Три знаменитые задачи древности

Содержание

Введение

Развитие математики началось с создания практических искусств счёта и измерения линий, поверхностей и объёмов. В VI веке до н. э. начинается «греческое чудо»: появляются сразу две научные школы – ионийцы (Фалес Милетский, Анаксимен, Анаксимандр) и пифагорейцы. О достижениях ранних греческих математиков мы знаем в основном по упоминаниям позднейших авторов, преимущественно комментаторов Евклида, Платона и Аристотеля.

Фалес, богатый купец, хорошо изучил вавилонскую математику и астрономию – вероятно, во время торговых поездок. Ионийцы, по сообщению Евдема Родосского, дали первые доказательства нескольких простых геометрических теорем – например, о том, что вертикальные углы равны. Однако главная роль в деле создания античной математики принадлежит пифагорейца.

С глубокой древности известны три задачи на построение: об удвоении куба, трисекции угла и квадратуре круга. Они сыграли особую роль в истории математики. В конце концов было доказано, что эти задачи невозможно решить, пользуясь только циркулем и линейкой. Но уже сама постановка задачи – «доказать неразрешимость» – была смелым шагом вперёд. Вместе с тем предлагалось множество решений при помощи нетрадиционных инструментов. Всё это привело к возникновению и развитию совершенно новых идей в геометрии и алгебре. Немало преуспели в нестандартных и различных приближённых решениях любители математики – среди них три знаменитые задачи древности особенно популярны. Задачи кажутся доступными любому: вводят в заблуждение их простые формулировки. Тема нашего проекта является актуальной и на сегодняшний день, поскольку до сих пор редакции математических журналов время от времени получают письма, авторы которых пытаются опровергнуть давно установленные истины и подробно излагают решение какой-либо из знаменитых задач с помощью циркуля и линейки.

Тема проекта: «Создание презентации-справочника на тему «Знаменитые математические задачи древности».

Целью нашего проекта является создание презентации-справочника по теме проекта.

Проблема проекта заключается в том, что многие не знают историю открытий в математике, знаменитые задачи древности, над решением которых десятки людей работали несколько лет.

Конечный продукт проекта будет выполнен в виде презентации-справочника.

Задачи проекта:

1. Изучить и систематизировать литературу по теме проекта.

2. Изучить историю математики, изучить классические задачи древности.

3. Описать процесс работы над созданием презентации-справочника по теме проекта.

§ 1. Классические математические задачи древности

Исключительное значение математике приписывала школа Платона. Платон и его школа позволяли для решения геометрических задач на построение пользоваться только циркулем и линейкой. Такое требование привело к появлению в геометрии так называемых «невозможных задач», т.е. задач которые невозможно решить только указанными инструментами. Эти задачи древности стали знаменитыми потому, что в течении 2000 лет усилия многих математиков были направлены на их решение.

Школа Платона породила три классические «невозможные» задачи на построение: об удвоении куба, трисекции угла и квадратуре круга. Было доказано, что эти задачи невозможно решить, пользуясь только циркулем и линейкой. Задачи кажутся доступными любому: вводят в заблуждение их простые формулировки. Рассмотрим их более подробно [1, с. 14].

1. Задача об удвоении куба.

Считают, что задача об удвоении куба появилась во времена пифагорийцев, около 540 г. до н.э. Возможно, она возникла, как и задачи об удвоении квадрата, которую легко решить, опираясь на теорему Пифагора, где надо построить квадрат на диагонали заданного квадрата.

Согласно легенде, жители Афин, на которых боги ниспослали эпидемию чумы, отправили делегацию к оракулу на остров Делос за советом, как задобрить богов и избавиться от морового поветрия. Ответ был таков: «Удвойте жертвенник храма Аполлона, и чума прекратится». Жертвенник имел кубическую форму. Афиняне решили, что задание простое, построили новый жертвенник, с вдвое большим ребром. Однако чума только усилилась. Вторично обратились к оракулу и получили ответ: «Получше изучайте геометрию». История умалчивает о том, как удалось умилостивить богов, но чума в конце концов покинула город. А задачу об удвоении куба стали называть делосской задачей. Известна и другая легенда. Греческий комментатор VI в. до н. э. сообщает о письме, предположительно написанном царю Птолемею I. В нём говорится, что царь Минос построил на могиле сына надгробие кубической формы, но остался недоволен размерами памятника и приказал удвоить его, увеличив вдвое ребро куба. Комментатор указывает на ошибку царя Миноса (площадь поверхности памятника в результате увеличилась в четыре, а объём в восемь раз) и рассказывает, что тогда геометры попытались решить эту задачу [1, с. 27].

