Задачи по теории вероятностей

1 тип задач- Классическое определение теории вероятностей.

P(A) = m/n,

где n- общее число всех равновозможных, элементарных исходов этого испытания,

m- количество элементарных исходов, благоприятствующих событию А.

Алгоритм решения задач на классическое определение вероятности:

1. Найти общее число элементарных исходов (m).

2. Найти количество исходов(n), благоприятствующих событию А

3. Найти n/m. Это и будет искомая вероятность.

Задача 1. 

В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7 из США, остальные — из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая

Решение:

В чемпионате принимает участие 20 − (8 + 7) = 5 спортсменок из Китая. n=5, m=20.Тогда вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая, равна 5/20=0,25

Ответ: 0,25.

Задача 2.

За круглый стол на 9 стульев в случайном порядке рассаживаются 7 мальчиков и 2 девочки. Найдите вероятность того, что обе девочки будут сидеть рядом.

Решение: 

Пусть первой за стол сядет девочка, рядом с ней есть два места, на каждое из которых может сесть 8 человек, из которых только одна девочка. Таким образом, вероятность, что девочки будут сидеть рядом равна 2/8=0,25

Ответ: 0,25.

Задача 3. 

 В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно два раза.

Решение:

Обозначим выпадение орла буквой О, а выпадение решки буквой Р. Возможных восемь исходов:

OOO, OОР, ОРО, ОРР, РОО, РОР, РРО, РРР

Из них благоприятными являются OОР, ОРО и РОО. Поэтому искомая вероятность равна 3/8, то есть 0,375.

Ответ: 0,375.

Задача 4. 

У Вити в копилке лежит 12 рублёвых, 6 двухрублёвых, 4 пятирублёвых и 3 десятирублёвых монеты. Витя наугад достаёт из копилки одну монету. Найдите вероятность того, что оставшаяся в копилке сумма составит более 70 рублей.

Решение:

У Вити в копилке лежит 12+6+4 + 3 = 25 монет на сумму 12 + 12 + 20 + 30 = 74 рубля. Больше 70 рублей останется, если достать из копилки либо рублёвую, либо двухрублёвую монету. Таких монет 12 + 6 = 18. Искомая вероятность равна 18 : 25 = 0,72.

Ответ: 0,72

2 тип задач- Геометрическое определение вероятностей

P(A)=m(A)/m(G),

где m(G), m(A) – геометрические меры (длины, площади или объемы) всего пространства элементарных исходов G и события А соответственно.

Алгоритм решения задач на геометрическую вероятность:

1. Найти меру всей области(длину, площадь, объем),

2. Найти меру «полезной» области(длину, площадь, объем),

3. Найти отношение меры «полезной» области ко всей области. Это и будет искомая вероятность.

Задача 1. 

В прямоугольник 5×4 см² вписан круг радиуса 1,5 см. Какова вероятность того, что точка, случайным образом поставленная в прямоугольник, окажется внутри круга?

Решение:

По определению геометрической вероятности искомая вероятность равна отношению площади круга (в который точка должна попасть) к площади прямоугольника (в которой точка ставится), т.е.

P= Sкруга/Sпрямоугольника

Р=(π⋅1,5²)/(5⋅4)=0,35325.

Ответ: 0,353