Тестовые задания по геометрии для 11 класса

Тест. Параллельность прямых и плоскостей.

Вариант 1.

Выберите верный ответ.

1. Плоскость пересекает стороны АВ и АС треугольника АВС соответственно в точках К и Р. Известно, что ВС // , тогда прямые ВС и КР а) пересекаются; б) параллельны; в) скрещиваются.

2. Точка К не лежит в плоскости треугольника ВДС, точки А, М, и Р – середины отрезков КВ, КД, КС соответственно. Каково взаимное расположение плоскостей ВДС и АМР ?

а) плоскости параллельны; б) плоскости пересекаются; в) их расположение определить нельзя.

3. Прямые а и в лежат в параллельных плоскостях, следовательно эти прямые а)скрещиваются или пересекаются; б) скрещиваются или параллельны; в) только скрещиваются; г) только параллельны.

4. В тетраэдре ДАВС точка М лежит на ребре АВ, а точка К на ребре ДВ (рис. 1). Точка пересечения прямой МК и плоскости АВС лежит на прямой

а) ВС; б) АВ; в) АС; г) ДС.

Рис. 1

Д

М

К

А В

С

1. В кубе АВСДА₁В₁С₁Д₁ точка Е лежит на ребре АА₁, а точка К – на ребре АВ (рис.2). Точка пересечения прямой ЕК с плоскостью грани ВВ₁С₁С лежит на прямой а) ВС; б) В₁С₁; в) ВВ₁; г) СС₁.

Рис.2

Д₁ С₁

А₁ В₁

Е

Д С

А В

К

1. В кубе АВСДА₁В₁С₁Д₁ плоскость, проходящая через прямую АМ и вершину В (рис. 3), пересекает плоскость грани ДД₁С₁С по прямой

а) МС₁; б) МВ; в) МС; г) параллельной АВ и проходящей через точку М.

Рис. 3

Д₁ С₁

А₁ В₁

М

Д С

А В

7. Каким может быть взаимное расположение двух прямых, если обе они параллельны одной плоскости?

а) только параллельны; б) все случаи взаимного расположения; в) только скрещиваются; г) только пересекаются.

8. Прямая а параллельна плоскости α. Какое из следующих утверждений верно?

а) Прямая а параллельна любой прямой, лежащей в плоскости α; б) прямая а не пересекает ни одну прямую, лежащую в плоскости α; в) прямая а скрещивается со всеми прямыми плоскости α; г) прямая а имеет общую точку с плоскостью .

9. Даны трапеция ABCD и плоскость α. Диагонали трапеции AC и BD параллельны плоскости α. Тогда прямая BA и плоскость α:

а) Параллельны; б) пересекаются; в) определить нельзя; г) прямая ВА лежит в плоскости.

10. На рис.4 плоскость, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает стороны AB и CD в точках М и К соответственно. Точка М – середина АВ. Найдите длину MK, если AD = 10, ВС = 6.

а) 16; б) 11; в) 13; г)8.

Рис. 4

В С

М К

А Д

11. Через концы отрезка NM, не пересекающего плоскость α, и точку К – середину этого отрезка, проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость α в точках N₁ , М₁ , К₁ соответственно. Найдите длину отрезка NN₁ , если ММ₁ = 16, КК₁ = 9.

а) 2; б) 5; в) 12; г) 12,5.

12. В треугольнике АВС точки F и E принадлежат сторонам СВ и АВ соответственно, причём ВЕ : ЕА = 2 : 3. Через эти точки провели плоскость, параллельную АС. Найдите отношение BF : FC.

а) 3 : 2; б) 2 : 3; в) 3 : 5; г) 2 : 5.

13.На рис.5 точки М, Н, К – середины соответствующих сторон AD, DC, СВ. МР || BCD. Найдите периметр четырёхугольника MHKP, если АС = 10 и BD = 8.

Рис. 5 а) 18;

D б) 26;

в) 28;

M H г) 36

A C

P В K

Тест. Параллельность прямых и плоскостей.

Вариант 2.

Выберите верный ответ.

1. Плоскость пересекает стороны ВС и АС треугольника АВС соответственно в точках М и Е. Известно, что АВ // , тогда прямые АВ и МЕ а) пересекаются; б) параллельны; в) скрещиваются.

2. Точка Д не лежит в плоскости треугольника АВС, точки Р, О, и М – середины отрезков ДА, ДВ, ДС соответственно. Каково взаимное расположение плоскостей АВС и РОМ ?

а) плоскости параллельны; б) плоскости пересекаются; в) их расположение определить нельзя.