В чем же заключается неразрешимость задачи об удвоении куба с помощью циркуля и линейки? Задача заключается в построении куба, имеющего объём, вдвое больший объём данного куба. Обозначим через а ребро данного куба и длину ребра искомого куба x. В современных обозначениях, задача сводится к решению уравнения . Решение имеет вид . Всё сводится к проблеме построения отрезка длиной с помощью циркуля и линейки. Задача об удвоении куба возможна в том и только в том случае, если с помощью конечного числа таких действий можно построить отрезок длины . Таким образом, неразрешимость этой задачи следует из неалгебраичности или трансцендентности числа. Однако эту неразрешимость следует понимать, как неразрешимость при использовании только циркуля и линейки. Задача становится разрешимой, если, кроме циркуля и линейки, использовать другие средства.

Попытки решения задачи другими способами. Так и не сумев, справится с этой задачей с помощью циркуля и линейки, греки попробовали применить другие инструменты, механизмы и даже специальные кривые.

Например, Гиппократ Хиосский, знаменитый геометр V в. до н. э., свёл удвоение куба к построению «двух средних пропорциональных» x и y для данных отрезков a и b, т.е. к решению уравнений (при b=2a получаем x=a). Эту идею удалось реализовать Платону около 340 г. до н. э. с помощью нетрадиционных чертёжных инструментов – двух прямых углов. Менехм примерно в 350 г. до н.э. решал задачу об удвоении куба, используя конические сечения – кривые, по которым плоскости пересекают конус. Свои решения дали также крупнейшие древнегреческие математики Евдокс, Эратосфен, Аполлоний, Герон, Папп и др. [1, с. 49].

2. Задача о квадратуре круга заключается в следующем: построить квадрат, площадь которого, была бы равна площади данного круга. Задача о квадратуре круга – самая старая из всех математических задач. Она возникла на заре человеческой культуры, и ее история охватывает период около четырех тысяч лет. Этой задачей раньше греков занимались вавилоняни и египтяне. Независимо от греков ею занимались китайцы и индийцы. Задача о квадратуре круга вместе с тем является самой популярной из математических задач. Этой популярности, по-видимому, содействовала жизненная необходимость и чрезвычайная простота формулировки, которая доступна как математику, так и не математику, но большое распространение эта задача получила в древней Греции. Об этой задаче даже говорит человек, далекий от математики, древнегреческий драматург Аристофан (446-385 годы до н. э.). По свидетельству Плутарха, первый из греческих математиков, кто по-серьезному занимался квадратурой круга, был Анаксагор (500-428 годы до н.э.). Будучи посажен в тюрьму за безбожие, он предался размышлениям на математические темы. В результате этих размышлений, он и «начертал квадратуру круга». Каким путем пытался он решить задачу о квадратуре круга, это, к сожалению, до нас не дошло [2, с. 12].

Квадратурой круга много занимался другой греческий ученый Гиппий из Элиды (около V века до н. э.). В 420 году до н. э. он открыл, как указывалось выше, трансцендентную кривую – квадратрису, которая служила для решения задач о трисекции угла и квадратуры круга. Первый из древнегреческих ученых, кто применил квадратрису Гиппия для решения задачи о квадратуре круга, был Динострат, живший во второй половине IV века до н. э.

В дальнейшем увидим, что большой вклад в историю задачи о квадратуре круга внесли современники Сократа (469-399 годы до н. э.) Антифон и Бризон, а также Гиппократ Хиосский, живший во второй половине V века до н.э. Изыскания древнегреческих ученых, связанные с задачей о квадратуре круга, завершаются замечательными исследованиями по этому вопросу величайшего математика древности Архимеда из Сиракуз, жившего в III веке до н.э. Его трактат «Измерение круга» является образцом строгой научной постановки вопроса и его приближенного решения [2, с. 23].

