«Случайные события и их вероятность»

Учитель: Анищенко Галина Федоровна

Образовательное учреждение: МОБУСОШ №1 г.Новокубанска

Предмет: математика

Краткая аннотация урока:

Класс, профиль: 9 класс, общеобразовательный

Раздел: «Теория вероятностей и элементы статистики»

Тема урока: «Случайные события и их вероятность»

Продолжительность урока: 40 минут

Цели урока:

Образовательная

обобщить знания учащихся, полученные на предыдущих уроках, изучить понятия: противоположные события, несовместные события, формулы вычисления вероятности противоположного события, совершенствовать умения и навыки решения задач.

Воспитательная

• формировать положительную мотивацию к изучению темы, созданием позитивной среды обучения;

• формировать познавательные, информационные, интеллектуальные, информационные, социальные компетентности.

Развивающая

• выработка умения правильно делать обоснованные выводы;

• способствовать формированию умения применять приёмы: сравнения, выделения главного, переноса знаний в новую ситуацию, развитие внимания и памяти.

Задачи урока:

повторить изученный теоретический материал, решение домашней задачи, изучить новый материал, выполнить практическую работу по решению задач с последующей самопроверкой, анализом ошибок, подвести итог урока.

Формируемые умения:

овладение основными теоретическими понятиями «события достоверные, случайные, противоположные события, несовместные события, классическая вероятностная схема», знание классического определения вероятности, формулы вычисления вероятности событий, формировать навыки решения задач на характеристику событий и классическое нахождение вероятности события.

Цели использования ИКТ:

эффективное изучение раздела «Теория вероятностей и элементы статистики»,

формирование положительной мотивации к учению через: возможность наглядно отразить информацию, содержащую теоретические основы темы при отсутствии раздела в содержании учебника, обеспечить изучение материала иллюстрацией схем, таблиц к конспекту урока, организовать самопроверку, взаимопроверку и анализ допущенных ошибок, формирование компетенций.

Этапы урока, на которых использовались ИКТ:

Актуализация знаний учащихся, изучение нового материала, выполнение тестового задания, с целью закрепления изученного материала, практическая работа с самопроверкой и анализом допущенных ошибок, домашняя работа.

Формы организации работы детей: фронтальная, индивидуальная, статическая парная работа, групповая работа, поисковая.

Формы организации работы учителя:

планирование и конструирование урока, создание презентации в формате Microsoft Power Point, использование мультимедийного оборудования (ПК, проектор, интерактивная доска), объяснение, организация и проведение практической работы, мобилизация учащихся на позитивную рабочую обстановку, подготовка раздаточного материала, самоанализ результативности урока.

Технологические особенности урока:

Технические условия: урок проводится в оборудованном и оснащённом кабинете математики № 8.

Используемое оборудование: мультимедийное оборудование (ПК, проектор, интерактивная доска). Мел, классная доска, раздаточный материал (по количеству учеников), карточки – задания для выполнения домашней работы.

Разработанные или используемые образовательные ресурсы:

разработаны семь уроков - презентаций для изучения раздела «Теория вероятностей и элементы статистики» в формате Microsoft Power Point, на конкурс представлен урок – презентация по теме «Случайные события и их вероятность».

Конспект урока

с использованием информационно – коммуникационных технологий (ИКТ)

Предмет: математика, комбинированный урок.

Тема: «Случайные события и их вероятности».

Продолжительность: 40 минут

Класс: 9 класс

Технологии:

ИКТ: технические компьютерные средства - мультимедийное оборудование, персональный компьютер, интерактивная доска, принтер; инструментальные программные средства – презентация в формате Microsoft Power Point, MS Office, конструктор текстов, редактор математических формул, конструктор геометрических фигур.

Аннотация:

место урока в учебной программе – раздел «Теория вероятностей и элементы статистики», тема «Случайные события и их вероятность», седьмой урок в разделе.

