kopilkaurokov.ru - сайт для учителей

Создайте Ваш сайт учителя Курсы ПК и ППК Видеоуроки Олимпиады Вебинары для учителей

Математические характеристики дискретной случайной величины

Нажмите, чтобы узнать подробности

ПрактическАЯ РАБОТА№ 11

Тема: Решение задач на вычисление математических характеристик дискретной случайной величины

Цели:

  •  ознакомиться с теоремами сложения и умножения вероятностей
  • научиться решать  задачи на применение теорем сложения и умножения вероятностей

Оснащение занятия:   конспект лекций.

Порядок выполнения работы

Задание 1.

- Ознакомиться с лекцией № 9 и ответить письменно на вопросы:

1. Что называется случайной величиной? Что называется дискретной случайной величиной?

2. Что называется законом распределения дискретной случайной величины?

3. Какие числовые характеристики ДСВ вы знаете?

4.  Какими свойствами обладают  математическое ожидание и дисперсия?

- Записать в тетрадь решение задач на числовые характеристики ДСВ

Лекция 9

Определение дискретной случайной величины

Различают два вида случайных величин: дискретные и непрерывные.
Определение: Случайной называется величина, которая в результате испытания принимает только одно значение из возможного множества своих значение, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин.
Определение: Случайная величина Х называется дискретной (прерывной), если множество ее значений конечное или бесконечное, но счетное.
Другими словами, возможные значения дискретной случайной величину можно перенумеровать.
Описать случайную величину можно с помощью ее закона распределения.
ОпределениеЗаконом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями.
Закон распределения дискретной случайной величины Х может быть задан в виде таблицы, в первой строке которой указаны в порядке возрастания все возможные значения случайной величины, а во второй строке соответствующие вероятности этих значений, т.е.
x

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

где р1+ р2+…+ рn=1
Такая таблица называется рядом распределения дискретной случайной величины.
Если множество возможных значений случайной величины бесконечно, то ряд р1+ р2+…+ рn+… сходится и его сумма равна 1.
Закон распределения дискретной случайной величины Х можно изобразить графически, для чего в прямоугольной системе координат строят ломаную, соединяющую последовательно точки с координатами (xi;pi), i=1,2,…n. Полученную линию называют многоугольником распределения:

Закон распределения дискретной случайной величины Х может быть также задан аналитически (в виде формулы):
P(X=xi)=φ(xi),i =1,2,3…n

Числовые характеристики дискретной случайной величины.

Основными характеристиками ДСВ являются математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратическое отклонение.

Характеристикой среднего значения случайной величины служит математическое ожидание.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности:

Свойства математического ожидания:

1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной: 

2. Постоянный  можно выносить за знак математического ожидания:

3. Математическое ожидание произведения взаимно независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей:

4. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:

(для разности аналогично)

Характеристиками рассеяния возможных значений случайной величины вокруг математического ожидания служат, в частности, дисперсия и среднее квадратичное отклонение.

Дисперсией случайной величины Х называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

Дисперсию удобно вычислять по формуле:

Свойства дисперсии:

1. Дисперсия постоянной равна нулю:

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат:

3. Дисперсия суммы (разности) независимых случайных величин

Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?
Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.
Быстро и объективно проверять знания учащихся.
Сделать изучение нового материала максимально понятным.
Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.
Наладить дисциплину на своих уроках.
Получить возможность работать творчески.

Просмотр содержимого документа
«Математические характеристики дискретной случайной величины»

ПрактическАЯ РАБОТА№ 11

Тема: Решение задач на вычисление математических характеристик дискретной случайной величины

Цели:

  • ознакомиться с теоремами сложения и умножения вероятностей

  • научиться решать задачи на применение теорем сложения и умножения вероятностей

Оснащение занятия: конспект лекций.

Порядок выполнения работы

Задание 1.

- Ознакомиться с лекцией № 9 и ответить письменно на вопросы:

1. Что называется случайной величиной? Что называется дискретной случайной величиной?

2. Что называется законом распределения дискретной случайной величины?

3. Какие числовые характеристики ДСВ вы знаете?

4. Какими свойствами обладают математическое ожидание и дисперсия?

- Записать в тетрадь решение задач на числовые характеристики ДСВ

Лекция 9

Определение дискретной случайной величины

Различают два вида случайных величин: дискретные и непрерывные.
Определение: Случайной называется величина, которая в результате испытания принимает только одно значение из возможного множества своих значение, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин.
Определение: Случайная величина Х называется дискретной (прерывной), если множество ее значений конечное или бесконечное, но счетное.
Другими словами, возможные значения дискретной случайной величину можно перенумеровать.
Описать случайную величину можно с помощью ее закона распределения.
ОпределениеЗаконом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями.
Закон распределения дискретной случайной величины Х может быть задан в виде таблицы, в первой строке которой указаны в порядке возрастания все возможные значения случайной величины, а во второй строке соответствующие вероятности этих значений, т.е.
x






p






где р1+ р2+…+ рn=1
Такая таблица называется рядом распределения дискретной случайной величины.
Если множество возможных значений случайной величины бесконечно, то ряд р1+ р2+…+ рn+… сходится и его сумма равна 1.
Закон распределения дискретной случайной величины Х можно изобразить графически, для чего в прямоугольной системе координат строят ломаную, соединяющую последовательно точки с координатами (xi;pi), i=1,2,…n. Полученную линию называют многоугольником распределения:

Закон распределения дискретной случайной величины Х может быть также задан аналитически (в виде формулы):
P(X=xi)=φ(xi),i =1,2,3…n

Числовые характеристики дискретной случайной величины.

