Методическая разработка к уроку по теме "Теорема Пифагора"

Методическая разработка урока математики в 8 классе

УРОК-ОТКРЫТИЕ

по теме: «Теорема Пифагора», 8 класс

Цели урока:

обучающая - сформировать у обучающихся знание теоремы Пифагора,

умение применять её в решении задач;

развивающая - продолжить формирование умений частично-поисковой

познавательной деятельности, делать выводы и обобщения;

воспитывающая - возбудить у учащихся интерес к учебному материалу,

познавательным действиям.

Тип урока: овладение учащимися новыми знаниями.

Оборудование: картина Вавилона, модели прямоугольных треугольников и квадратов, ножницы, две серии проблемных рисунков, две таблицы исследования, плакат с символическим изображением теоремы Пифагора, геоплан, рисунки тетраксиса и гаммы до-мажор.

Ход урока

I. Вводно-мотивационный.

Учитель. О сколько нам открытий чудных

Готовит просвещенья дух,

И опыт, сын ошибок трудных,

И гений, парадоксов друг,

И случай, бог - изобретатель...

Прекрасные поэтические строки А.С.Пушкина как нельзя лучше иллюстрируют форму нашего урока. Сегодня каждому из вас предстоит стать первооткрывателями великой теоремы математики, теоремы Пифагора.

Звучит симфония №40 Моцарта.

Вы слышите симфонию №40 Моцарта. Гениальный композитор серьёзно увлекался математикой. Это не просто музыка, это музыка-вдохновение. Под волшебные звуки симфонии Моцарт выполнял сложные математические вычисления, исписав при этом всё, всё в своей комнате, даже пол и стены. Так пусть прекрасная мелодия вдохновит и вас, ребята, на поиски идей и путей доказательства теоремы Пифагора!

Постановка проблемной задачи. Исторический экскурс.

Учитель. Творческий поиск мы осуществим посредством 4 групп, в каждой имеются специалисты в области теоретических знаний - «аналитики» и просто знатоки своего дела - «практики». Оценивать вашу работу помогут шефы-консультанты. У каждого из них имеется контрольный лист группы, с помощью которого они будут на протяжении всего урока отслеживать, надеюсь, только ваши успехи.

Демонстрация контрольного листа группы, ознакомление с критериями оценивания.

№ п/п

Виды деятельности

Исследовательская работа

Практическое приложение

Кол-во баллов

Оценка

Проблемные задачи

Решение задач

Творческие проекты

1

2

3

Критерии оценивания:

20-25 баллов - «5»

15-19 баллов - «4»

10-14 баллов - «3»

Итак, для достижения нашей цели, давайте мысленно перенесёмся в 6 век до н.э.

Музыкальный фон, демонстрация картины древнего Вавилона.

Величайший город древности Вавилон, что в переводе означает «врата Бога», был спланирован в форме огромного квадрата со сторонами в 20 километров. Любуясь великолепной вавилонской архитектурой, невольно задаёшься вопросом: «Как уже в 6 веке до нашей эры архитекторам удалось достигнуть такого высочайшего уровня мастерства?» Ребята, как вы думаете? Я считаю, что секрет красоты вавилонских построек заключается в умении правильно строить прямые углы. Интересно, как египтяне строили прямые углы?

Представление творческого проекта группы №1.

Египтяне брали верёвочное кольцо с 12 узелками, расположенных на равных расстояниях. Растягивали это кольцо на трех колышках, вбитых в землю так, чтобы получился треугольник со сторонами 3 и 4 делениями. Тогда длина третьей стороны равнялась 5 делениям, а противолежащий ей угол являлся прямым.

Ученики моделируют с помощью верёвочного кольца построение прямого угла.

Учитель. Итак, египтяне обнаружили тройку чисел (3; 4; 5), с помощью которой получили прямоугольный треугольник. Возникает задача: существуют ли ещё такие тройки чисел, с помощью которых можно построить прямой угол? Как получить такие тройки чисел?

II. Операционно-исполнительный этап.

Открытие теоремы Пифагора.

Геометрическое доказательство (эвристический метод).

Проблемная задача №1.

Возьмите модель квадрата с заштрихованной внутренней частью в виде квадрата. Подумайте, как найти площадь заштрихованного квадрата?

1.Способ (демонстрация плаката)

Разрежем заштрихованный квадрат на такие части, которые могут быть удобно расположены для измерения.

2.Способ (демонстрация плаката)

Можно вычислить площадь всего квадрата и вычесть из неё площадь заштрихованной области.

Проблемная задача №2.

Работа с таблицей исследования №1.

Задание: Проведя соответствующие измерения, заполните таблицу. Выберите один из рассмотренных способов.

Совместная проверка результатов

Длина «вертикального» катета	1	1	1
Длина «горизонтального» катета.	1	2	3
Площадь заштрихованного квадрата.	2	5	10

Проблемная задача №3.

Работа с таблицей исследования №2.

Задача 1. Постройте квадраты на сторонах каждого треугольника.

Задача 2. Вычислите площадь квадратов, построенных на катетах для случаев А, Б, В.

Задача 3. Установите закономерность. После чего заполните недостающими значениями столбцы Г, Д (чертежей которых в таблице нет).