Основные компоненты урока:

организационный – организация класса в течение урока, готовность учащихся к уроку, порядок и дисциплина;

целевой – постановка целей учения перед учащимися, как на весь урок, так и на отдельные его этапы;

мотивационный – определение значимости изучаемого материала, как в данной теме, так и во всём курсе;

коммуникативный – уровень общения с классом;

содержательный – подбор материала для изучения, закрепления, повторения, самостоятельной работы;

технологический – выбор форм, методов и приёмов обучения, оптимального для данного типа урока, данной темы, класса;

контрольно-оценочный – использование оценки деятельности ученика для стимулирования его активности и развития познавательного интереса;

аналитический – подведение итогов урока, анализ результатов деятельности учащихся на уроке, анализ результатов собственной деятельности по организации урока;

Методы обучения:

- объяснительно – иллюстративный: использовала рассказ – повествование для изложения изучаемого материала, наглядные средства обучения - таблицы, схемы, практический показ способа решения задачи;

- частично – поисковый при решении задач для организации учебной деятельности учитель – ученик;

- методы стимулирования и мотивации учебно познавательной деятельности;

- активные методы обучения - анализ конкретных ситуаций, решение проблемных задач.

Практическая реализация: приложение 1(отзыв).

Конспект урока

1.Организационный момент.

Цель:

сообщить тему урока, сформулировать образовательную цель.

Слайд №2.

Слайд 2

Тема «Случайные события и их вероятность»

Цель урока:

обобщить знания учащихся, полученные при изучении темы, изучить понятия: противоположные события, несовместные события, формулы вычисления вероятности противоположного события, совершенствовать умения и навыки решения задач.

2. Актуализация знаний учащихся.

Проверка домашней работы.

Цель:

активизировать умственную деятельность учеников, развивать критическое мышление.

Результативность:

формировать познавательную компетентность.

Проверяется решение домашней задачи: самопроверка и анализ, допущенный ошибок.

Проводится письменный опрос по теоретическому материалу. Статическая парная работа позволяет осуществить взаимопроверку.

Для диагностики практических умений и навыков предлагается работа по вариантам, с последующей самопроверкой и анализом допущенных ошибок в задачах.

Доступность, наглядность обеспечивается с помощью слайдов № 3,4, 5,6,7

Слайд 3

Актуализация знаний учащихся.

Проверка решения домашней задачи с анализом ошибок.

(самопроверка, фронтальная работа с учащимися)

Задача: Случайным образом выбрали двузначное число.

Найти вероятность того, что оно: оканчивается 0, состоит из одинаковых цифр.

Решение:

При первом условии:

1. общее число двузначных чисел равно

N = 9 * 10 = 90

1. выбор каждого является равновозможным

2. А – выбранное число оканчивается нулём

3. Находим количество исходов опыта, в котором наступает событие А, N (А) = 9,

числа 10, 20, 30……..90.

5) Р(А) = , Р (А) =

Слайд 4

При втором условии:

1. общее число двузначных чисел равно 90.

2. выбор каждого является равновозможным

3. В – выбранное число состоит из одинаковых чисел

4. находим количество исходов опыта, в котором наступает событие В,

N (В) = 9, числа 11, 22, 33……….99.

5) Р(В) = = , Р (В) = =

Ответ: 0,1;

Слайд 5

Актуализация знаний учащихся.

• Проверка домашнего задания: письменный теоретический опрос, задача.

• Письменный теоретический опрос:

1. Какие события называются достоверными, случайными, невозможными?

2. Классическое определение вероятности.

3. Чему равна вероятность достоверного события, невозможного события?

4. Записать формулу нахождения вероятности события А, т.е.

Р(А) =

После выполнения письменного теоретического опроса, проводится взаимопроверка

через статическую парную работу. Анализируются допущенные ошибки.

Оценки выставляются учащимся, выполнившим задание без ошибок.

Слайд 6

1. Задача:

Случайным образом выбрали двузначное число.

Найдите вероятность того, что оно

1 вариант: больше 27 и меньше 46

2 вариант: больше 35 и меньше 52

Слайд 7

Решение задач самостоятельной работы:

Оценки выставляются учащимся, успешно выполнившим решение задач.

Общее число двузначных чисел равно: n = 9 * 10 = 90

Выбор каждого является равновозможным.

Количество благоприятствующих исходов каждого из этих событий находим по формуле:

P(A) =

Вариант 1.

N (A) = 18 (числа 28, 29……. 45)

Р(А) =

Ответ:

Вариант 2.

N(A) = 16 (числа 36, 37………51)

Р(А) =

Ответ:

3. Изучение нового материала.