3. Прямые а и в лежат в параллельных плоскостях, следовательно эти прямые а)скрещиваются или пересекаются; б) скрещиваются или параллельны; в) только скрещиваются; г) только параллельны.

4. В тетраэдре МАВС точка О лежит на ребре МС, а точка К на ребре МВ (рис. 1). Точка пересечения прямой ОК и плоскости АВС лежит на прямой а) АС; б) АВ; в) ВС; г) АМ.

Рис. 1

М

К

О

А В

С

5.В кубе АВСДА₁В₁С₁Д₁ точка К лежит на ребре ДД₁, а точка М – на ребре АД (рис.2). Точка пересечения прямой МК с плоскостью грани АА₁В₁В лежит на прямой а) АА₁; б) А₁В₁; в) АВ; г) ВВ_1.

Рис. 2

В₁ С₁

А₁ Д₁

К

В С

А М Д

6. В кубе АВСДА₁В₁С₁Д₁ плоскость, проходящая через прямую КВ и вершину С (рис. 3), пересекает плоскость грани АА₁В₁В по прямой

а) КВ₁; б) КВ; в) КС; г) параллельной ВС и проходящей через точку К.

Рис. 3

В₁ С₁

А₁ Д₁

К

В С

А Д

7. Каким может быть взаимное расположение прямых а и b, если прямая а лежит в плоскости α, а прямая b параллельна этой плоскости?

а) Параллельны или пересекаются; б) скрещиваются или пересекаются; в) параллельны или скрещиваются; г) определить нельзя.

8. Прямая а параллельна плоскости α. Какое из следующих утверждений верно?

а) Прямая а параллельна любой прямой, лежащей в плоскости α; б) прямая а не пересекает ни одну прямую, лежащую в плоскости α; в) прямая а скрещивается со всеми прямыми плоскости α; г) прямая а имеет общую точку с плоскостью .

9. Даны треугольник АВС и плоскость α, причем АВ║α, АС║α, тогда прямая ВС и плоскость α:

а) параллельны; б) пересекаются; в) прямая лежит в плоскости; г) определить нельзя.

10. На рис.4 плоскость, параллельная стороне АВ треугольника АВС, пересекает его стороны в точках М и К. Найдите длину АВ, если точка М – середина АС , а длина МК равна 10.

а) определить нельзя; б) 10; в) 5; г) 6⅔; д) 20.

С Рис. 4

М К

А В

11. Через концы отрезка АВ , не пересекающего плоскость α и точку С – середину этого отрезка, проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость α в точках А₁, В₁ ,С₁ соответственно. Найдите длину отрезка СС₁, если АА₁ = 12, ВВ₁ = 6.

а) 6; б) 9; в) 6; г) 9.

12. В параллелограмме АВСD точки E и F принадлежат сторонам АВ и СД соответственно, причем BE : EA = CF : FD. Через эти точки проведена плоскость α так, что AD║α, тогда:

а) ВС║ α; б) ВС ∩ α; в) ВС α; г) плоскость α совпадает с плоскостью параллелограмма.

13. На рис.5 точки M, H, P- середины соответственно сторон AD, DC, AB. HK║ABD. Найдите периметр четырехугольника MHKP, если AC=8, BD=10.

а) 18;

б) 36;

Рис.5 в) 28;

г) 26;

D

M H

А C

K

P

B

Тест. Перпендикуляр и наклонные.

Вариант 1.

Выбери верный ответ.

1. Из точки М к плоскости α проведены две наклонные, длины которых 20см и 15см. Их проекции на эту плоскость относятся как 16 : 9 (рис. 1). Найдите расстояние от точки М до плоскости α.

а) 20см; б) 6 см; в) 13см; г) 12см.

Рис. 1

М

О А

С

2. Расстояние от точки М до каждой из вершин правильного треугольника ABC равно 4см (рис. 2). Найдите расстояние от точки M до плоскости ABC, если AB = 6см.

а) 4см; б) 8см; в) 6см; г) 2см.

Рис.2

М

А В

О

С

3. Через точку А, удаленную от плоскости α на 4см, проходит прямая, пересекающая плоскость α в точке В. Найдите угол между прямой АВ и плоскостью α, если длина отрезка АВ равна 6см.

а) arccos2/3; б) arcsin2/3; в) arcsin3/2; г) arctg2/3.

1. Точка М не лежащая в плоскости треугольника АВС равноудалена от его вершин, МО – перпендикуляр к плоскости АВС. Точка О является

а) центром вписанной в треугольник АВС окружности;

б) центром описанной возле треугольника АВС окружности;

в) центром тяжести треугольника АВС;

г) точкой пересечения высот треугольника АВС.

