Материал для факультатива по геометрии в 8 классе.

Предлагаю вниманию коллег – учителей математики материал для проведения факультативных занятий по геометрии в 8 классе. Я включила в статью подборку для 6 занятий, цель которых – показать ученикам уже 8 класса, хотя бы ориентировочно, уровень сложности задания № 26 в материалах ОГЭ. Каждое занятие содержит, как материал для самого занятия, так и задачу для домашней работы.

Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?

Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.

Быстро и объективно проверять знания учащихся.

Сделать изучение нового материала максимально понятным.

Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.

Наладить дисциплину на своих уроках.

Получить возможность работать творчески.

=> ПОЛУЧИТЬ СУПЕРСПОСОБНОСТИ УЧИТЕЛЯ <=

Просмотр содержимого документа
«Материал для факультатива по геометрии в 8 классе. »

8 класс. (Г8-к.р.№2)

Решение многовариантных задач .

Занятие №1 по темам: « Взаимное расположение точки и отрезка, лежащих на одной прямой» и «Теорема Пифагора».

Работа на уроке.

№1. В прямоугольнике ABCD AB = 2 , BC = 3. Точка Е на прямой АВ выбрана так, что

AED =DEC . Найдите АЕ.

Решение.

По свойству параллельных прямых AED = EDC . Следовательно, треугольник DEC равнобедренный, и EC = CD = 2. Получим прямоугольный треугольник ВЕС с гипотенузой EC = 2 и катетом BC =3. По теореме Пифагора BE = 1.

Ключевым моментом этой задачи является расположение точки на прямой

относительно двух данных на ней точек.

1. Если точка Е лежит между А и В (точка 1 E на рис. 5), то AE = 1.

2. Если точка В лежит между А и Е (точка 2 E на рис. 5), то AE = 3.

3. Положение точки А между В и Е невозможно, так как в этом случае AED DEC (сделайте рисунок), т.е. не выполняется условие задачи.

Ответ: 1 или 3.

Домашняя работа.

№2. В прямоугольнике MNEK NE = 4 , EK = 3. Точка A на прямой NE выбрана так, что NAM =MAK . Найдите АN.

Ответ: 4- или 4 + .

Самостоятельная работа.

№3. В прямоугольнике ABDK AB = 10 , BD = . Точка M на прямой АВ выбрана так, что AMK =DMK . Найдите АM.

Ответ: 16 или 4.

8 класс. (Г8-к.р.№1)

Решение многовариантных задач .

Занятие №2 по темам: « Взаимное расположение прямой и точки вне прямой. » и «Параллелограмм».

Работа на уроке.

№1.Дан параллелограмм ABCD. Биссектрисы его углов А и D делят сторону BC на три равные части. Вычислите стороны параллелограмма, если его периметр равен 40.

Решение.

Обозначим точку пересечения биссектрис через М, а точки пересечения биссектрис АМ и DM со стороной BC через N и K соответственно. В зависимости от расположения точки М относительно прямой (отрезка) CD возможны два варианта для чертежа.

1. Пусть точка M расположена вне параллелограмма. Так как биссектриса АМ отсекает от параллелограмма равнобедренный треугольник ABN (см. рис. а), то

AB = BN = NK = KC = x .

Периметр параллелограмма равен 40, поэтому из уравнения

2(x + 3x) = 40

находим x = 5 . Значит, AB = 5 , BC = 15.

2. Если точка M расположена внутри параллелограмма (см. рис. 7б), то

NC = x и AB = BN = 2x . Из уравнения

2(2x + 3x) = 40

находим x = 4 . Значит, AB = 8 и BC = 8 + 4 = 12 .

Ответ: 5; 15 или 8; 12.

Домашняя работа.

№2. Дан параллелограмм MNFT. Биссектрисы его углов N и M делят сторону FT на три равные части. Вычислите стороны параллелограмма, если его периметр равен 50.

Ответ: 10;15 или 6,25; 18,75.

Самостоятельная работа.

№3. Дан параллелограмм ABCD. Биссектрисы его углов B и C делят сторону AD на три равные части. Вычислите стороны параллелограмма, если его периметр равен 16.

Ответ: 2; 6 или 3,2;4,8.

8 класс. (Г8-к.р.№2)

Решение многовариантных задач .

Занятие №3 по темам: « Выбор обозначений вершин многоугольника» и «Площадь треугольника и параллелограмма».

Теория:

Т1. Медиана треугольника разбивает его на два равновеликих треугольника.

Т2. Диагональ параллелограмма разбивает его на два равновеликих треугольника.

Работа на уроке.

№1. В параллелограмме ABCD один из углов равен 60.Точки E и F являются серединами смежных сторон, образующих острый угол. Площадь треугольника, отсекаемого прямой EF от параллелограмма ABCD, равна S . Найдите площадь треугольника, вершинами которого служат точки E, F и C .

Решение.

Используя приведенные выше факты и построив пунктиром два дополнительных отрезка (см. рис. 33), получим, что площадь параллелограмма равна 8S. Обозначение буквами вершин параллелограмма можно начать с любой вершины, поэтому возникает четыре разных рисунка, соответствующих условию данной задачи ( см. рис. 34а, б, в, г). Треугольники, площадь которых нужно найти, на каждом из рисунков выделены темным фоном. Площадь треугольника ECF на рис.34а находим следующим образом: S_ECF= S_ABCD – S_AEF – S_EBC – S_FDC= 8S – S - S_ABC - S_ADC = 8S – S – 2S – 2S = 3S.