Основными характеристиками ДСВ являются математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратическое отклонение.

Характеристикой среднего значения случайной величины служит математическое ожидание.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности:

Свойства математического ожидания:

1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной: 

2. Постоянный  можно выносить за знак математического ожидания:

3. Математическое ожидание произведения взаимно независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей:

4. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:

(для разности аналогично)

Характеристиками рассеяния возможных значений случайной величины вокруг математического ожидания служат, в частности, дисперсия и среднее квадратичное отклонение.

Дисперсией случайной величины Х называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

Дисперсию удобно вычислять по формуле:

Свойства дисперсии:

1. Дисперсия постоянной равна нулю:

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат:

3. Дисперсия суммы (разности) независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых:

4.                                                                                                           

Средним квадратичным отклонением случайной величины называют квадратный корень из дисперсии:

Рассмотрим следующие задачи.

1.Математическое ожидание и дисперсия СВ Х соответственно равны

0,5 и 5. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины .

Решение.

Согласно свойствам математического ожидания и дисперсии, получаем:

2. Случайные величины X и Y независимы, причем  и . Найти , если .

Решение.

На основании свойств дисперсии получаем:

3. Закон распределения ДСВ Х задан таблицей распределения

1

2

3

4

Найти: 

1) Так как , т.е. , следовательно 

Т.о. закон распределения примет вид

1

2

3

4

2) Для вычисления дисперсии воспользуемся формулой:

Сначала найдем математическое ожидание ДСВ Х2 для этого составим закон распределения этой СВ. Напоминаю, что для этого необходимо каждое значение ДСВ Х возвести в квадрат, а вероятности оставляем прежними. При одинаковых значениях ДСВ вероятности складываем.

 

3) Найдем среднее квадратичное отклонение:

4) 

4. Функция распределения ДСВ Х имеет вид

Найти: 

Решение.

Составляем закон распределения ДСВ Х (т.е. выполняем операцию обратную той, которую мы делали в предыдущей статье)

0

1

2

3

Составляем закон распределения ДСВ Х2

0

1

4

9

5. Независимые случайные величины X и Y заданы таблицами распределения вероятностей

10

20

 

30

40

50

Найти  двумя способами:

1. Составив предварительно таблицу распределения СВ ;

2. Используя правило сложения дисперсий.

Решение.

Составим таблицу распределения ДСВ .

Найдем 

10+30=40

20+30=50

10+40=50

20+40=60

10+50=60

20+50=70

Т.о. значения ДСВ Z таковы: 

Найдем соответствующие им вероятности:

Получаем ряд распределения СВ Z 

40

50

60

70

2. Используя правило сложения дисперсий: 

Задачи для самостоятельного решения

Задание 2. Решите предложенные задачи на вычисление числовых характеристик ДСВ

Задание 1. Составить закон распределения случайной величины Х .

Для заданного закона распределения найти М(x), Д(x), (x).

п – порядковый номер учащегося по списку в журнале.

xi

п – 10

п – 6

п – 2

п

п + 1

п + 3

п + 5

п + 8

pi

0,17

0,03

0,16

0,07

0,12

0,4

0,04

0,01

Задание 2. Составить закон распределения случайной величины Х. Найти числовые характеристики случайной величины x (x – выигрыш владельца одного лотерейного билета).

  • В лотерее разыгрываются N билетов;

  • m из них выигрывают по А рублей;

  • k из них выигрывают по В рублей;

  • p из них выигрывают по С рублей.

Задание 3. Найти числовые характеристики случайной величины “х”. Варианты:

Контроль знаний обучающихся:

  • проверить практическую работу;

Требования к оформлению практической работы:

Задание должно быть выполнено в тетради для практических работ

Работу сдать после занятия





Получите в подарок сайт учителя

Предмет: Математика

Категория: Уроки

Целевая аудитория: 11 класс.
Урок соответствует ФГОС

Скачать
Математические характеристики дискретной случайной величины

Автор: Трушникова Галина Петровна

Дата: 13.06.2018

Номер свидетельства: 473233

Похожие файлы

object(ArrayObject)#863 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(145) "Лекция по теме"Методика расчета вероятностей и числовых характеристик для НСВ""
    ["seo_title"] => string(93) "liektsiia-po-tiemie-mietodika-raschieta-vieroiatnostiei-i-chislovykh-kharaktieristik-dlia-nsv"
    ["file_id"] => string(6) "286431"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1454339466"
  }
}
object(ArrayObject)#885 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(177) "Формирование элементарных математических представлений у детей старшего дошкольного возраста "
    ["seo_title"] => string(109) "formirovaniie-eliemientarnykh-matiematichieskikh-priedstavlienii-u-dietiei-starshiegho-doshkol-nogho-vozrasta"
    ["file_id"] => string(6) "237176"
    ["category_seo"] => string(21) "doshkolnoeObrazovanie"
    ["subcategory_seo"] => string(7) "prochee"
    ["date"] => string(10) "1444240968"
  }
}


Получите в подарок сайт учителя

Видеоуроки для учителей

Курсы для учителей

Распродажа видеоуроков!
1490 руб.
2130 руб.
1750 руб.
2500 руб.
1850 руб.
2640 руб.
1650 руб.
2350 руб.
ПОЛУЧИТЕ СВИДЕТЕЛЬСТВО МГНОВЕННО

Добавить свою работу

* Свидетельство о публикации выдается БЕСПЛАТНО, СРАЗУ же после добавления Вами Вашей работы на сайт

Удобный поиск материалов для учителей

Проверка свидетельства