Цель:

учить краткой рациональной записи, отрабатывать умения делать выводы и обобщения, учить оперировать знаниями.

Результативность:

формировать информационную компетентность, познавательную, самообразовательную.

Повторить теоретический материал, какие события называются достоверными, случайными, невозможными? Что значит 100% и нулевая вероятность? Дать классическое определение вероятности. Устно решить задачу: Из списка журнала 9 класса (в котором есть девочки и мальчики) случайным образом выбран один ученик:

1. это мальчик;

2. выбранному ученику один год;

3. этому ученику больше трёх лет, ответ обосновать.

Ответ: 1) случайное событие 2) невозможное 3) достоверное

Ввести понятия противоположного события, несовместного события, изучить теорему и формулу для нахождения вероятности противоположного события.

При организации познавательной учебной деятельности используется фронтальная работа с классом, индивидуальное отражение главных теоретических положений записями в тетради.

Доступность, наглядность, обеспечивается с помочью слайдов № 8, 9, 10, 11.

Слайд 8

Определения, теоремы:

1. Событие В называют противоположным событием А и обозначают В =А, если событие В происходит, тогда и только тогда, когда не происходит событие А.

Обозначают символом А.

Теорема: Для нахождения вероятности противоположного события следует из единицы вычесть вероятность самого события:

Р(А) = 1 – Р(А)

1. Событие А и В называются несовместными, если они не могут происходить одновременно.

Слайд 9

Теорема:

Вероятность наступления хотя бы одного из двух несовместных событий равна сумме их вероятностей.

Если А и В несовместны, то Р(А +В) = Р(А) + Р(В)

Слайд 10

Если все исходы опыта – некоторое множество точек на рисунке, то А и В – это некоторое подмножество данного множества.

Несовместные события Совместные события А и А

А

В

Слайд 11

Вероятность суммы любого числа попарно несовместных событий равна сумме вероятности этих событий.

Р( А+В +С +Д ………) = Р(А) + Р(В) + Р(С) + Р(Д)……..

Схема:

А

С

В

Д

4. Закрепление изученного материала

Цель:

закрепить знания по теме «Случайные события и их вероятность», научить применять теоретические знания при решении задач.

Результативность:

Формировать познавательную, интеллектуальную компетентности.

1. Учащимся предлагается выполнить обучающий тест.

Учащиеся получают раздаточный материал с вопросами теста.

Работа выполняется по вариантам.

Двое учащихся работают у интерактивной доски, выполняют задания своего варианта, подчёркивая верный ответ.

Самопроверка, анализ допущенных ошибок.

Доступность, наглядность, эффективность контроля обеспечивается с помощью слайдов № 12, 13, 14.

Слайд 12, 13

Содержание слайда размещено в приложении 2 - раздаточный материал с вопросами теста.

Слайд 14

Самопроверка обучающей тестовой работы:

1. Обучающая практическая работа.

Порядок выполнения работы и форма контроля, образцы решения задач описаны на слайдах № 15,16, 17, 18

Слайд 15

Обучающая практическая работа: решение задач.

Порядок выполнения работы:

• Класс делится на группы, каждая группа получает задачу определённого уровня:

1 уровень (для учащихся менее подготовленных)

2 уровень (для учащихся среднего и повышенного уровня подготовленности)

3 уровень (для учащихся высокого уровня подготовленности)

• По окончанию работы проводится самопроверка:

Учащиеся проверяют решение по заранее подготовленному решению на слайде.

• Оценка результатов.

• Анализ ошибок.

• При выполнении работы учитель консультирует группу учащихся, решающих задачи 1 уровня.

Условие задач в дополнительном материале приложение 3

Слайд 16

Решение задач 2 уровня.

N = C³₃₆ = (исходов)

Событие А – «среди 3 карт нет крестового короля»

N (А) = C³₃₅ =

Р (А) = 1 – Р (А) = 1 - = 1 - =

Ответ:

Слайд 17

Решение задачи 2 уровня:

Из 36 элементов возможно получение: N = C⁵₃₆ исходов.

А – «будет среди 5карт хотя бы одна карта пиковой масти».

А «среди 5 карт ни одной пиковой карты», т.е. все остальные масти, кроме пики (9 карт пиковых).

36 – 9 = 27 карт без пиковой масти.

