Конспект урока по математике "Умножение чисел, запись которых оканчивается нулями"

Задание 3. Применение периодичности функции к решению задач.

1. Подберите не менее 3 источников, описывающих применение периодичности функции к решению математических задач. Приведите их библиографические описания с краткой аннотацией.

2. На основе анализа источников сформулируйте теоремы, раскрывающие теоретические основы применения периодичности функции к решению задач.

3. Составьте комплект из трех задач, при решении которых нужно применять периодичность функции. Приведите их краткое решение.

Задание 1:

1)Азимов Н.С., Применение свойств функции в решение математических задач. URL: https://cutt.ly/6oge6eT (дата обращения: 02.07.2020)

Аннотация: D статье рассматриваются нестандартные методы решения классов уравнения и неравенств, а именно метод использования свойств функции: монотонность, ограниченность, периодичность , четность, нечетность, ОДЗ.

2) Писаревский М.И., Садекова Е.Х., Балберкина Ю.Н., Методические рекомендации к курсу повышения квалификации по математике: для учителей и выпускников педагогических ВУЗов. - М.: МИФИ, 2016. – 45 с. URL: http://profil.mos.ru/images/docs/8.05.pdf (дата обращения: 02.07.2020)

Аннотация: Рекомендации составлены к курсу повышения квалификации для учителей математики и содержат темы, знание которых позволит школьникам решать задачи повышенного уровня сложности. Представленные задачи встречаются на ЕГЭ и олимпиадах ведущих ВУЗов России среди 9 – 11 классов. Задачи структурированы по принципу «от простого к сложному», разбиты на темы по методам решения.

3) Алимов Ш.А., Колягин Ю.М. др . Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11кл. общеобразоват. учреждений. – М.: Просвещение, 2012 г

Аннотация: в первой части учебника разобраны темы, посвященные повторению материала пройденного в 8-9 классах(показательная и логарифмическая функции, тригонометрические формулы). После чего даны темы, где изучаются подробно тригонометрические функции, их свойства , а также начала математического анализа. Система упражнений представлена на трёх уровнях сложности. Задачи повышенной трудности в конце учебника содержат богатый материал для подготовки в вузы с повышенными требованиями по математике.

4)Хомушку Ч.М., Методика изучения тригонометрических функций в курсе «Алгебра и начала анализа» в 10 классе : выпускная квалификационная работа. URL: https://cutt.ly/jogAKiY (дата обращения: 02.07.2020)

Аннотация: Работа состоит нескольких частей. Первая глава посвящена теоретическим основам изучения тригонометрических функций и вопросам, связанным с теорией учебной деятельности в обучении математике. Во второй главе разработана методика обучения учащихся тригонометрическим функциям, выделены различные типы по решению задач раздела «Тригонометрические функции» в курсе алгебры и начал анализа. В этой же главе сделан анализ учебников алгебры и начал анализа 10 класса.

5) Шоластер Н. Н. Изучение тригонометрических функций в курсе математики средней школы : дис. ... канд. пед. наук. — Ч. 1 : Основные вопросы методики изучения тригонометрических функций в средней школе. — М., 1952. — [3], 95 с. — Библиогр.: с. 89—95 (105 назв.). URL: https://cutt.ly/SogA3ht (дата обращения: 02.07.2020)

Аннотация: диссертация посвящена анализу существующего положения в изучении тригонометрии. Рассмотрена история развития тригонометрии как науки и как учебного предмета, проведен анализ действующих учебников алгебры средней школы, а также рассмотрены методики изучения данной темы в средней школе.

6) Селивоник С.В., РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПАРАМЕТРАМИ. Электронный учебно-методический комплекс для студентов физико-математического факультета. URL: https://cutt.ly/4ok1j7a

(дата обращения: 02.07.2020).

Задание 2:

Теорема 1: Если периодическая функция на X  ( ), то уравнение , где T неизвестная величина, x параметр, имеет хотя бы одно решение .

Теорема 2: Если функция F(х) — периодическая, то решение уравнения F(х) = 0 или неравенства F(х)  0 (F(х) 0) достаточно найти на промежутке, равном по длине периоду функции, после чего запи­сывается общее решение. Если периодическая функция еще и чет­ная или нечетная, то решение достаточно найти на промежутке, равном по длине половине периода.

Теорема 3: Если положительное число T – период функции f(x), то число n · T, где n ∈ Z, также является ее периодом.

Теорема 4: Если T 0 – период функции f(x), то периодом функции f(kx + a) является число = T |k| .

Теорема 5:Если периодическая функция f(x) в некоторой точке принимает значение m, то это же значение функции f(x) принимает в бесконечном числе точек + n · T, где n – произвольное целое число.

Задание 3:

1)При каких значениях параметра a число является периодом функции f(x) = ?

Решение: Число является периодом данной функции, если для всех допустимых значениях x выполняется следующее равенство:

Отсюда = , следовательно, a = 0. В самом деле, если a = 0, то функция имеет вид f(x) = ctg 2x, причем, если 2 ∈ D(f), то и 2( + = 2( + ∈ D(f).

Ответ: при a = 0.

2) Решите неравенство:

.

Решение:

Рассмотрим функцию f(х) =  .

Её период

Следовательно, решение неравенства достаточно найти на промежутке равном по длине периоду функции. За такой промежуток возьмем  .

Так как функция чётная, решение найдём на промежутке .

Функция на данном промежутке имеет два корня: 0;   - которые разбивают промежуток на два интервала знакопостоянства: (0;    ),(  ;   ).

Неравенство выполняется для всех х  (  ;   ). Но тогда оно будет выполняться и для всех (-  ; -  ).

Учитывая периодичность: 

-  +    x -  + 

+    x   +  .

Ответ: -  +    x -  +  ;   +    x   +  .

3) Функция f(x) периодическая с периодом T = 5 [9]. Найдите f(11)- 3(f(-7)+f(3), если f(1)=4; f(-2)=1.

Решение:

Используя периодичность функции, имеем:

f(11)=f(1+2∙5)=f(1)=4 f(-7)=f(-2-5)=f(-2)=1 f(3)=f(-2+5)=f(-2)=1.

Отсюда, подставляя численные значения, окончательно получаем:

f(11)-3f(-7)+f(3)=4-3∙1+1=2 .

Ответ: f(11)-3f(-7)+f(3)=4-3∙1+1=2.