1. Отрезок КА – перпендикуляр к плоскости квадрата АВСД, площадь которого 36 см ² (рис. 3). Расстояние между прямыми КА и ВС равно

а) 6см; б) 12 см; в) определить нельзя, не хватает данных; г) 6 см.

К Рис. 3

А В

Д С

6. Отрезок НВ перпендикулярен плоскости квадрата АВСД (рис. 4). Угол между прямой НД и плоскостью квадрата АВСД это угол

а) НВД; б) НДС; в) НДВ; г) НДА.

Н Рис. 4

В С

А Д

7. Прямая CD перпендикулярна к плоскости остроугольного треугольника ABC, у которого CK – высота (рис. 5). Найдите расстояние от точки A до плоскости CDK, если DA = 8 см, а DAK = 45⁰.

а) 4 см; б) 2 см; в) см; г) 16см.

Д Рис. 5

С А

В К

8. ВВ₁ – перпендикуляр к плоскости ромба АВСД, диагонали которого пересекаются в точке О (рис. 6). Плоскости В₁ОВ перпендикулярна прямая а) АВ; б) ВС; в) СД; г) АС.

В₁ Рис. 6

В С

О

А Д

Тест. Перпендикуляр и наклонные.

Вариант 2.

Выбери верный ответ.

1. Из точки М к плоскости α проведены две наклонные (рис. 1), длины которых относятся как 13 : 15 . Их проекции на эту плоскость равны 10 см и 18 см . Найдите расстояние от точки М до плоскости α.

а) 34см; б) 24см; в) 32см; г) 23см.

М Рис. 1

О К

Д

2. Расстояние от точки К до каждой из вершин квадрата ABCD равно 5см (рис.2) Найдите расстояние от точки K до плоскости ABC, если AB =3см.

а) 4 см; б) 4см; в) 2см; г) см.

К Рис. 2

А В

Н

С Д

3. Через точку А, удаленную от плоскости α на 3см, проходит прямая, пересекающая плоскость α в точке В. Угол между прямой АВ и плоскостью α равен 30 ⁰. Найдите длину отрезка АВ.

а)4см; б)3см; в)6см; г)5см.

1. Точка М не лежащая в плоскости треугольника АВС равноудалена от его сторон, МО – перпендикуляр к плоскости АВС. Точка О является

а) центром вписанной в треугольник АВС окружности;

б) центром описанной возле треугольника АВС окружности;

в) центром тяжести треугольника АВС;

г) точкой пересечения высот треугольника АВС.

5. Отрезок МВ – перпендикуляр к плоскости квадрата АВСД, площадь которого 64 см ² (рис. 3). Расстояние между прямыми МВ и СД равно

а) 8см; б) 16 см; в) определить нельзя, не хватает данных; г) 8 см.

М Рис. 3

В С

А Д

1. Отрезок КА перпендикуляр к плоскости треугольника АВС. АН – высота этого треугольника (рис. 4). Углом между прямой КН и плоскостью АВС является угол

а) КНВ; б) КНС; в) КАН; г) КНА.

К Рис. 4

А В

Н

С

7. Отрезок ВМ – перпендикуляр к плоскости равнобедренного треугольника АВС, АВ = ВС = 5 см и ВК = 4см. ВК – медиана треугольника АВС (рис. 5). Найдите расстояние от точки С до плоскости МВК а) 2 см; б) 3 см; в) 4 см; г) 5 см.

М Рис.5

В С

К

А

8. СС₁ – перпендикуляр к плоскости квадрата АВСД, диагонали которого пересекаются в точке О (рис. 6). Плоскости С₁ОС перпендикулярна прямая а) СД; б) ВС; в) ОД; г) АД.

С₁ Рис.6

В С

О

А Д

Тест. Перпендикулярность прямой и плоскости.

Вариант 1.

Выбери верный ответ.

1. Какое из следующих утверждений верно?

а) Две прямые перпендикулярные третьей перпендикулярны между собой;

б) прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна хотя бы одной прямой, лежащей в этой плоскости;

в) две прямые, перпендикулярные к плоскости, перпендикулярны между собой;

г) прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

2. Две скрещивающиеся прямые взаимно перпендикулярны. Чему равен угол между ними?

а) 90⁰; б) 0⁰; в) 180⁰; г) 45⁰.

3. Через вершину квадрата ABCD проведена прямая ВM, перпендикулярная его плоскости (рис.1). Какое из следующих утверждений неверно?

а) MD CD; б) MBBC; в) MААД; г) MВAC .

