Рассмотрим удивительную поверхность, свойства которой приводили в восхищение многих людей, прямо или косвенно связанных с математикой. Так, изучение свойств именно этой поверхности во многом положило начало развитию новой ветви геометрии- топологии.
Именно поэтому в Вашингтоне у входа в музей истории и техники установлен вращающийся монумент этой поверхности- стальной ленты, закрученной на полвитка. Лист (или лента ) Мебиуса определяется как поверхность, получающаяся при склеивании двух противоположных сторон АВ и СД прямоугольника АВСД так. Чтобы точки Аи В соединились с точками Д и С.
Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?
Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.
Быстро и объективно проверять знания учащихся.
Сделать изучение нового материала максимально понятным.
Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.
Рассмотрим удивительную поверхность, свойства которой приводили в восхищение многих людей, прямо или косвенно связанных с математикой. Так, изучение свойств именно этой поверхности во многом положило начало развитию новой ветви геометрии- топологии.
Именно поэтому в Вашингтоне у входа в музей истории и техники установлен вращающийся монумент этой поверхности- стальной ленты, закрученной на полвитка. Лист (или лента ) Мебиуса определяется как поверхность , получающаяся при склеивании двух противоположных сторон АВ и СД прямоугольника АВСД так. Чтобы точки Аи В соединились с точками Д и С.
Учитель показывает как склеить лист Мебиуса.
Лист Мебиуса – это односторонняя поверхность, её впервые независимо друг от друга в 1858- 1865 гг. рассмотрели немецкие математики А.Ф. Мебиус и И.Б. Листинг.
-лист Мебиуса- поставить точку на одной стороне и вести вправо и придешь в ту же точку на другой стороне листа.
Вывод: Лента из которой сделан лист Мебиуса, имеет две стороны. А у него самого , оказывается, только одна сторона.
Это подтверждает:
Окраска листа.
модель- прозрачный цилиндр, муха и паук на внешней и внутренней стороне. А если посадить на лист Мебиуса?.
Опыт с солдатиком – перевертышем( круглолистное путешествие проделывают сами ученики).
Историческая справка.
Свое название лист Мебиуса получил по имени немецкого геометра и астронома Августа Фердинанда Мебиуса(1790-1868), который впервые получил эту поверхность и изучил ее свойства. Следует отметить, что в это же время, а именно с 1858-1865 годы, эта поверхность была рассмотрена еще одним немецким математиком Иоганном Листингом . однако историки закрепили за ней имя Мебиуса.
Существует легенда, по которой внимание Мебиуса, привлекла перекрученная лента, которую неправильно соединила его служанка, что и подтолкнуло его к изучению свойств полученной поверхности.
Доклад : Мебиус А.Ф.
МЕБИУСАвгустФердинанд (Mobius August Ferinand)
Мебиус Август Фердинанд (17.11.1790-26.9.1868)-немецкий геометр и астроном. Родился в Шульпфорте. Некоторое время под руководством К. Гаусса изучал астрономию. С 1816г. начал вести самостоятельные астрономические наблюдения в Плейсенбургской обсерватории, в 1818г. стал ее директором, позже - профессором Лейпцигского университета. Труды по проективной геометрии. В частности, впервые ввел систему координат и аналитические методы исследования, установил существование односторонних поверхностей (листов Мебиуса), многогранников, для которых неприменим "закон ребер" и которые не имеют объема. Мебиус - один из основоположников теории геометрических преобразований, а также топологии, теории векторов и многомерной геометрии. Получил важные результаты в теории чисел (функция Мебиуса).
Учитель: Несмотря на увлечение и успех в математике, надо сказать, что свою научную деятельность Мебиус начал с занятий астрономией, защитив диссертацию в Лейпцигском университете и получил в этом же университете кафедру астрономии. Он также был директором Лейпцигской астрономической обсерватории.
Б)одно разрезание.
Постарайтесь предположить, что получиться, если ленту Мебиуса разрезать по средней линии, начиная с ее середины.
Для начала можно проделать тоже самое с обычным цилиндрическим пояском. Проверьте свои предположения непосредственно разрезанием.
Ответ и объяснение:
После всех операций лента Мебиуса не распадается на две части , а превращается в замкнутую перекрученную ленту на 360 градусов, причем в два раза длиннее, но и в два раза еже исходной.
В) Два разрезания- два кольца: одно большое и одно маленькое.
Вывод: вот такие неожиданные вещи происходят с простой бумажной полоской , если из нее склеить лист Мебиуса. У этого листа много удивительных свойств.
Доклад: Что такое топология?.
Ответить на вопрос о том, что такое топология, не просто. Для того, чтобы в полной мере оценить задачи, которые решает эта научная дисциплина, необходимо серьезное изучение многих весьма сложных вопросов.
