Методическая разработка по теме: "Теорема Пифагора"

Тема урока: «Теорема Пифагора»

Цели: 1) Обобщить, закрепить, повторить и систематизировать знания учащихся по теме, повторить исторические истоки теоремы;

2) Развивать мыслительные процессы, способствующие нахождению правильного решения;

3) Воспитывать познавательный интерес к изучению геометрии, научить преодолевать трудности, настраиваться на успех в любом деле.

Структура урока:

1. Актуализация опорных знаний учащихся.

2. Работа учащихся по обобщению и систематизации материала:

1)Историческая справка о жизни Пифагора.

2)Разные способы доказательства теоремы.

1. Решение задач.

2. Физкультминутка

3. Самостоятельная работа

4. Подведение итогов учебной деятельности, домашнее задание.

Оборудование: мультимедийный проектор, мел, доска, чертежи к задачам.

Вид урока: повторительно-обобщающий.

Ход урока

1. Актуализация опорных знаний учащихся.

Особое место в геометрии играет понятие прямоугольного треугольника и теорема Пифагора. На протяжении нескольких уроков мы изучали с вами этот материал и сегодня наша цель обобщить полученные знания. К вопросу обобщения мы подойдем многосторонне: как историки, теоретики и как практики…

2. Работа учащихся по обобщению и систематизации материала.

1). Сейчас мы будем выступать в роли историков.

Выступление учащихся о биографии Пифагора.

О жизни Пифагора известно немного. Он родился в 580 г. до н.э. в Древней Греции на острове Самос, который находится в Эгейском море у берегов Малой Азии, поэтому его называют Пифагором Самосским. Родился Пифагор в семье резчика по камню, который сыскал скорее славу, чем богатство. Еще в детстве он проявлял незаурядные способности, и когда подрос, неугомонному воображению юноши стало тесно на маленьком острове.

Пифагор перебрался в город Милеет и стал учеником Фалеса, которому в то время шел восьмой десяток. Мудрый ученый посоветовал юноше отправиться в Египет, где сам, когда-то изучал науки.

Перед Пифагором открылась неизвестная страна. Его поразило то, что в родной Греции боги были в образе людей, а египетские боги – в образе полулюдей – полуживотных. Знания были сосредоточены в храмах, доступ в которые был ограничен. Пифагору потребовались годы, чтобы глубоко изучить египетскую культуру прежде, чем, ему было разрешено познакомиться с многовековыми достижениями египетской науки.

Когда Пифагор постиг науку египетских жрецов, то засобирался домой, чтобы там создать свою школу. Жрецы, не желавшие распространения своих знаний за пределы храмов, не хотели его отпускать. С большим трудом ему удалось преодолеть эту преграду.

Однако по дороге домой, Пифагор попал в плен и оказался в Вавилоне. Вавилоняне ценили умных людей, поэтому он нашел свое место среди вавилонских мудрецов. Наука Вавилона была более развитой, нежели египетская. Наиболее поразительными были успехи алгебры. Вавилоняне изобрели и применяли при счете позиционную систему счисления, умели решать линейные, квадратные и некоторые виды кубических уравнений.

Пифагор прожил в Вавилоне около десяти лет и в сорокалетнем возрасте вернулся на родину. Но на острове Самос он оставался недолго. В знак протеста против тирана Поликрата, который тогда правил островом, поселился в одной из греческих колоний Южной Италии в городе Кротоне.

Там Пифагор организовал тайный союз молодежи из представителей аристократии. В этот союз принимались с большими церемониями после долгих испытаний. Каждый вступающий отрекался от своего имущества и давал клятву хранить в тайне учения основателя. Пифагорейцы, как их позднее стали называть, занимались математикой, философией, естественными науками. В школе существовал декрет, по которому авторство всех математических работ приписывалось учителю.

Пифагорейцами было сделано много важных открытий в арифметике и геометрии, в том числе:

• теорема о сумме внутренних углов треугольника;

• построение правильных многоугольников и деление плоскости на некоторые из них;

• геометрические способы решения квадратных уравнений;

• деление чисел на четные и нечетные, простые и составные; введение фигурных, совершенных и дружественных чисел;

• доказательство того, что не является рациональным числом;

• создание математической теории музыки и учения об арифметических, геометрических и гармонических пропорциях и многое другое.

Известно также, что кроме духовного и нравственного развития учеников Пифагора заботило их физическое развитие. Он не только сам участвовал в Олимпийских играх и два раза побеждал в кулачных боях, но и воспитал плеяду великих олимпийцев.

Около сорока лет ученый посвятил созданной им школе и, по одной из версий, в возрасте восьмидесяти лет Пифагор был убит в уличной схватке во время народного восстания.

2). А теперь мы будем выступать в роли теоретиков, т.е. повторим теорию изучаемого вопроса.

Учитель: Повторим формулировку теоремы Пифагора и ее доказательство, а так же теорему, ей обратную. Теорема Пифагора издавна применялась в разных областях науки и техники, в практической жизни. Доказательство теоремы Пифагора считалось в кругах учащихся средних веков очень трудным и называлось иногда “ослиным мостом” или “бегством убогих”, т.е. некоторые слабые ученики бежали от геометрии, не пытаясь понять, а зазубривая доказательство. “Ослиный мост” – непроходимый мост. А посему возникали, своего рода карикатуры, сопровождающие чертежи к доказательству теоремы (рисунки-карикатуры на доске).