Рис. 1

М

В С

А Д

4. Дан правильный треугольник ABC со стороной, равной 3. Точка O – центр треугольника, OM – перпендикуляр к его плоскости (рис.2), OM = 1. Найдите расстояния от точки M до вершин треугольника. а) ; б) ; в) 3; г) 2.

Рис. 2

М

А В

О

С

5. Прямая m перпендикулярна к прямым a и b, лежащим в плоскости α, но m не перпендикулярна к плоскости α. Выясните взаимное расположение прямых a и b.

а) параллельны; б) пересекаются; в) скрещиваются; г) определить нельзя.

6. Отрезок AB, равный 5см, не имеет общих точек с плоскостью α. Прямые AC и BD, перпендикулярные к этой плоскости, пересекают ее в точках C и D соответственно. Найдите BD, если CD = 3см, AC = 17см, BDAC .

а) 12см; б) 13см; в) 21 см; г) 10 см.

7. В тетраэдре DABC AD AC, AD AB, DC BC. Тогда прямая BC и плоскость ADC: а) параллельны; б) прямая ВС лежит в плоскости; в) прямая ВС пересекает плоскость, но не перпендикулярна к плоскости; г) перпендикулярны.

8. Расстояние от некоторой точки до плоскости квадрата равно 4см, а до каждой из его вершин – 6см. Найдите диагональ квадрата.

а) 2см; б) 5см; в) 5см; г) 2см.

9. В треугольнике АВС . Точка Д не лежит в плоскости АВС, причем ДСАС (рис. 3). Плоскости ДСВ перпендикулярна прямая

а) АВ; б) АС; в) АД; г) определить нельзя.

.

Д Рис. 3

С В

А

1. Точка К не лежит в плоскости ромба АВСД. Известно, что КВАВ КВВД (рис. 4). Плоскости КВД перпендикулярна прямая

а) АВ; б) АД; в) АС; г) АК.

Рис. 4

К

В С

А Д

Тест. Перпендикулярность прямой и плоскости

Вариант 2.

Выбери верный ответ.

1. Какое из следующих утверждений неверно?

а) Если прямая перпендикулярна к двум прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости;

б) если прямая перпендикулярна к плоскости, то она ее пересекает;

в) если две плоскости перпендикулярны к прямой, то они параллельны;

г) если две прямые перпендикулярны к плоскости ,то они параллельны;

2. Если одна из двух скрещивающихся прямых перпендикулярна к плоскости, то будет ли перпендикулярна к этой плоскости вторая прямая?

а) Да; б) да, но при определенных условиях; в) определить нельзя; г) нет.

3. ABCD – квадрат со стороной, равной , O – точка пересечения его диагоналей, OE – перпендикуляр к плоскости ABC, OE =. Найдите расстояние от точки E до вершин квадрата. а) 3 ; б) 4; в) 1; г) 2.

Рис. 1

Е

В С

О

А Д

4. Через вершину квадрата ABCD проведена прямая ВК, перпендикулярная его плоскости (рис.2). Какое из следующих утверждений неверно?

а) КD CD; б) КBBC; в) КААД; г) КВAC .

К Рис. 2

В С

А Д

5. Прямая а перпендикулярна к прямым с и b, лежащим в плоскости α, прямая а перпендикулярна к плоскости α. Выясните взаимное расположение прямых с и b.

а) только параллельны; б) только пересекаются; в) параллельны или пересекаются; г) определить нельзя.

6. Отрезок MH не имеет общих точек с плоскостью α. Прямые MK и HT, перпендикулярные к этой плоскости, пересекают ее в точках K и T соответственно. Найдите MH, если KT = 3см, MK = 2см, HT = 6см.

а) см; б) 7см; в) 5 см; г) 3см.

7. Точка E не принадлежит плоскости прямоугольника ABCD. BE AB, BEBC. Тогда прямая CD и плоскость BCE: а) параллельны; б) перпендикулярны; в) определить их взаимное расположение нельзя ; г) прямая лежит в плоскости.

8. Расстояние от некоторой точки до плоскости квадрата равно 4см, а до каждой из его сторон – 6см. Найдите диагональ квадрата.

а) 2см; б) 5см; в) 5см; г) 4см.

9. АВСД – квадрат. Вне его плоскости выбрана точка К, причем КААВ (рис. 3). Плоскости АКД перпендикулярна прямая

а) ДС; б) КС; в) ВК; г) ВС.

Рис. 3

К

А В

Д С

10. В треугольнике АВС , АН – высота треугольника. Вне плоскости АВС выбрана точка Д, причем ДВВС, ДВАВ (рис. 4). Плоскости ДВС перпендикулярна прямая

а) АД; б) АВ; в) АН; г) АС.

Д Рис. 4

В Н С

А