Тема урока: Итоговое повторение. Решение задач на проценты.
Цели урока:
1.научить решать задачи на проценты с помощью формул «сложных процентов»; формировать умение решать текстовые задачи на проценты из контрольно- измерительных материалов ЕГЭ.
2.Развивать логическое мышление обучающихся, умение самостоятельно работать, навыки взаимоконтроля.
3.выработать привычки к постоянной занятости, воспитывать отзывчивость, трудолюбие, аккуратность.
Тип урока: урок комплексного применения новых и прежних знаний, умений и навыков.
Оборудование: индивидуальные карточки с условиями задач, таблица «Процент числа», слайды с формулами.
Ход урока.
I этап. Организационный момент (2 минуты).
Цель: Ознакомить обучающихся с темой и задачей урока, актуальностью изучаемого материала.
На этом этапе формируется у обучающихся мотив, желание работать на уроке.
II этап. Устная работа (разминка) (до 8 минут).
Перед устной работой повторяется определение «Проценты» с целью восстановления прежних знаний и навыков по теме «Проценты». Для эффективности повторения используется таблица «Процент числа».
Задания для устной работы ( задания получает каждый ученик в карточках, можно использовать кодоскоп)
1.Представьте данные десятичные дроби в процентах:
0,5; 0,24; 0,867; 0,032; 1,3; 15; 154.
2.Представьте проценты десятичными дробями:
2%; 12,5%; 0,06%; 1000%; 0,1%.
3.Заполните таблицу:
100%
1%
50%
25%
10%
20%
300%
100
800
30
4.Найдите число по его проценту, если:
А)1% составляет 80 рублей;
Б) 2% составляет 14 кг;
В) 1% составляет 80 рублей;
Г) 5% составляет 600 рублей;
Д) 200% составляет 160 рублей;
Е) 0,1% составляет 5 кг.
5.Решите задачи:
1)Турист должен был пройти 64 км. В первый день он прошел 25% всего пути, во второй день 50% оставшегося пути. Сколько километров ему еще осталось пройти?
2)Товар стоимостью 200 рублей уценен на 10%. Определите новую стоимость товара.
3)Товар стоимостью 15 рублей уценен до 12 рублей. Определите процент уценки.
IIIэтап. Изучение новой темы, формирование новых знаний и умений
(10 минут).
Цель: ознакомление с формулами «сложных процентов» и формирование умений применения этих формул при решении задач.
При объяснении новой темы применяются слайды
Теоретическая часть. 1.Пусть некоторая величина А увеличивается в n раз и каждый раз на р%. Тогда ее значение А1 после первого увеличения находится по формуле:
А1= А + · А = А( 1+ ).
Значение А2 после второго увеличения находится по формуле
А2 = А1 + · А1 = А1( 1+ ) = А( 1+ ) ·( 1+ ) = = А( 1+ )2, очевидно
А3 = А( 1+ )3 и так далее. Окончательное значение Аn находится по формуле Аn = А( 1+ )n (1). (Слайд 1)
Пример 1. Сберкасса начисляет ежегодно 3% от суммы вклада. Через сколько лет сумма удвоится? (Слайд 2)
Решение: х- искомое число лет;
А- первоначальная сумма. Тогда по формуле (1) имеем: 2А = А( 1+ )х.
Делим обе части равенства на А, получаем 2= 1,03х, х = ?оg1,032, х ≈ 23.
Ответ: через 23 года.
2.Пусть некоторая величина А увеличивается n раз последовательно на р1%, р2%, … , рn%. Тогда окончательное значение
Аn = А( 1+ ) ( 1+ ) …( 1+ ) (2) (Слайд 3)
Формулы (1) и (2) называют формулами сложных процентов.
Пример 2. Цену на некоторый товар увеличили сначала на 30%, потом опять на 20%, а спустя некоторое время уменьшили на 50%. Выразите в процентах окончательное изменение цены по сравнению с первоначальной. (Слайд 4)
Решение: х- искомое число процентов, А- начальная цена, А3 – конечная цена. Из определения процента имеем, х = 100% - 100%, х = (1- )100%.
По формуле (2) находим А3 = А (1+ )(1+ )(1- ),
А3 = А· 1,3·1,2·0,5 = 0,78А, х = (1- )100% = (1- 0,78) · 100% =
0,22 · 100% =22%
Ответ: цена упала на 22%.
IVэтап. Закрепление новой темы. Формирование умений и навыков.
( 10 минут)
Цель: Выработка необходимых практических навыков по теме. Подготовка учащихся к сдаче ЕГЭ.
Класс делится на 4 группы. Каждой группе предлагается решить одну задачу из контрольно- измерительных материалов ЕГЭ. Задания взяты из книги:
С.А.Никушкина, О.И.Судавная. Мтематика ЕГЭ 2009 Вступительные испытания- СПб.:Тригон,2009.