Значит N (А) = = C⁵₂₇

Найдём вероятность события А:

Р (А) -= = C⁵₂₇ : C⁵₃₆ = = 0,214

Вероятность событий А:

Р (А) = 1 – Р (А) = 1 – 0, 214 = 0,786

Ответ: 0, 786

Слайд 18

Решение задачи 3 уровня:

А – «интересующее нас событие, оно наступает, когда из 5 ручек 3 – красные и 2 – синие. Из 10 красных ручек – 3 ручки можно выбрать C³₁₀ способами, а из 11 синих ручек – 2 ручки C²₁₁ способами. Выбор ручек считаем независимым. Всего 21 ручка. N = C⁵₂₁ способами выбора.

По правилу умножения получаем, что нужный нам состав ручек можно выбрать

N(А) = C³_{10 *} C²₁₁ способами. Посчитаем вероятность:

Р(А) -= = C³_{10 *} C²₁₁ : C⁵₂₁ = * =

Ответ: 0,324

5.Итог урока.

Цель:

Проверить усвоение материала урока

Результативность:

формирование интеллектуальной компетентности.

Фронтальная работа с классом по повторению изученных на уроке теоретических понятий: противоположного события, несовместного события, теоремы и формулы для нахождения вероятности противоположного события.

Устное решение задачи с целью применения этих понятий при решении элементарных задач.

Выставление оценок за успешное выполнение заданий и знание теоретического материала.

Домашняя работа.

Наглядность и доступность заданий обеспечена на сладах № 19, 20, 21

Слайд 19

• События: А и В несовместны.

Р(А) = , Р(В) =

Вероятность суммы событий А и В равна:

1) 2) 3) 4) , обоснуйте ответ.

* В одной игре в баскетбол между командами 9 «а» и 9 «б»:

События:

А – команда 9 «а» проиграла, команда 9»б» проиграла, являются:

1. несовместными

2. совместными событиями, ответ обоснуйте.

В - команда 9 «а» выиграла, команда 9»б» проиграла, являются:

1. несовместными

2. совместными событиями, ответ обоснуйте.

Слайд 20

Домашняя работа.

Дома:

1. выучить определения, теоремы.

2. задача:

Задача:

Из чисел 1, 2, 3,4,5 одновременно выбирают три.

Найдите вероятность того, что

а) существует прямоугольный треугольник с такими сторонами;

б) существует произвольный треугольник с такими сторонами;

в) произведение этих чисел оканчивается на 0;

г) их сумма меньше 10.

Слайд 21

Спасибо за внимание

Успехов в решении задач.

Методическая часть работы.

Дополнительные материалы.

Приложение 1

Приложение 2

Приложение 3

Приложение 4

Приложение 5

Приложение 6

17

Тема: Случайные события и их вероятности

• Цель:
• Обобщить и проверить знания полученные при изучении темы, изучить понятия противоположного события, несовместные события, формулу вычисления вероятности противоположного события, совершенствовать умения и навыки решения задач.

Проверка решения домашней задачи: актуализация знаний учащихся.

• Случайным образом выбрали двузначное число.

Найти вероятность того, что оно: оканчивается 0, состоит из одинаковых цифр.

Решение:

1) Общее число двузначных чисел равно

n = 9 * 10 =90

2) выбор каждого является равновозможным

3) А – выбранное число оканчивается нулём

4) находим количество исходов опыта, в котором наступает событие А, N(A) = 9 ,

числа 10, 20, 30, 40, ……90.

5) Р(А) = 9 : 90 = 0,1

При втором условии:

1) Общее число двузначных чисел равно 90.

2) выбор каждого является равновозможным

3) В – выбранное число состоит из одинаковых чисел

4) находим количество исходов опыта, в котором наступает событие В, N( В ) = 9 ,

числа 11, 22, 33, 44, ……99.

5) Р(В) = 9 : 90 = 0,1

Ответ: 0,1; 0,1

Актуализация знаний учащихся.

• Проверка домашнего задания:

письменный теоретический опрос:

• Какие события называются достоверными, случайными. Невозможными?
• Классическое определение вероятности.
• Чему равна вероятность достоверного события, невозможного события?
• Записать формулу нахождения вероятности события А, т.е.

