"Многогранники вокруг нас"

Дата: __________________

"Многогранники вокруг нас"

Цели урока:

• показать учащимся “мир в целом”, преодолев разобщенность научного знания по дисциплинам;

• способствовать систематизации знаний об основных видах многогранников, показать их применение в других видах деятельности;

• способствовать формированию и развитию эвристического мышления;

• способствовать развитию самостоятельности и творчества, расширению кругозора, проявлению личностных качеств и способностей, обогащению межличностных отношений.

Методы обучения: словесный, наглядный, деятельностный

Средства обучения: Компьютер, мультимедийный проектор, экран.

Для каждого ученика существенное значение имеют такие личностные качества и способности, как самостоятельность, практическая направленность и гибкость мышления, творческое решение практических задач, способность оперативно находить, подбирать и целенаправленно использовать необходимую информацию в практической работе.

Содержание урока:

I. Вступительное слово учителя.

Ни одни геометрические тела не обладают таким совершенством и красотой, как правильные многогранники. “Правильных многогранников так мало, - написал когда-то Л. Кэрролл, - но это весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук”.

Сегодня на уроке мы поговорим о многогранниках, а точнее о том какие многогранники называются правильными, где встречаются многогранники в природе.

Мы уже знаем 5 примеров правильных многогранников:

1. правильный тетраэдр;

2. куб или правильный гексаэдр;

3. правильный октаэдр;

4. правильный додекаэдр;

5. правильный икосаэдр

Каково же это вызывающе малое количество и почему их именно столько. А сколько? Оказывается, ровно пять - ни больше, ни меньше.

Заполняют таблицу свойств правильных многогранников.

III. Выступление группы «Историки»

Названия правильных многогранников пришли из Греции. В дословном переводе с греческого "тетраэдр", "октаэдр", "гексаэдр", "додекаэдр", "икосаэдр" означают: "четырехгранник", "восьмигранник", "шестигранник". "двенадцатигранник", "двадцатигранник". Этим красивым телам посвящена 13-я книга "Начал" Евклида. Их еще называют телами Платона, т.к. они занимали важное место в философской концепции Платона об устройстве мироздания. Четыре многогранника олицетворяли в ней четыре сущности или "стихии". Тетраэдр символизировал огонь, т.к. его вершина устремлена вверх. Икосаэдр - воду, т.к. он самый "обтекаемый. Куб -
землю, как самый "устойчивый. Октаэдр - воздух, как самый "воздушный". Пятый многогранник, додекаэдр, воплощал в себе "все сущее", символизировал все мироздание, считался главным. Гармоничные отношения древние греки считали основой мироздания, поэтому четыре стихии у них были связаны такой пропорцией: земля/вода = воздух/огонь. Атомы "стихий" настраивались Платоном в совершенных консонансах, как четыре струны лиры. Консонансом называется приятное созвучие. Надо сказать, что своеобразные музыкальные отношения в Платоновых телах являются чисто умозрительными и не имеют под собой никакой геометрической основы. Этими отношениями не связаны ни число вершин Платоновых тел, ни объемы правильных многогранников, ни число ребер или граней. В связи с этими телами уместно будет сказать, что первая система элементов, включавшая четыре элемента - землю, воду, воздух и огонь, - была канонизирована Аристотелем. Эти элементы оставались четырьмя краеугольными камнями мироздания в течение многих веков. Вполне возможно отождествить их, с известными нам, четырьмя состояниями вещества - твердым, жидким, газообразным и плазменным.

Важное место занимали правильные многогранники в системе гармоничного устройства мира И. Кеплера. Все та же вера в гармонию, красоту и математически закономерное устройство мироздания привела И. Кеплера к мысли о том, что поскольку существует пять правильных многогранников, то им соответствуют только шесть планет. По его мнению, сферы планет связаны между собой вписанными в них Платоновыми телами. Поскольку для каждого правильного многогранника центры вписанной и описанной сфер совпадают, то вся модель будет иметь единый центр, в котором будет находиться Солнце. Проделав огромную вычислительную работу, в 1596 г. И. Кеплер в книге "Тайна мироздания" опубликовал результаты своего открытия. В сферу орбиты Сатурна он вписывает куб, в куб - сферу Юпитера, в сферу Юпитера - тетраэдр, и так далее последовательно вписываются друг в друга сфера Марса - додекаэдр, сфера Земли - икосаэдр, сфера Венеры - октаэдр, сфера Меркурия. Тайна мироздания кажется открытой. Сегодня можно с уверенностью сказать, что расстояния между планетами не связаны ни с какими многогранниками. Впрочем, возможно, что без "Тайны мироздания", "Гармонии мира" И. Кеплера, правильных многогранников не было бы трех знаменитых законов И. Кеплера, которые играют важную роль в описании движения планет.