2 ученика доказывают теорему на доске.

3. Решение задач.

Теперь мы будем выступать в роли практиков. Решаем устно (задача1)

Решаем письменно (задача 2, 3).

Древнеиндийские задачи про тополь и лотос.

4. Физкультминутка.

5. Самостоятельная работа.

5. Задание на дом: Задача про мачты и трос.

Итог: подведя итог сегодняшнему уроку, я хочу вернуться к Пифагорейскому союзу и его заповедям. И обратить внимание на последнюю: «Сыщи себе верного друга, имея его , ты можешь обойтись без богов».

1. Возможно ли было решение задач данного типа без применения теоремы Пифагора?

2. В чём суть теоремы Пифагора?

3. Для любых ли треугольников можно применить данную теорему?

4. Где применяется, по вашему, сейчас теорема Пифагора?

Урок геометрии в 8 классе:

«Теорема Пифагора»

НЧОУ гимназия «Росток» Ботоногова О.В.

«Геометрия владеет

двумя сокровищами:

одно из них – это

теорема Пифагора»

Иоганн Кеплер

Цели урока:

• обобщить знания по данной теме;
• проверить навык решения задач с помощью теоремы Пифагора;
• познакомить учащихся с некоторыми фактами из биографии Пифагора;
• рассмотреть способ доказательства теоремы;
• формировать познавательный интерес;
• совершенствовать приёмы устных вычислений.

Современная формулировка

теоремы Пифагора

«В прямоугольном

треугольнике квадрат

гипотенузы равен

сумме квадратов катетов ».

Во времена Пифагора формулировка теоремы звучала так:

«Квадрат, построенный на гипотенузе прямо-угольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на катетах ».

S = а ²

Пифагор жил в 6 веке до н. э.

В молодости он много путешествовал, собирая по крупицам знания древнейших народов по математике, астрономии, технике.

Вернувшись на родину, на остров Самос, он собирает вокруг себя юношей и ведёт с ними беседы.

Так образовался «пифагорейский союз».

В союзе царит дисциплина, послушание. Слово учителя закон. Вскоре союз становится политическим союзом единомышленников.

S = c²

c²=a²+b²

S = b²

Пифагор (Pythagoras) Самосский

(ок. 570 - 500 до н.э.)

Немного о Пифагоре

Пифагор-это не имя,

а прозвище, данное ему за

то , что он высказывал истину также постоянно, как аракул

(«Пифагор» значит

«убеждающий речью»).

Школа Пифагора и пифагорейцы

Школа существовала в период с 585 до 400 г.г. до н.э.

Эта школа заложила основу греческой арифметики, которая ограничивалась изучением целых чисел.

Их арифметика геометрична, она разбивает числа в зависимости от формы соответствующих им фигур из точек на треугольные, квадратные, пятиугольные и т.д.

Попасть в школу было не просто. Претендент должен был выдержать ряд испытаний, одним из таких испытаний являлся обет пятилетнего молчания.

Законом организации было хранение тайны, несоблюдение которой строго каралось – вплоть до смерти.

Пентаграмма

Пифагоровы тройки

Используя теорему, Пифагор и его ученики описали все тройки целых чисел, которые могут быть длинами сторон прямоугольного треугольника.

a 2 +b 2 = c 2

3 2 +4 2 =5 2

9+16=25

25=25

a

b

3

c

4

5

12

8

5

13

15

7

24

17

20

25

21

12

35

29

37

Практическое применение:

В древнем Египте после разлива Нила требовалось восстановить границы земельных участков. Для этого необходимо было уметь строить прямые углы. Египтяне поступали следующим образом: брали верёвку, завязывали на равных расстояниях узлы и строили треугольники со сторонами 3,4,5 таких длин.

Правильно ли они поступали? Ответ обоснуйте .

НЕКОТОРЫЕ СПОСОБЫ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМЫ

Доказательство Пифагора

Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на его катетах.

Доказательство теоремы

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

Дано: прямоугольный треугольник

а, в – катеты, с – гипотенуза

Доказать: с 2 = а 2 + в 2

Доказательство:

• Достроим треугольник до квадрата со стороной а+в;
• S=(а+в) 2 - площадь квадрата
• Четыре прямоугольных треугольника, S = ½ ав
• S= 4*1/2ав+с 2 =2ав+с 2
• (а+в) 2 = 2ав+с 2
• с 2 = а 2 + в 2

а

в

с

в

с

а

с

а

в

с

а

в

Доказательство теоремы Пифагора учащиеся средних веков считали очень трудным и называли его Dons asinorum - ослиный мост, или elefuga - бегство «убогих», так как некоторые «убогие» ученики, не имевшие серьезной математической подготовки, бежали от геометрии. Слабые ученики, заучившие теоремы наизусть, без понимания, и прозванные поэтому «ослами», были не в состоянии преодолеть теорему Пифагора, служившую для них вроде непреодолимого моста. Из-за чертежей, сопровождающих теорему Пифагора, учащиеся называли ее также «ветряной мельницей», составляли стихи, вроде «Пифагоровы штаны на все стороны равны», рисовали карикатуры.