Р(А) =

Задача:

5) Задача:

Случайным образом выбрали двузначное число. Найдите вероятность того, что оно

1 вариант: больше 27 и меньше 46

2 вариант: больше 35 и меньше 52

Решение задач самостоятельной работы:

Общее число двузначных чисел равно: n = 9 * 10 = 90

Выбор каждого является равновозможным.

Количество благоприятствующих исходов каждого из этих событий находим по формуле: Р(А) = N (A) : N

Вариант 1

N (A) = 18 (числа 28, 29,.....45)

Р (А) = 18 : 90 = 1/5

Ответ: 1/5

Вариант 2

N (A) = 16 (числа от 36, 37......51)

Р (А) = 16 : 90 = 8 / 45

Ответ: 8/45

Определения, теоремы:

• 1) Событие В называют противоположным событием А и обозначают В=А, если событие В происходит, тогда и только тогда, когда не происходит событие А.
• Обозначают символом
• Теорема: Для нахождения вероятности противоположного события следует из единицы вычесть вероятность самого события:
• Р( )=1-Р(А)
• 2) Событие А и В называются несовместными, если они не могут происходить одновременно

Определения, теоремы:

• Теорема: Вероятность наступления хотя одного из двух несовместных событий равна сумме их вероятностей.

Если А и В несовместны,

то Р(А+В)=Р(А)+Р(В)

Если все исходы опыта – некоторое множество точек на рисунке, то А и В – это некоторое подмножество данного множества.

• Несовместные Совместные А и
• события события несовместны

А

А

А

А

В

В

Вероятность суммы любого числа попарно несовместных событий равна сумме вероятности этих событий. Р(А+В+С+Д……)= Р(А)+Р(В)+Р(С)+Р(Д)+…..

• Схема:

С

А

Д

В

Тест: с последующей самопроверкой

Вариант 1

Вариант 2

1)В мешке лежат 11 шаров: 3 синих, 4 зелёных. 4 красных.

События:

А – из мешка вынули 4 шара и все синие. Оцените какое событие? - невозможное, случайное, достоверное, противоположное.

В - из мешка вынули 4 шара, и все они красные. Оцените какое событие? - невозможное, случайное, достоверное, противоположное.

1)В ящике лежат 12 кубиков: 5 красных, 3 синих, 4зелёных.

События:

А - из ящика вынули 5 кубиков, и все зелёные. Оцените какое событие? - невозможное, случайное, достоверное, несовместное.

В – из ящика вынули 3 кубика, и все они синие. Оцените какое событие? - невозможное, случайное, достоверное, несовместное

Тест:

Вариант 1

Вариант 2

С - из мешка вынули 5 шаров и среди них не оказалось белого шара. Оцените какое событие? - невозможное, случайное, достоверное, противоположное.

2) События А и В противоположные.

Вероятность события А равна

Р(А)=7/13, тогда вероятность события В равна:

1) 7/13 2) 20/13

3) 6/13 4) 7

С – из ящика вынули 9 кубиков, и среди них не оказалось сиреневого шара.

Оцените какое событие? - невозможное, случайное, достоверное, несовместное.

2) События А и В несовместны.

Р(А)=3/28 Р(В)= 11/28

Вероятность суммы событий

А и В равна:

1) 8/28 2) 2/7

3) ½ 4) 3/11

Самопроверка:

Задачи

№ 1

Вариант 1

№ 2

А(1), невозможное

В(2), случайное

С(3), достоверное

Вариант 2

А(3), невозможное

В(1), случайное

С(2), достоверное

3) = 6/13

3) = 1/2

Практическая работа: решение задач

Порядок выполнения работы:

• Каждый ученик получает индивидуально задачи определённого уровня и решает:

1 уровень

2 уровень

3 уровень

• По окончанию работы проводится самопроверка:

• Оценка результатов

Решение задачи 1 уровня

Решение задачи 2 уровня:

Решение задачи 3 уровня:

Задачи для устной работы:

Домашняя работа

• Дома:
• 1) выучить определения, теоремы
• 2) задача:
• Из чисел 1,2,3,4,5 одновременно выбирают три.
• Найдите вероятность того, что:
• а) существует прямоугольный треугольник с такими сторонами;
• б) существует произвольный треугольник с такими сторонами;
• в) произведение этих чисел оканчивается на 0;
• Г) их сумма меньше 10

Спасибо за внимание.

• Успехов в решении задач