Задача для 1 группы. (Вариант2 В9) Цена товара в течение года дважды повышалась на одно и то же процентов. На сколько процентов происходило повышение цен каждый раз, если первоначальная цена была 1200 рублей, а окончательная 1452 рубля?
Задача для 2 группы. (Вариант 5 В9) Вкладчик положил в банк некоторую сумму денег под 9% годовых. Через два года после очередного начисления процентов, его вклад составил 23762 рубля. Каков был первоначальный размер вклада?
Задача для 3 группы. (Вариант 6 В9)Вкладчик вложил в банк 25000 рублей под некоторый процент годовых. Через год, после начисления процентов, он снял 7500 рублей, а на оставшуюся сумму продлил срок вклада еще на год на тех же условиях. В конце второго года, после начисления процентов, на его счету оказалось 22000 рублей. Под какой процент годовых вкладчик вложил деньги первоначально?
Задача для 4 группы. ( Вариант 8 В9) Первоначально цена на аналогичный товар в двух магазинах была одинакова. В первом магазине цену сначала снизили на 20%, потом еще на 20%, а во втором магазине ее сразу снизили на 40%. Одинаковы ли стали цены в магазинах.
Один ученик из каждой группы объясняет подробное решение задачи у доски.
Ответы обучащихся:
1 группа. Решение: Пусть = х, тогда по формуле (1) 1452 = 1200 (1+х)2,
(1+х)2 = 1452: 1200 =121: 100, 1+х = 11:10, х = 0,1, р = 10%.
Ответ: 10%
2 группа. Решение: По формуле (1) имеем 23762 = А(1+ )2, А = 23762:1,092, А = 20000.
Ответ: 20000 рублей.
3 группа. Решение: = х, 0<x<1. По формуле (1) имеем:
22000 = (25000 (1+х) – 7500)· (1+х), введем новую переменную: 1+х=а, тогда
22000 = (25000а -7500)а,
25000а2 – 7500а- 22000 = 0, делим обе части уравнения на 500, получаем:
50а2- 15а-44=0,
Д= 9025, а1=1,1, а2= -0,8, х = 0,1, р = 10%.
Ответ: 10%
4 группа. Решение: По формуле (2) имеем А1.1 = А (1- )(1- ) = 0,64А,
А1.2 = А( - ) = 0,6А. Так как 0,64А > 0,6А, то в первом магазине цена больше, чем во втором.
Ответ: в 1-ом.
V этап . Дифференцированная самостоятельная работа (10 минут)
Цель: формирование умений работать самостоятельно.
Задания для слабых учащихся.
1.В течение года завод дважды увеличивал выпуск продукции на одно и то же число процентов. Найти это число, если известно, что в начале года завод ежемесячно выпускал 600 изделий, а в конце года стал выпускать ежемесячно 726 изделий. (Ответ: 10%)
2.Владелец дискотеки имел стабильный доход. В погоне за увеличением прибыли, он повысил цену на билеты на 25%. Количество посетителей резко уменьшилось, и он стал нести убытки. Тогда он вернулся к первоначальной цене билетов. На сколько процентов владелец дискотеки снизил новую цену билетов, чтобы она стала равна первоначальной? (Ответ: 20%)
Задания для средних учащихся.
1.Предприятие увеличивало объем выпускаемой продукции ежегодно на одно и то же число процентов. Найти это число, если известно, что за два года объем выпускаемой продукции возрос в 2, 25 раза. (Ответ:50 %)
2.Цена на товар была повышена на 44%. После этого в результате двух последовательных одинаковых процентных снижений цена товара оказалась на 19% меньше первоначальной. На сколько процентов каждый раз понижали цену? (Ответ: 25%)
Задания для сильных учащихся.
1.Банк начисляет ежегодно 4% от суммы вклада. Найти наименьшее число лет, за которое вклад вырастает более чем на 15%. (Ответ:4 года)
2.Производительность (в год) завода А составляет 40,56% производительности завода В. Годовой процент прироста продукции на заводе А на 30 % больше, чем годовой процент прироста продукции на заводе В. Каков годовой процент прироста продукции на заводе А, если на четвертый год работы завод А даст то же количество продукции, что и завод В? (Ответ:50%)
VI этап. Подведение итогов самостоятельной работы и урока (3 минуты)
VII этап. Домашнее задание (2 минуты)
1.Решить задачи на проценты по выбору из книги:Никушина С.А., Судавная О.И., ЕГЭ. Математика. Раздаточный материал тренировочных тестов. Спб: Тригон,2009
2.Составить задачу по данной теме.