Древнегреческие ученые стремились задачу о квадратуре круга решить при по­мощи циркуля и линейки. Показательна в этом отношении работа Гиппократа Хиосского, которому удалось криволинейную фигуру (гиппократовы луночки) преобразовать в равновеликий ей многоугольник. Однако преобразовать круг в равновеликий ему квадрат Гиппократу так и не удалось. Остановимся несколько подробнее на его рассуждениях.

На отрезке AВ, как на диаметре, построим полукруг АСВ (рис.1).

Рис. 1. Построение полукругов АСВ и СЕВ

Далее, из точки О – середины отрезка АВ восставим перпендикуляр ОС. Соединим прямыми точку С с точками А и В. Отрезок СВ будет стороной квадрата, вписанного в круг, и площадь треугольника АСВ будет равняться половине этого квадрата. На отрезке СВ, как на диаметре, опишем еще полукруг СЕВ. Применяя к прямоугольному треугольнику АСВ теорему Пифагора, получим:

АВ² = АС² + СВ².

На основании того, что площади кругов относятся между собой, как квадраты их диаметров, будем иметь:

или, учитывая равенство выше,

Откуда  .

Тогда .

Следовательно, .

Вычитая из левой и правой частей последнего равенства сегмент CDB, полу­чим, что площадь треугольника ОСВ равняется площади луночки CDBE. Наконец, при помощи циркуля и линейки теперь не составляет большого труда построить квадрат, площадь которого будет равна площади треугольника ОСВ, а, следовательно, и площади луночки CDBE. Так Гиппократ Хиосский весьма оригинальным приемом нашел квадратуру некоторой, специального вида, луночки [3, с. 9].

Это открытие Гиппократа окрылило древних геометров надеждой, что с помощью циркуля и линейки когда-нибудь удастся вычислить и квадратуру круга: «Раз можно найти квадратуру некоторой луночки, образованной дугами кругов, то почему же, – рассуждали они, – нельзя найти квадратуру круга».

Сам Гиппократ, найдя квадратуру указанной выше луночки, пытался найти квадратуру круга.

Однако в рассуждениях Гиппократа Хиосского допущена одна ошибка, которая «из невозможного делает возможным» – неразрешимую задачу о квадратуре круга разрешимой.

Ошибка в рассуждениях Гиппократа, приводящая к иллюзорному решению задачи о квадратуре круга была замечена еще древними учеными. Об этой ошибке говорят древнегреческий историк математики Евдем Родосский и знаменитый основоположник формальной логики Аристотель. Так, Евдем Родосский заявляет, что, хотя рассуждение Гиппократа Хиосского и является остроумным, тем не менее оно является ошибочным. Дело в том, говорит Евдем, что три луночки, которые рассматривал Гиппократ при решении квадратуры кругa, построены не на катетах прямоугольного треугольника, а на сторонах трапеции и, следовательно, к ним он не может применить то свойство о квадрируемости луночки, которое он доказал в начале. В этом же упрекал Гиппократа и Аристотель. Аристотель, как и Евдем считал, что Гиппократ совершил грубую ошибку, полагая возможным квадратуру луночки, построенной на стороне квадрата, необдуманно применить к квадратуре луночки, построенной на стороне шестиугольника [3, с. 38].

Другая попытка решить задачу о квадратуре круга с помощью циркуля и линейки была предпринята древнегреческим ученым Антифоном. Он в данный круг квадратура которого находилась, вписывал сначала квадрат. Затем дуги, хордами которых являются стороны вписанного в круг квадрата, он делил пополам и точки деления соединял с вершинами квадрата и таким образом получал вписанный в круг правильный восьмиугольник. Далее, дуги, хордами которых являются стороны вписанного в круг правильного восьмиугольника, делил также пополам и точки деления соединял с вершинами указанного восьмиугольника и получал вписанный в круг правильный 16-угольник. Продолжая этот процесс дальше, он получал вписанные в круг правильные 32-угольник, 64-угольник и т. д. Он считал, что указанным построением, выполняемым только при помощи циркуля и линейки, можно прийти к такому правильному многоугольнику, правда, быть может, с очень большим числом сторон, который полностью исчерпает круг, то есть его площадь будет равна площади данного круга. А так как для любого правильного многоугольника всегда можно построить равновеликий ему квадрат, то и для данного круга, поскольку он исчерпывается правильным многоугольником, можно построить равновеликий ему квадрат.