IV. Выступление группы “Биологи” 

Где еще можно увидеть эти удивительные тела? В очень красивой книге немецкого биолога начала нашего века Э. Геккеля "Красота форм в природе" можно прочитать такие строки: "Природа вскармливает на своем лоне неисчерпаемое количество удивительных созданий, которые по красоте и разнообразию далеко превосходят все созданные искусством человека формы".

В молекуле метана, который удается очень точно измерить в эксперименте, а поскольку ни один атом водорода в молекуле СН₄, очевидно, ничем не выделен, то разумно предположить, что эта молекула имеет форму правильного тетраэдра. Этот факт подтверждается фотографиями молекулы метана, полученными при помощи электронного микроскопа.

Создания природы, приведенные в этой книге, красивы и симметричны. Это неотделимое свойство природной гармонии. Но здесь видно и одноклеточные организмы - феодарии, форма которых точно передает икосаэдр. Чем же вызвана такая природная геометризация? Может быть, тем, что из всех многогранников с таким же количеством граней именно икосаэдр имеет наибольший обьем и наименьшую площадь поверхности. Это геометрическое свойство помогает морскому микроорганизму преодолевать давление водной толщи.

Интересно и то, что именно икосаэдр оказался в центре внимания биологов в их спорах относительно формы вирусов. Вирус не может быть совершенно круглым, как считалось ранее. Чтобы установить его форму, брали различные многогранники, направляли на них свет под теми же углами, что и поток атомов на вирус.

Оказалось, что только один многогранник дает точно такую же тень - икосаэдр. Его геометрические свойства, о которых говорилось выше, позволяют экономить генетическую информацию.

В трехмерном пространстве деления сферы ведут к созданию пяти правильных многогранников, так называемых пяти тел Платона. Формы Платона связаны с человеческим телом и природой сознания, раскрытие которой ведет не только к понимание интеллекта Вселенной, но и к эмпирическому восприятию Бога, даруя ощущение глубокой всеобщей взаимосвязи элементов бытия. Здесь особую роль играет число 5. Оно связано с зарождением жизни на земле и в то же время с бессмертием.

Первичные многоугольники и многогранники — фундаментальные образцы творения, представляющие творческие силы самоорганизации, которые формируют и определяют мир. Все в природе может быть описано в терминологии математических принципов, которые свойственны этим формам.

Какую форму могло бы иметь первое творение? Каковы изначально сотворенные объемные формы? Существует пять таких творений, которые являются наиболее существенными, потому что они — единственные тела, у которых все грани и все внутренние углы равны. Это тетраэдр, октаэдр, куб, додекаэдр и икосаэдр; производные от треугольника, квадрата и пятиугольника; воплощение чисел 3, 4 и 5. Все другие тела представляют собой только модификации эти пяти.

V. Выступление группы “Архитекторы”

Цели исследования

• Познакомиться с яркими примерами применения многогранников в архитектуре города Хабаровска

Гипотеза исследования

• Какую роль могут играть многогранники при проектировании и построении таких архитектурных сооружений как церкви и небоскребы?

Проблемные вопросы

• Каким образом форма многогранника нашла приложение в архитектуре?

• Многогранники вокруг нас или мы внутри многогранника?

Итог урока

Мы с вами рассмотрели: что называют правильными многогранниками и сколько их существует; где встречаются многогранники, для чего мы их изучаем. А также узнали исторические предположения о применении правильных многогранниках. Я думаю, каждый из вас для себя сделает выводы в области математики, насколько она близка с нами, как важно ее изучать.

Применение многогранников. А теперь подведем некоторый итог. Неужели столь необычные и удивительные формы есть объект изучения только такой науки как геометрия?.. На экране (доске, плакате) схема:

ФИЗИКА – смотри Справочник “Кристаллические и аморфные тела”

ХИМИЯ – кристаллические решетки таких веществ, как метан, поваренная соль, алмаз имеют форму правильных тетраэдра, гексаэдра (куба), октаэдра.

ГЕОГРАФИЯ. ГЕОЛОГИЯ – смотри книгу “Минералы Кольского полуострова”⁷.

Итог подведет презентация “Кристаллы – природные многогранники”

СПОРТ – футбольный мяч имеет форму полуправильного многогранника (модель мяча).

ИГРЫ И ИГРУШКИ – знаменитая на весь мир игрушка кубик Рубика (смотри Энциклопедический словарь юного математика¹, с. 142); похожая на кубик Рубика игрушка “Тетраэдр”; головоломка “Звездочка”.

1. Домашнее задание:

1. п. 31, 32, 33.

2. Выполнить модели правильных многогранников (материал любой: бумага, картон, проволока, дерево)