Лист Мебиуса- один из объектов топологии. Топология- «геометрия положения». Мы уже говорили об удивительных свойствах листа Мебиуса: он имеет один край, одну сторону. Данные свойства не связаны с его положением в пространстве, с понятием расстояния, угла и, тем не менее, они имеют геометрический характер. Изучением этих свойств занимается топология. Свойства такого типа, несмотря на кажущуюся непривычность , связаны с наиболее абстрактными математическими дисциплинами- алгеброй и теорией функций. В топологии изучаются свойства фигур и тел, которые не меняются при непрерывных деформациях (как если бы они были сделаны из резины). С точки зрения топологии баранка и кружка это одно и то же . сжимая и растягивая кусочек резины, можно перейти от одного из этих тел ко второму. А вот баранка и шар - разные объекты, чтобы сделать отверстие , надо разорвать резину.
Понятия и теоремы топологии полезны во всех областях математики, в технике, экономике, психологии.
Учитель: топология - одна из наук, в которой не решены многие проблемы. Они ждут вас. Может быть, кто-то из вас внесет свой вклад в ее развитие.
Некоторые примыкающие к топологии математические факты могут быть использованы при решении интересных «занимательных задач». Об этом рассказывает книга А.А. Саркисяна и Ю.М. Колягина « Познакомься с топологией».
3.Эксперименты для всех .
А)три разрезания- сцеплены два больших кольца.
Б)Четыре разрезания- на одном маленьком два больших кольца.
4. Доклад: Лист Мебиуса в искусстве.
Лист Мебиуса – это наиболее известная односторонняя поверхность. О нем упоминается в художественной литературе.
1. Приведем цитату из романа коста-риканского писателя Хоакина Гутьерреса «Умрем, Федерико?».
«Сегодня учительница показала нам ленту Мебиуса. Вот это здорово! Возьмешь бумажную полоску – лучше от газеты, чтобы была длиннее, и увидишь, что полоска имеет две стороны; подтверждение этому – если муравей захочет поползать по одной стороне, он может сколько угодно делать это, но чтобы попасть на другую сторону, он должен обязательно перелезть через кромку. Поэтому и говорят, что полоска имеет две стороны. А вот лента Мебиуса получается так. Надо перевернуть один конец (стороны) полосы, словно собираешься ее закручивать, но делаешь всего один поворот и склеиваешь концы. Тогда бумага будет иметь одну сторону, и любой, кто хочет, может проверить если сомневается. Ведя пальцем, будто преследуешь муравья по всей ленте, вдруг убеждаешься в том, что обе стороны сошлись в одну и не надо пересекать кромку».
2. Лист Мебиуса не раз использовали художники и скульпторы. Довольно много разнообразных рисунков с изображением листа Мебиуса оставил известный график М. Эшер (1898 – 1971). Серию вариантов листа Мебиуса создал скульптор Макс Билл (родился в 1908г.). в течение почти 20 лет он неоднократно обращался к листу Мебиуса, стремясь выразить в скульптуре идею вечного движения и развертывающейся в пространстве формы. Скульптура «Узел без конца» находится в национальном музее современного искусства в Париже.
3. Еще более романтическое описания листа Мебиуса мы встречаем в повести Э. Успенского «Красная рука, черная простыня, зеленые пальцы».
«…Но больше всего поразил Рахманина какой-то старинный то ли знак, то ли вензель, то ли орден очень и очень аккуратной работы. Никогда раньше не видел он ничего похожего. Это изделие напоминало или старинный герб иностранного дворянского рода, или герб страховой компании, торгующей научными приборами, потому что основу его составляла лента Мебиуса.
Эта вещь очень понравилась Рахманину.… В знаке совершенно четко проступал какой-то смысл, были заложены определенные пропорции и связи.
Рахманин зашел в маленькую ванную и стал с мылом отмывать загадочный знак старой зубной щеткой. Знак с каждой минутой проявлялся, как хорошая цветная фотография. Он оказался многоэмалевым, тонкой, почти невозможной работы. На нем были написаны какие-то формулы и отлиты что-то означающие фигуры, как на средневековых гербах. Река с мечом, перерубающая цепь, змея с красными глазами, цветные цветы и многое другое. Вещь была красивая, просто музейная».
4. Немецкий математик Феликс Клейн в 1882г. Построил еще одну одностороннюю поверхность, но уже замкнутую, которую в честь него назвали бутылкой Клейна. Неизвестный автор посвятил этому шуточное стихотворение.
Великий Феликс,
Славный Клейн,
Мудрец из Геттингема
Считал, что Мебиуса лист –
Дар свыше несравненный.
Гуляя как - то раз в саду,
Воскликнул Клейн наш пылко:
«Задача проста –
Возьмем два листа
И склеим из них бутылку!»
5.Итог урока.
6.Задание на дом.
-Изготовьте 4 полоски бумаги.
Две из них разделите на две части, а две части, а две – на три части.
Что из них получиться, если перед склейкой :
ленту перекрутить дважды, а затем разрезать.
ленту перекрутить трижды, а затем разрезать.
7.Литература:
М.Гарднер. Математические головоломки и развлечения.
У.Болл, Г.Коксетер Математические эссе и развлечения.
Д.Я.Стройк. Краткие очерки истории математики.
В.А.Гусев и др. Внеклассная работа по математике в 6-8 классах.
Учитель показывает как склеить лист Мебиуса.
