2511.

1. 21·31=?

20·30=600, 20+30=50, 1·1=1;

21·31=651.

Решите примеры.

1	2	3	4	5
61·51	71·21	51·31	81·21	41·41
31·41	81·31	61·41	41·71	81·81
21·21	91·41	71·31	31·91	71·71

17. Умножение чисел на 101,1001 и т.д.

Чтобы двузначное число умножить на 101, надо к этому числу приписать справа это же число.

1. 32·101=3232;

2. 48·101=4848.

Чтобы трехзначное число умножить на 1001, надо к этому числу справа приписать это же число.

1. 324·1001=324324;

2. 648·1001=648648.

Решите примеры.

1	2	3	4	5
56·101	98·101	49·101	624·1001	242·1001
38·101	87·101	58·101	725·1001	568·1001
42·101	65·101	824·1001	672·1001	693·1001

18. Умножение на число, близкое к 1000.

Чтобы любое число умножить на число близкое к 1000, надо это число умножить на разность между 1000 и дополнением второго множителя до тысячи.

1. 245·998=245·(1000-2)=245000-490=244510;

2. 375·999=375·(1000-1)=375000-375=374625.

Решите примеры.

1	2	3	4	5
225·997	349·997	624·997	173·997	842·997
174·999	451·996	549·998	282·998	751·998
346·998	725·998	824·999	691·999	824·999

19. Умножение с помощью изменения сомножителей.

Произведение не изменится, если один из сомножителей увеличить, а другой уменьшить на одинаковое число.

1. 75·36=(75·4)·(36:4)=300·9=2700;

2. 125·13=(125:5)·(13·5)=25·65=1625;

3. 99·41=(99:9)·(41·9)=11·369=4059.

Решите примеры.

1	2	3	4	5
625·25	734·22	55·32	75·80	99·9
65·44	160·66	115·77	96·66	35·55
36·33	44·25	603·33	77·42	96·16

20. Умножение двузначных чисел, не превышающих числа 20.

Первое число сложить с единицею второго числа, умножить полученную сумму на 10 и прибавить произведение единиц двух исходных чисел.

1. 15·16=(15+6)·10+5·6=210+30=240;

2. 12·13=(12+3)·10+2·3=150+6=156;

3. 15·13=(15+3)·10+5·3=180+15=195.

Решите примеры.

1	2	3	4	5
15·11	14·12	15·18	17·18	19·19
15·14	16·16	15·17	16·14	19·15
16·13	17·15	16·19	17·12	19·17

21. Умножение двузначных чисел с одинаковым числом десятков при условии, что сумма цифр единиц равно 10.

Цифру десятку умножаем на цифру, которая больше цифры десятка на 1, и к результату приписываем результата умножения единиц.

1. 44·46=(4·5)·100+(4·6)=2000+24=2024;

2. 78·72=(7·8)·100+(8·2)=5600+16=5616;

3. 53·57=(5·6)·100+(3·7)=3000+21=3021.

Решите примеры.

1	2	3	4	5
16·14	19·11	66·64	77·73	56·54
27·23	48·42	93·97	86·84	67·63
38·32	57·53	58·52	39·31	29·21

22. Умножение двузначных чисел с одинаковым числом единиц при условии, что сумма цифр десятков равно 10.

Чтобы умножить такие числа, нужно умножить цифры десятков и прибавить к ним одну цифру единиц, а к результату дописать произведение единиц.

1. 44·64=((4·6)+4)·100+(4·4)=2800+16=2816;

2. 78·38=((7·3)+8)·100+(8·8)=2900+64=2964;

3. 53·53=((5·5)+3)·100+(3·3)=2800+9=2809;

4. 31·71=((3·7)+1)·100-(1·1)=2200+1=2201.

Решите примеры.

1	2	3	4	5
19·99	16·96	66·46	77·37	56·56
27·87	48·68	93·13	86·26	67·47
38·78	57·57	58·58	39·79	29·89

Использованная литература.

1. Л.Ф. Мараховский. Справочник-учебник по математике. Киев-2012

2. П.М. Камаев. Устный счет. М. Чистые пруды 2007.