Совместная проверка результатов

	А	Б	В	Г	Д
Площадь квадрата, построенного на первом катете.	9	4	9	9	4
Площадь квадрата, построенного на втором катете.	9	4	16	25	1
Площадь квадрата, построенного на гипотенузе.	18	8	25	34	5

Вывод:

Площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

Проблемная задача №4.

Практическая работа с ножницами.

Учитель. Проверим истинность нашего утверждения. Рассмотрим две модели.

Справа видим незаштрихованный квадрат, построенный на гипотенузе. Отрежьте от него заштрихованные треугольники. Наложите их на соответствующие треугольники модели 2. Что вы можете сказать о площади незаштрихованных фигур? Сравните площади заштрихованных фигур на левой и правой модели. Значит, наше утверждение верно. Введём обозначения.

Пусть с - длина стороны квадрата, построенного на гипотенузе, в - длина вертикального катета, а - длина горизонтального катета.

Тогда S = с² и S = а² +в².

Отсюда с² = а² +в²Данное равенство и выражает теорему Пифагора:

в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Закрепление изученного. Решение задач.

Формулы для решения задач: с² = а² +в², с=√а² +в²

а² = с² - в², а=√с² - в²

в²= с² - а², в = =√с² - а²

Задача №1.

Ширина прямоугольного участка земли 5 метров, а длина 12 метров. Сколько метров нужно пройти крестьянину, чтобы пересечь участок по диагонали? Чертёж смоделируйте на геоплане.

Ответ: 13 м.

Учитель. Теорема Пифагора - универсальна. Вы можете её использовать не только в математике, но и в жизни. Следующая задача является тому подтверждением.

Задача №2.

На какое расстояние надо отодвинуть от стены дома нижний конец лестницы, длиной 10 метров, чтобы верхний конец достал до слухового окна, находящегося на высоте 6 метров от земли.

Ответ: 8 м.

Задача №3.

Можно ли, используя теорему Пифагора определить третий элемент?

Творческий проект группы 2.

Демонстрация модели.

Первое представление о прямоугольном треугольнике египетские строители получили, рассматривая веревку, косо идущую от вершины шеста. Они втыкали в землю шест, к вершине которого прикрепляли веревку. В полдень, когда тень от шеста будет короче всего, натягивали веревку и втыкали в землю шест. Таким образом, шест, падающая от него тень и веревка образовывали прямоугольный треугольник.

Задача №4.

Представьте, что вы египтяне-строители пирамид. Втыкаете в землю шест длиной 17 метров. В полдень тень от шеста укорачивается на минимальную длину. Какова длина тени?

Ответ: 15 м.

III. Контрольно-оценочный. Рефлексия учебной деятельности.

Учитель. На следующем уроке мы рассмотрим решение более сложных задач на применение теоремы Пифагора. Проведём его в форме «Аукциона деловых идей», на котором каждая из групп предложит свои варианты решения следующих задач.

Группам раздаются карточки с домашним заданием.

Шефы-консультанты оглашают количество баллов,набранных каждым учеником, выставляются оценки.

Учитель. Судя по результатам вашей работы, вам понравилось ощущать себя первооткрывателями. Теперь вы представляете, как труден путь к познанию. Возможно, мы прошли его так же, как это сделал Пифагор в 586 году до нашей эры. Он много работал, переделывал, перерешивал, потому что не идею проверял, а может быть жизнь свою со всех сторон.

Музыкальный фон.

6 век до нашей эры. На берегу острова Самос сидел неподвижный старик. Волны прибоя все набегали и набегали на берег, напоминая ему о днях прожитой жизни.

- Не зря ли я жил?

• Нет, не зря... (вторили ему волны)

-Ты вооружил человечество первой теоремой, связывающей длины сторон треугольника.Ты создал свою, неповторимую теорию чисел.

- Но люди жестоки. Они никогда не понимали меня. И я вместе со своими учениками вынужден был работать тайно, тайно от всего мира поклоняться божественному числу тетраксис.

- Да, я знаю, они не могут мне простить, что вместо Бога, я выбрал служение числу. Но ведь оно объясняет всё, всё в этом мире, даже чувства людей.

Справедливость - это число 4, так как оно является первым произведением двух равных множителей; число 5 олицетворяет любовь, как сумма чётного и нечётного чисел (женского и мужского начала). Всё подвластно божественному числу, даже музыка. И её можно рассчитать в числах, как гамму до-мажор.

до	ре	ми	фа	соль	ля	си
1	9/8	81/64	4/3	3/2	27/16	243/128

- Разве я не прав?

Но волны промолчали, откатились с берега и растворились в бескрайнем море.

- Что есть мир? - спросил Пифагор и вскинул руку... Мир есть число.

Замерло время, но не умерла память. Прошло два с половиной тысячелетия, а мы, люди 21 века всё изучаем труды Пифагора, пытаемся постигнуть глубины его открытий. Обратите внимание на предметы, стоящие на ваших столах.

У первой группы - свеча, у второй - глобус, у третьей - вода, у четвёртой - воздушный шарик. Пифагор считал, что весь мир состоит из четырёх стихий, и каждую из них он обозначил числом.

Огонь -1

Земля - 2

Вода - 3

Воздух - 4

Как вы думаете, каким числом обозначил весь мир Пифагор?

Число 10. Таким видел мир Пифагор. А каким его увидят ваши потомки, зависит от каждого из вас. Ведь вам жить в этом безграничном мире, вам открывать его тайны.