Еще в Древности ученые подвергли решение Антифона резкой кри­тике. Они совершенно правильно заявляли, что утверждение Антифона, будто правильный многоугольник может совпасть с кругом, противоречит основным началам геометрии. Однако для целей приближенной квадратуры круга рассуждение Антифона вполне приемлемо, так как с помощью этого рассуждения данный круг можно приближенно квадрировать с любой степенью точности [1, с. 58].

3. Задача о трисекции угла.

Возникновение задачи о трисекции угла связанно с потребностями в архитектуре и строительной технике. В период с VI века до н.э. до настоящего времени многие математики бились и бьются над решением этой проблемы. В их числе самые гениальные – Гиппократ Хиосский, Архимед Сиракузский, Декарт, Ньютон, Эйлер, Гиппий, Никомед и др.

Доказано, что трисекция угла в общем случае невыполнима с помощью циркуля и линейки, но существуют кривые, с помощью которых это построение можно выполнить: Улитка Паскаля или трисектриса, Квадратриса (в древности тоже называлась трисектрисой), Конхоида Никомеда, Спираль Архимеда, невсис, а также построение с помощью плоского оригами [5, с. 51].

Несколько способов решения трисекции угла, известных с древнейших времён.

Построение трисекции с помощью квадратрисы.

1. В квадрат ABCD вписан сектор четверти окружности. По дуге сектора точка E движется от точки D к точке B. В это же время Отрезок A’B’ равномерно движется из DC в AB пересечение радиуса сектора и прямой A’B’ на протяжении одновременного движения сверху вниз кривая пересечения образует квадратрису (рис.2).

Рис. 2. Построение трисекции с помощью квадратрисы

2) Отмечаем на квадратрисе точку F и находится её ордината A’.

3) На отрезке AA’ откладывается третья часть, получается ордината H, которая соответствует точке K.

4) Получается, данный угол FAB, а 1/3 этого угла – это угол KAB.

5) Такой же угол можно отложить выше угла KAB = трисекция угла.

Софист Гиппий в V веке до нашей эры использовал квадратрису для решения трисекции угла.

Построение трисекции с помощью невсиса.

Дана полуокружность с радиусом OM, P ϵ данной полуокружности = ∟POM=α; необходимо построить угол β=α/3 (рис.3).

Рис. 3. Построение трисекции с помощью невсиса

1) Возьмём линейку, отложим на ней отрезок a=OM=AB.

2) Приложив линейку так, чтобы B ϵ полуокружности, A ϵ продолжению OM и чтобы линейка проходила через точку P.

3) Получается ∟BAO=β=α/3 Доказательство: 1) Т. к. AB=A=R=OM = BO=R=AB = ABO – равнобедренный = ∟BAO=∟BOA=β 2) А ∟PBO=2β, т. к. ∟PBO – внешний для ABO 3) BOP: ∟PBO=∟BPO=2β = ∟BOP=180°-4β. 4) С другой стороны, ∟BOP=180°-(β+α). 5) Значит, 180°-4β=180°-(β+α) = 3β=α = β=α/3 = трисекция выполнена, если отложить 3 угла BOA внутри ∟POM. При решении трисекции угла и других задач, невсис использовали: Архимед (287 - 212 годы до н.э.) и Гиппократ Хиосский (около 430 года до н.э.) [6].

Итак, все старания решить три знаменитые задачи при известных ограничивающих условиях (циркуль и линейка) привели только к доказательству, что подобное решение невозможно. Даже сейчас в печати появляются сообщения о найденных новых методах решения задач. Но все они, как десятки и сотни, предлагавшихся ранее, страдают одним недостатком: используют, кроме циркуля и линейки, дополнительные средства – то трансцендентные кривые, которые не могут быть построены циркулем и линейкой, то какие-то механизмы, то специально изготовленные для этой цели вспомогательные инструменты. Тем самым не выполняется основное условие – «только с помощью циркуля и линейки». При попытках решить эти задачи было сделано огромное число открытий, имеющих гораздо больший интерес и значение, чем сами поставленные задачи.

