Математика 6 класс Решение задач с помощью уравнений

Урок математики в 6 классе

Тема: Решение задач с помощью уравнений

Образовательная цель: формировать умение решать уравнения; продолжать работу над формированием стойких вычислительных навыков; способствовать формированию умений составлять уравнения к задаче.

Развивающая цель: развивать логическое мышление учеников; способствовать пониманию фактического материала.

Воспитательная цель: повышать математическую эрудицию; заинтересовать математикой; расширять кругозор учеников, ознакамливая их с историей математики.

Ход урока

I. Организационный момент (1-2 мин).

II. Мотивация обучения (1 мин)

Учитель. В алгебре задачи решают с помощью уравнений, изучают уравнения, зависимости между величинами ( некоторые из них называются функциями). Для составления выражений и уравнений используют буквы, выражения с буквами, уравнения превращают разными способами ( некоторые из таких превращений называются тождественными). Но за буквами чаще всего прячутся числа.

Иногда говорят так: алгебра держится на четырёх китах – уравнение, число, тождество, функция.

Тождества и функции мы начнём учить на уроках алгебры в 7 классе.

А сейчас проверим, что мы знаем об уравнениях.

III. Актуализация опорных знаний (5 мин).

Тест

Вариант 1. «Незаконченное предложение»

1. Если одно выражение заменяют другим, которое имеет точно такие же числовые значения, то такую замену называют… (превращением выражения).

2. Если перед скобками стоит знак “-“, то для их раскрытия нужно… (опустить скобки и знак перед ними, а знаки слагаемых, которые были в скобках, заменить на противоположные).

3. Слагаемые, которые отличаются только числовыми множителями называют… (подобными).

4. Решить уравнение – это найти все его… ( корни или доказать, что их нет).

5. Чтобы умножить сумму на число, нужно кадое слагаемое… ( умножить на это число и полученные произведения прибавить).

6. Если обе части уравнения умножить на одно и тоже самое число, отличное от нуля, то получим… ( уравнение, которое имеет точно такие корни, что и заданное).

Вариант 2. «Верю – не верю»

1. Верите ли вы, что числовой множитель обычно записывают первым и называют его коэффициент? (Да)

2. Верите ли вы, что для раскрытия скобок, перед которыми стоит «+», нужно опустить их и знак перед ними, а знаки слагаемых, которые были в скобках заменить на противоположные? (Нет)

3. Верите ли вы, что любое слагаемое можно перенести из одной части уравнения в другую, ничего не меняя? (Нет)

4. Верите ли вы, что уравнением называют неравенство, которое имеет неизвестные числа, обозначенные буквами? (Нет)

5. Верите ли вы, что из распределительного закона умножения выплывает равенство m(a+b) = ma +mb? (Да)

6. Верите ли вы, что корнем уравнения называют то значение неизвестного, при котором уравнение превращают в правильное равенство? (Да).
   
   IV. Формирование умений и навыков
   Решение текстовых задач (20-25мин)
   
   

Задача 1. Кто и когда сложил и решил первое уравнение?

… Первоначальная мама по имени… а впрочем, унеё, наверное, и имени не было, сорвала с дерева 18 яблок, чтобы дать поровну каждому из своих шестерых детей. Вероятно, она не умела считать не только до 18, но и до 6, но всё-таки, без сомнения, не умела делить одно число на другое. Решила же она этот вопрос, наверное, так: сначала дала каждому ребёнку по одному яблоку, потом ещё по одному, потом ещё по одному – и так, пока не увидела, что яблок больше нет, и никого из детей она не обидела. Если записать это историю современным языком, то получим такое уравнение: 6х = 18.

Решение задачи 1 (устно). Пусть количество яблок, которые достались каждому ребёнку, равняется х. Детей было шестеро, значит, 6х – общее количество яблок. По условию это количество яблок равняется 18, отсюда мы имеем уравнение: 6х = 18, отсюда х=3.

Учитель. Тоесть мама решила задачу на составление уравнения и при этом обощлась без букв, цифр и ещё любых других знаков. Но решила! Значит, ответить на вопрос о том, кто, гд и когда решил первое уравнении, невозможно. Такие задачи люди решали, руководствуясь здравым смыслом того времени, как стали людьми. А задачи, которые мы будем решать на уроках с помощью уравнений, были известны ещё в Древнем Вавилоне и Древнем Египте, Дрвней Индии и Древней Греции.

Решим несколько древних задач!

Задача 2. Древняя египетская задача

Количество и его четверть вместе равны 15. Найдите количество.

Решение задачи 2 (устно). Пусть, х – количество, тогда его четверть – 0,25х. Значит, (х+0,25х) – общее количество. По условию это количество равно 15, отсюда получаем уравнение: х+0,25х = 15, отсюда х=12.