В остальных случаях искомая площадь будет равна S .

Ответ: S или 3S .

№2. В параллелограмме ABCD один из углов равен 115Точки E и F являются серединами смежных сторон, образующих тупой угол. Площадь треугольника, отсекаемого прямой EF от параллелограмма ABCD, равна S . Найдите площадь треугольника, вершинами которого служат точки E, F и C .

Ответ: S или 3S .

Домашняя работа. №3. В параллелограмме MNET угол M равен 40.Точки A и B являются серединами смежных сторон, образующих угол E. Площадь треугольника, отсекаемого прямой AB от параллелограмма MNET, равна 5см² . Найдите площадь треугольника, вершинами которого служат точки A, B и T. Ответ: 5см² и 15см².

Самостоятельная работа. №4. В параллелограмме KEOA угол K равен 70Точки Q и F являются серединами смежных сторон, образующих угол E. Площадь треугольника, отсекаемого прямой QF от параллелограмма KEOA, равна 7 . Найдите площадь треугольника, вершинами которого служат точки Q, F и A.

Ответ: 7 или 21 .

8 класс. (Г8-к.р.№1)

Решение многовариантных задач .

Занятие №4 по теме: «Выбор линейного элемента».

Работа на уроке.

№1. Высоты треугольника ABC пересекаются в точке Н. Известно,

что CH = AB . Найдите АСВ.

Решение.

1. Пусть треугольник ABC - остроугольный (см. рис. 37а). Пусть ВЕ и CD – высоты треугольника. Углы АВЕ и HCE равны, как углы с соответственно перпендикулярными сторонами. Треугольники АЕВ и HEC равны по гипотенузе (CH = AB) и острому углу. Отсюда AE = EH, и значит, EAH = AHE = 45. В прямоугольном треугольнике ACF имеем CAF = 45, поэтому ACF = 45. Остальные случаи рассмотрите самостоятельно.

2. Угол ВАС – тупой (см. рис. 37б).

3. Угол АВС – тупой.

4. Угол АСВ – тупой.

5. Угол АВС – прямой.

6. Угол ВАС – прямой.

7. Случай, когда угол АСВ – прямой, невозможен (в этом случае CH=0, а AB0).

Ответ: 45 или 135.

Домашняя работа. №2. Высоты треугольника MNK пересекаются в точке O. Известно, что MO = NK . Найдите градусную меру угла KMN.

Ответ: Если M , то M = 45.

Если M , то M = 135.

Случай, когда M невозможен.

Самостоятельная работа. №3. Высоты треугольника EFK пересекаются в точке A. Известно, что EF = AK . Найдите градусную меру угла EKF.

Ответ: 45 или 135.

8 класс. (Г8-к.р.№5)

Решение многовариантных задач .

Занятие №5 по теме: «Задачи с параметрами».

В геометрических задачах в качестве параметра может быть линейная или угловая величина. Количество возможных решений находится в зависимости от условия задачи и области изменения параметра.

Теория.

Т1.Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы.

Т2.Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Работа на уроке.

№1. Дан прямоугольный треугольник АВС с прямым углом при вершине В и углом при вершине А. Точка D – середина гипотенузы. Точка C₁ симметрична точке С относительно прямой BD.

Найдите угол AC₁ B .

Решение.

Так как прямая BD является серединным перпендикуляром к отрезку CC₁, то DC = DC_1. С другой стороны, точка D – центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника. Поэтому DC = DB = DA . Отсюда следует, что точка C₁ принадлежит описанной окружности. Построение чертежа к этой задаче зависит от того, каково значение параметра. Возможны три случая:

1) 45;

2) 4590;

3) 045.

1) 45, то центральный угол BDC = 2BAC = 2. = 90 (по свойству внешнего угла треугольника BDA ). В этом случае ось BD перпендикулярна гипотенузе AC . Точка C отобразится в точку A , и угол AC₁ B не будет определен.

2. Пусть 45 , тогда центральный угол BDC = 2BAC = 2 90 (см. рис. 51а). В этом случае точки C и C₁ расположены по одну сторону от хорды AB . В прямоугольном треугольнике BCA :

ACB = 90 - .Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Поэтому

AC₁B = ACB = 90 - .

3. Пусть 45 , тогда центральный угол BDC = 2BAC = 2 90 (см. рис. 51б). В этом случае точки C и C₁ расположены по разные стороны от хорды AB . Четырехугольник AC₁ BC вписан в окружность, поэтому AC₁B = 180ACB = 180- (90 - ) = 90 + .

Ответ: 1) 45, то С₁ совпадает с точкой А и угол не определён.

2) Если 4590, то AC₁B = 90 - .

3) Если 045, то AC₁B = 90 + .

Домашняя работа. №2. Дан прямоугольный треугольник NME с N=90 и E=. Точка O – середина гипотенузы. Точка M₁ симметрична точке M относительно прямой NO. Найдите NM₁E.

Ответ: аналогично №1: .

Самостоятельная работа. №3. Дан прямоугольный треугольник FKT с прямым углом при вершине K и углом при вершине T. Точка A – середина гипотенузы. Точка T₁ симметрична точке T относительно прямой KA. Найдите угол KT₁F .