Математические характеристики дискретной случайной величины

ПрактическАЯ РАБОТА№ 11

Тема: Решение задач на вычисление математических характеристик дискретной случайной величины

Цели:

• ознакомиться с теоремами сложения и умножения вероятностей

• научиться решать задачи на применение теорем сложения и умножения вероятностей

Оснащение занятия: конспект лекций.

Порядок выполнения работы

Задание 1.

- Ознакомиться с лекцией № 9 и ответить письменно на вопросы:

1. Что называется случайной величиной? Что называется дискретной случайной величиной?

2. Что называется законом распределения дискретной случайной величины?

3. Какие числовые характеристики ДСВ вы знаете?

4. Какими свойствами обладают математическое ожидание и дисперсия?

- Записать в тетрадь решение задач на числовые характеристики ДСВ

Лекция 9

Определение дискретной случайной величины

Различают два вида случайных величин: дискретные и непрерывные. Определение: Случайной называется величина, которая в результате испытания принимает только одно значение из возможного множества своих значение, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин. Определение: Случайная величина Х называется дискретной (прерывной), если множество ее значений конечное или бесконечное, но счетное. Другими словами, возможные значения дискретной случайной величину можно перенумеровать. Описать случайную величину можно с помощью ее закона распределения. Определение: Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями. Закон распределения дискретной случайной величины Х может быть задан в виде таблицы, в первой строке которой указаны в порядке возрастания все возможные значения случайной величины, а во второй строке соответствующие вероятности этих значений, т.е. x
p

где р1+ р2+…+ рn=1
Такая таблица называется рядом распределения дискретной случайной величины.
Если множество возможных значений случайной величины бесконечно, то ряд р1+ р2+…+ рn+… сходится и его сумма равна 1.
Закон распределения дискретной случайной величины Х можно изобразить графически, для чего в прямоугольной системе координат строят ломаную, соединяющую последовательно точки с координатами (xi;pi), i=1,2,…n. Полученную линию называют многоугольником распределения:

Закон распределения дискретной случайной величины Х может быть также задан аналитически (в виде формулы):
P(X=xi)=φ(xi),i =1,2,3…n

Числовые характеристики дискретной случайной величины.

Основными характеристиками ДСВ являются математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратическое отклонение.

Характеристикой среднего значения случайной величины служит математическое ожидание.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности:

Свойства математического ожидания:

1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной: 

2. Постоянный  можно выносить за знак математического ожидания:

3. Математическое ожидание произведения взаимно независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей:

4. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:

(для разности аналогично)

Характеристиками рассеяния возможных значений случайной величины вокруг математического ожидания служат, в частности, дисперсия и среднее квадратичное отклонение.

Дисперсией случайной величины Х называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

Дисперсию удобно вычислять по формуле:

Свойства дисперсии:

1. Дисперсия постоянной равна нулю:

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат:

3. Дисперсия суммы (разности) независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых:

4.                                                                                                           

Средним квадратичным отклонением случайной величины называют квадратный корень из дисперсии:

Рассмотрим следующие задачи.

1.Математическое ожидание и дисперсия СВ Х соответственно равны

0,5 и 5. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины .

Решение.

Согласно свойствам математического ожидания и дисперсии, получаем:

2. Случайные величины X и Y независимы, причем  и . Найти , если .

Решение.

На основании свойств дисперсии получаем:

3. Закон распределения ДСВ Х задан таблицей распределения

	1	2	3	4

Найти: 

1) Так как , т.е. , следовательно 

Т.о. закон распределения примет вид

	1	2	3	4

2) Для вычисления дисперсии воспользуемся формулой:

Сначала найдем математическое ожидание ДСВ Х² для этого составим закон распределения этой СВ. Напоминаю, что для этого необходимо каждое значение ДСВ Х возвести в квадрат, а вероятности оставляем прежними. При одинаковых значениях ДСВ вероятности складываем.

 

3) Найдем среднее квадратичное отклонение:

4) 

4. Функция распределения ДСВ Х имеет вид

Найти: 

Решение.

Составляем закон распределения ДСВ Х (т.е. выполняем операцию обратную той, которую мы делали в предыдущей статье)

	0	1	2	3

Составляем закон распределения ДСВ Х²

	0	1	4	9

5. Независимые случайные величины X и Y заданы таблицами распределения вероятностей

	10	20

 

	30	40	50

Найти  двумя способами:

1. Составив предварительно таблицу распределения СВ ;

2. Используя правило сложения дисперсий.

Решение.

Составим таблицу распределения ДСВ .

Найдем 

10+30=40	20+30=50
10+40=50	20+40=60
10+50=60	20+50=70

Т.о. значения ДСВ Z таковы: 

Найдем соответствующие им вероятности:

Получаем ряд распределения СВ Z 

	40	50	60	70

2. Используя правило сложения дисперсий: 

Задачи для самостоятельного решения

Задание 2. Решите предложенные задачи на вычисление числовых характеристик ДСВ

Задание 1. Составить закон распределения случайной величины Х .

Для заданного закона распределения найти М(x), Д(x), (x).

п – порядковый номер учащегося по списку в журнале.

xi	п – 10	п – 6	п – 2	п	п + 1	п + 3	п + 5	п + 8
pi	0,17	0,03	0,16	0,07	0,12	0,4	0,04	0,01

Задание 2. Составить закон распределения случайной величины Х. Найти числовые характеристики случайной величины x (x – выигрыш владельца одного лотерейного билета).

• В лотерее разыгрываются N билетов;

• m из них выигрывают по А рублей;

• k из них выигрывают по В рублей;

• p из них выигрывают по С рублей.

Задание 3. Найти числовые характеристики случайной величины “х”. Варианты:

Контроль знаний обучающихся:

• проверить практическую работу;

Требования к оформлению практической работы:

Задание должно быть выполнено в тетради для практических работ

Работу сдать после занятия