Задача 3. Древняя русская задача

Кто-то спросил у учителя: «Сколько у тебя учеников, потому что я хочу отдать сына к тебе на обучение». Учитель ответил: «Если ко мне прийдёт учеников ещё столько же, сколько у меня есть, и половина этого количества, и четверть, и твой сын, тогда будет у меня 100 учеников». Сколько было у учителя учеников?

Задача 4. Древняя русская задача

Летела стая гусей, а навстречу им ещё один. Гусь говорит: «Здравствуйте, сто гусей». А ему отвечают: «Нас не сто гусей, а меньше. Если бы нас было столько, да ещё столько, да ещё половина этого количества,да ещё четверть нашего количества, и ты, гусь, тогда нас было бы сто гусей». Сколько гусей было в стае?

Учитель. Сегодня вы, прочитав такое задание, можете сложить уравнение х+х+х+х +1 = 100 и, если хорошо умеете выполныть действия с дробями, найдёте из него, что х=36.

Но в Древнем Египте о том, что неизвестные числа можно обозначать буквами, а потом работать с ними как с известными величинами, и не подозревали. При выполнении действий над дробями тоже возникали трудности. Однако египтяне придумали метод решения таких задач, который назвали «методом кучи» (по египетски –«аха»).

Прочитав задачу про гусей, египетский писарь Ахмес сказал бы: «Начинать нужно с четырёх». Это обозначало: «Думай, что в стае было четыре гуся». Тогда простые подсчёты показывают, что столько, да ещё столько, да ещё половина количества, да ещё четверть столько дают 4=4+2+1, то есть 11 гусей, но нужно не 11, а 99 (100-1) гусей. Поскольку: 99:11=9, то начальное число 4 нужно умножить на 9. Тогда получим правильный ответ 36.

Поскольку решение задачи начинается с неправильного предположения, что число гусей равно 4, то такой способ называют правилом ошибочного положения.

Решение задач 3 и 4. Пусть у учителя х учеников, тогда количество учеников, которое называл учитель, равно:

( х+х+0,5х+0,25х+1).

По условию это количество равно 100, отсюда получаем уравнение:

х+х+0,5х+0.25х+1=100, х=36.

Ответ: 36 учеников.

Учитель. Но по настоящему наука про равнения сформировалась благодаря арабским учёным. Они, наверное, знали, как решали задачи в Вавилоне и Индии, улучшили эти спсобы решения и сведли их в систему.

Заметим, что во всех задачах, которые мы рассматривали, решение выполнялось по одному алгоритму.

Сначала неизвестое обозначаютькакой-нибудь буквой и условие задачи записывают в виде уравнения. Интересно, кто и когда это выполнил впервые?

Потом во время решения уравнения для его упрощения переносят члены одной части уравнения в другую. Кто и когда придумал этот интересный прийом?

Дальше в рассмотренных случаях в результате превращений уравнение записывают в виде ax=b, после чего остаётсяразделить правую часть на коэффициент при неизвестном. Тут, наверное, вопросов нет – это тот самый случай, когда a детей съели b яблок; его решила ещё первоначальная мать. Осталось ответить на два вопроса.

А сейчас мы предоставим слово ученикам, которые подготовили интересную информацию по этой теме.

V. Сообщения учеников (7-10мин)

Ученик 1. Диофант Александрийский

Ученик 2. Мухаммед ибн Мусса аль-Хорезми.

Таким образом, неазвание «ал-джабра» носила операция перенесения отрицательных членов из одной части уравнения в другую, но уже с положительным знаком. А слово «ал-мукабала» означало сведение приведение подобных членов.

Эти два действия – перенесение членов уравнения в другую часть и приведение подобных членов – и есть основа решения уравнений. От названия книги аль-Хорезми, науку про решение уравнений стали называть алгеброй.

От прозвища аль-Хорезми происходит ещё один математический термин – алгоритм для обозначения любого вычислительного процсса, который исполняется в точно определённом порядке (например, алгоритм Евклида для нахождения наибольшего общего делителя числа).

Учитель. Всё это несложные задачи, поэтому рассмотрим ещё одну – современную и немного сложнее.

Задача 5. Число десятков двузначного числа составляет две трети числа единиц, а число, написанное теми же числами, но в обратном порядке, больше за первоначальное на 18. Найти это число.

Решим задачу двумя способами – сначала с помощью уравнения, а потом – без уравнения.

Решение. Пусть х- число единиц, тогда - х – число десятков.

Начальное число равно (, а число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке – (10х+х). Их разница составляет

По условию эта разница равна 18, отсюда получаем уравнение:

; ;

3х=18; х=6.

Значит, искомое число имеет 6 единиц, а десятков - 6= 4.

Ответ: 46.

VI. Итог урока (2мин)

Ученики проверяют правильность ответов теста, заполняют листы контроля.

VII. Домашнее задание

1. Решить задачу про Диофанта

2. Самостоятельно составить и записать условие задачи, которая решается при помощи уравнения.