§ 2. Алгоритм разработки презентации-справочника по теме проекта

На данном этапе была проведена работа над созданием презентации-справочника на тему: «Знаменитые математические задачи древности».

В процессе создания любой презентации выделяют три этапа:

• этап проектирования;

• этап конструирования;

• этап моделирования.

На этапе проектирования нами была определена цель использования презентации. Данная презентация может быть использована в качестве справочника для изучения знаменитых математических задач древности. Целью презентации является ознакомление студентов с попытками разрешения математических задач с помощью циркуля и линейки.

Следующим шагом был отбор необходимого текстового, наглядного материала в виде рисунков.

На этапе конструирования разработали презентацию-справочник, в которой учли содержание и соотнесли текстовую и графическую информацию.

Для создания мультимедийной презентации мы выбрали программу MS Power Point, так как она обладает большим выбором шаблонов и тем, возможностью использовать различные интерактивные элементы, такие как гиперссылки, управляющие кнопки, вставить анимированные объекты и переходы между слайдами. Также к числу достоинств программы следует отнести ее простоту. Дружественный интуитивный интерфейс MS PowerPoint понятен каждому [7].

MS PowerPoint объединяет в себе два типа программ – графический редактор и инструмент для слайд-шоу. Подобных программ множество, но отличие PowerPoint состоит в том, что ее графические возможности ориентированы именно на составление презентации, то есть не только картинок, но и сопроводительного текста и многочисленных дополнений для оживления показа. Кроме того, файл презентации единый, то есть не разбит на отдельные кадры-картинки [7].

Важное отличие также в том, что PowerPoint формирует очень экономный, малый по размеру файл, который легко открывать и пересылать по электронной почте.

MS PowerPoint обладает следующими функциональными возможностями:

- позволяет планировать, создавать и демонстрировать презентацию;

- содержит модифицируемый набор шаблонов презентаций;

- предоставляет возможность выбора готового стиля оформления презентации;

- имеет встроенные средства построения таблиц, графиков и диаграмм;

- поддерживает добавления различных объектов (формул, электронных таблиц, графических изображений), а также звука и видео;

- имеет хорошую интеграцию с другими приложениями Microsoft, позволяет преобразовать презентацию в документ Word;

- обладает спектром возможностей технологии ActiveX и может управлять удалённой презентаций в сетевом режиме по локальной сети или через модем по сети Internet;

- поддерживает гипертекстовые связи, позволяет сохранять презентации в виде Web-страниц;

- может выводить на печать (в цвете, оттенках серого или в черно-белом режиме без серого) всю презентацию – слайды, структуру, страницы заметок и раздаточные материалы, а также указанные слайды, страницы заметок, выдачи и страницы структуры;

- позволяет выбирать масштаб или установить специальные размеры и ориентацию для печати на «прозрачках» (для проекционных аппаратов) или на 35-миллиметровой пленке;

- имеет множество способов рассылки презентаций, включая рассылку электронных и экранных версий, «прозрачки», распечатки на бумаге и 35-миллиметровые слайды и др. [8].

Далее, пользуясь большим перечнем шаблонов и тем, мы определили дизайн слайдов, скачали шаблон презентации из ресурсов Интернет и на его основе создали справочник.

Первый слайд – титульный, содержащий название справочника и ФИО разработчика. Он имеет темно-фиолетовый фон, поэтому цвет шрифта мы выбрали – белый. А на всех остальных слайдах фон – светлый, поэтому шрифт, наоборот, темного цвета (Microsoft Sans Serif). Определения в презентации выделили полужирным начертанием текста.

На втором слайде мы вставили объект SmartArt, выбрали Макет – Рисунок и наполнили его содержанием. Данный объект служит для отображения непоследовательных или сгруппированных блоков информации, а также позволяет сэкономить пространство как по горизонтали, так и по вертикали.

Третий слайд посвящен постановке задачи о квадратуре круга.

На 4-12 слайдах содержится информация об истории возникновения задачи о квадратуре круга.

На 13 слайде показана попытка решения данной задачи, приведены основные формулы и показан чертеж.