Устная работа Задача № 1

Найдите высоту.

Найдите гипотенузу.

E

B

Ответ: 9

Ответ: 10

?

15

?

15

8

h

6

A

C

F

24

Q

Задача № 2

1) Найдите катет.

Найдите катет.

A

C

?

36

?

30

B

A

24

60

C

B

Ответ: 12√3 Ответ: 18√3

Задача № 3

Найдите сторону прямоугольника.

Найдите сторону ромба.

K

AM=10см

KN=24см

B

C

?

13

5

A

M

O

?

D

A

N

Ответ: 12 Ответ: 13

Зрительная гимнастика

Самостоятельная работа

№ 1. Катеты 8 и 15 см. Найти гипотенузу

№ 2. Гипотенуза 61 см, катет 11 см. Найти другой катет

№ 3. Диагональ прямоугольника 15 см, одна из сторон – 9 см. Найти его периметр

№ 4. Катеты прямоугольного треугольника относятся как 3 : 4, а гипотенуза равна 15 см. Найдите периметр треугольника.

№ 5. Катет прямоугольного треугольника равен 5 см , а медиана, проведенная к другому катету равна 13см. Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника.

№ 1. 17 №2. 60 № 3. 42

№ 4

С

4х

3х

(3х) 2 + (4х) 2 = 15 2

9х 2 + 16х 2 = 225

25х 2 = 225

В

A

х 2 = 9

15

х = 3

Стороны треугольника 9, 12, 15. Р = 36

№ 5

С

А.П. Ершова, В.В. Голобородько, А.С. Ершова «Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и геометрии для 8 класса»

Треугольник АСМ прямоугольный:

СМ = 12 см.

СВ = 24 см.

Треугольник АСВ прямоугольный:

АВ = √601 см.

М

A

В

26

На берегу реки рос тополь одинокий. Вдруг ветра порыв его ствол надломал. Бедный тополь упал. И угол прямой с теченьем реки его ствол составлял. Запомни теперь, что в том месте река в четыре лишь фута была широка. Верхушка склонилась у края реки, осталось три фута всего от ствола. Прошу тебя, скоро теперь мне скажи: у тополя как велика высота?

26

Решение.

Пусть CD – высота ствола.

BD = АВ

По теореме Пифагора имеем АВ = 5 .

CD = CB + BD,

CD = 3 + 5 =8.

Ответ: 8 футов.

26

Над озером тихим

С полфута размером

Высился лотоса цвет.

Он рос одиноко,

И ветер порывом

Отнёс его в сторону. Нет

Боле цветка над водой.

Нашёл же рыбак его

Ранней весною

В двух футах от места, где рос.

Итак, предложу я вопрос:

“ Как озера вода здесь глубока?”

1фут = 0,3 м

  Решение:

Выполним чертёж к задаче и обозначим глубину озера АВ =Х,

тогда AD = AС = Х + 0,5 .

Из треугольника ACB по теореме Пифагора имеем

AС 2 – AВ 2 = BC 2 ,

(Х + 0,5) 2 – Х 2 = 2 2 ,

Х 2 + Х + 0,25 – Х 2 = 4,

Х = 3,75.

Таким образом, глубина озера составляет 3,75 фута.

3, 75 • 0,3 = 1,125 (м)

Ответ: 3,75 фута или 1, 125 м.

Заповеди Пифагора

и его учеников актуальны и сейчас, и могут быть приемлемы для любого здравомыслящего человека.

Вот они!

Заповеди пифагорейцев:

• Делать то, что впоследствии не огорчит тебя и не заставит раскаиваться;

• Не делай никогда того, что не знаешь, но научись всему, что следует знать;

• Не пренебрегай здоровьем своего тела;

• Приучайся жить просто и без роскоши .

• Не закрывай глаза, когда хочется спать, не разобравши всех своих поступков в прошлый день.  

Главная заповедь:

• «Сыщи себе верного друга, имея его , ты можешь обойтись без богов»

• Памятник Пифагору находится в порту города Пифагорио и напоминает всем о теореме Пифагора, наиболее известном его открытии. Катет, лежащий в основании треугольника - мраморный , гипотенуза и фигура самого Пифагора в виде второго катета - медные.

Пифагор придумал специальную кружку, которая заставляла пить только в ограниченных количествах. Если человек заполняет кружку только до определенного уровня, он может пить. Если он заполняет выше нормы, то содержимое выливается.

Кружка Пифагора выглядит как обычная кружка для питья. За исключением того, что в центре есть колонка. Центральная колонка расположена на уровне риски. Внутри колонки проходит канал , соединяющийся с выходным отверстием.

Когда кружка заполняется, жидкость поднимается по каналу до верхней части центральной колонки. Пока уровень жидкости не поднимается выше уровня камеры, кружка функционирует, как обычно. Если уровень поднимается выше, вся жидкость выливается наружу.