Конспект урока по математике "Умножение чисел, запись которых оканчивается нулями"

Задание 4. Применение четности и нечетности функции для решения задач

1. Подберите не менее 3 источников, описывающих применение чётности / нечетности функции к решению математических задач. Приведите их библиографические описания с краткой аннотацией.

1. Е.Е. Гетманова. Математика. Функции, уравнения, неравенства: задачи повышенной сложности/ авт. сост. Е.Е. Гетманова – Волгоград: Учитель, 2010.-198 с.

Данное пособие по математике описывает примеры построения графиков, решения уравнений, неравенств, систем уравнений ( в том числе и с параметрами) с помощью математического пакета MathCAD. Учебник состоит из 4-х частей. Первая часть посвящена описанию основных свойств функций: четности/нечетности, периодичности, условиям возрастания и убывания функции.

2. Потапов М.К. Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения. М.: Дрофа, 2002. 219 c.

Справочник посвящен задачам, которые для школьников считаются задачами повышенной трудности, требующим нестандартных методов решений. Приводятся методы решений уравнений и неравенств, основанные на геометрических соображениях, свойствах функций (монотонности, ограниченности, четности), применении производной. Книга ставит своей целью познакомить школьников с различными, основанными на материале программы общеобразовательной средней школы, методами решения, казалось бы трудных задач, проиллюстрировать широкие возможности использования хорошо усвоенных школьных знаний и привить читателю навыки употреблять нестандартные методы рассуждений при решении задач. Для школьников, абитуриентов, руководителей математических кружков, учителей и всех любителей решать задачи.

3.Манвелов,С. Г. О четности и нечетности функций [Текст] / С. Г. Манвелов // Математика в школе. - 2007. - N 9. - С. 37-42 . - ISSN 0130-9358

На нескольких конкретных примерах рассматриваются проблемы, которые возникают при изучении свойств четности-нечетности функций. В учебнике даны определения и свойства четных и нечетных функций, сформулированы алгоритмы исследования функций на четность, даны примеры использования алгоритма для решения конкретных задач. Исследование функции и построение ее графика.

2. На основе анализа источников сформулируйте теоремы, раскрывающие теоретические основы применения четности / нечетности функции к решению задач.

Функция f(x) называется четной, если при всех x из ее области определения верно: f(−x)=f(x). График четной функции симметричен относительно оси y:

Пример: функция является четной, т.к.

▸ Функция f(x) называется нечетной, если при всех x из ее области определения верно: f(−x) =−f(x).

График нечетной функции симметричен относительно начала координат:

Пример: функция является нечетной, т.к. .

▸ Функции, не являющиеся ни четными, ни нечетными, называются функциями общего вида. Такую функцию можно всегда единственным образом представить в виде суммы четной и нечетной функции. Например, функция является суммой четной функции и нечетной

▸ Некоторые свойства:

1) Произведение и частное двух функций одинаковой четности — четная функция.

2) Произведение и частное двух функций разной четности — нечетная функция.

3) Сумма и разность четных функций — четная функция.

4) Сумма и разность нечетных функций — нечетная функция.

5) Если f(x) — четная функция, то уравнение f(x)=c (c∈R) имеет единственный корень тогда и только когда, когда x=0. 6

) Если f(x) — четная или нечетная функция, и уравнение f(x)=0 имеет корень x=b, то это уравнение обязательно будет иметь второй корень x=−b.

▸ Функция f(x) называется периодической на X, если для некоторого числа T≠0 выполнено f(x)=f(x+T), где x,x+T∈X. Наименьшее T, для которого выполнено данное равенство, называется главным (основным) периодом функции. У периодической функции любое число вида nT, где n∈Z также будет являться периодом.

Пример: любая тригонометрическая функция является периодической; у функций и главный период равен 2π, у функций f(x)=tgx и f(x)=ctgx главный период равен π.

Для того, чтобы построить график периодической функции, можно построить ее график на любом отрезке длиной T (главный период); тогда график всей функции достраивается сдвигом построенной части на целое число периодов вправо и влево:

▸ Область определения D(f) функции f(x) — это множество, состоящее из всех значений аргумента x, при которых функция имеет смысл (определена).

Пример: у функции область определения: x∈[0;+∞).

▸ Область значений E(f) функции f(x) — это множество, состоящее из всех значений функции f(a), где a∈D(f).

Пример: у функции f(x)=x+1 область значений: f(x)∈[1;+∞).

▸ Уравнение f(x)=a имеет решение тогда и только тогда, когда a принадлежит области значений функции f(x), т.е. a∈E(f).

▸ Если область значений функции f(x) не превышает некоторого числа A, т.е. f(x)≤A при всех x∈D(f), а функция g(x)≥A при всех x∈D(g), то уравнение:

=

3. Составьте комплект из трех задач, при решении которых нужно применять четность / нечетность функции. Приведите их краткое решение.

Задание 1

При каких значениях параметра а уравнение имеет единственное решение?

Задание 2

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых график функции симметричен относительно начала координат.

Если график функции симметричен относительно начала координат, то такая функция является нечетной, то есть выполнено для любого х из области определения функции. Таким образом, требуется найти те значения параметра, при которых выполнено

Ответ:

Задание 3

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет 4 решения, где f – четная периодическая с периодом функция, определенная на всей числовой прямой, причем , при

Так как f(x) -четная функция, то ее график симметричен относительно оси ординат, следовательно, при

Т аким образом, при , а это отрезок длинной , функция f(x)=