14 слайд посвящен постановке задачи о трисекции угла.

На 15 слайде – история о публикации неверных способах осуществления трисекции угла.

На 16-18 слайдах показано решение задачи о трисекции угла с помощью невсиса.

19 слайд посвящен постановке задачи об удвоении куба.

На 20-25 слайдах – история о возможных решениях данной задачи лучшими математиками античного мира.

26-27 – решение задачи об удвоении куба с помощью невсиса.

Оформив все слайды текстовой и графической информацией, вернулись на второй слайд и добавили Гиперссылки для выборочного чтения справочника. Для каждого блока с задачами, установили ссылки на их постановку, краткую историческую справку и попытки решения. Для этого выделили текст, в контекстном меню выбрали команду Гиперссылка и выбрали соответствующий слайд для перехода.

Также на всех слайдах были добавлены кнопки для перехода на слайд с перечнем задач (кнопка «Домой») и на последующий и предыдущий слайды (кнопки «Вперед», «Назад»). Для этого выполнили команду Вставка – Фигуры – Управляющие кнопки, указав соответствующие слайды для перехода.

На отдельных слайдах включили эффекты анимации, в виде различных способов появления текста, прикрепили рисунки, добавили переходы между слайдами по команде Переход – Переход к новому слайду.

На этапе моделирования мы отрепетировали презентацию, которая позволяет осуществить проверку и коррекцию подготовленного материала и определили его соответствие содержанию доклада, установив режим показа слайдов.

Таким образом, нами описаны этапы создания презентации-справочника по теме «Знаменитые математические задачи древности». Были рассмотрены преимущества программы MS PowerPoint и показаны возможности выборочного чтения справочника с добавлением перехода на соответствующие слайды путем создания гиперссылок и управляющих кнопок.

Заключение

В ходе работы над проектом, была изучена литература по геометрии таких авторов, как С. Е. Белозёров, А. П. Юшкевич, Е. В. Потоскуев, Л. И. Зваич, В. В. Прасолов, А. П. Савин и Б. В. Гведенко, благодаря перечисленным исследователям были изучены многие математические понятия, так же были систематизированы электронные ресурсы о решениях знаменитых математических задачах древности.

Все старания решить три знаменитые задачи при известных ограничивающих условиях (циркуль и линейки) привели к доказательству, что подобное решение невозможно. При попытках решить эти задачи было сделано огромное количество открытий.

Разработанная в рамках выполнения индивидуального проекта презентация-справочника на тему «Знаменитые математические задачи древности» отвечает требованиям, предъявляемым мультимедийным презентациям, обладает следующим набором элементов: гиперссылки, текст.

Таким образом, задачи, поставленные в индивидуальном проекте, выполнены, цель достигнута.

Список литературы

1. Белозёров С. Е. Пять знаменитых задач древности. История и современная теория / С. Е. Белозёров. – Ростов н/Д.: изд-во Ростовского ун-та, 2016. – 320 с.

2. История математики с древнейших времён до начала XIX в. В 3 т. Под ред. А. П. Юшкевича. Том 1. С древнейших времен до начала Нового времени. – М.: Наука, 2017. – 254 с.

3. Потоскуев Е. В. Геометрия 11 класс / Е. В. Потоскуев, Л. И. Зваич. – М.: Дрофа, 2016. – 154 с.

4. Прасолов В. В. Три классические задачи на построение / В. В. Прасолов – М.: Наука, 2015. – Т. 62. – 80 с.

5. Савин А. П. Энциклопедический словарь юного математика» / А. П. Савин, Б. В. Гведенко. – М.: «Педагогика», 2016. – 320 с.

6. Трисекция угла [Электронный ресурс] // Математические этюды. Режим доступа: http://www.etudes.ru/ru/mov/mov028/index.php (дата обращения: 26.02.2019).

7. Основные задачи по созданию презентаций PowerPoint [Электронный ресурс] // Основные задачи по созданию презентаций PowerPoint. Режим доступа: https://support.office.com/ru-ru/article (дата обращения: 27.02.2019).

8. Создание презентации в PowerPoint [Электронный ресурс] // Создание презентации в PowerPoint. Режим доступа: https://support.office.com/ru-ru/article (дата обращения: 27.02.2019).