Школьный тур олимпиады по математике для учащихся 8 классов

Олимпиада. 8 класс. Школьный тур.

Задача 1.

В 2000 году каждый из президентов 15 республик бывшего Советского Союза послал в подарок на день рождения каждому из остальных президентов торт с таким числом свечек, сколько лет исполнилось юбиляру. Могло ли так случиться, что всего было послано 12000 свечек?

Задача 2.

Отдав продавцу 100 рублей, покупатель получил столько рублей сдачи, сколько он купил литров молока. Найти цену литра молока, если известно, что она выражается четным числом рублей.

Задача 3.

Докажите, что сумма натуральных чисел от 1 до любого числа, которое оканчивается на 5, делится на 5.

Задача 4.

В некотором «стаде» сороконожек и трехголовых драконов всего 26 голов и 298 ног. У каждой сороконож­ки одна голова. Сколько ног у трехголового дракона?

Задача 5.

Решите уравнение х² + 5у² + 4ху + 2у + 1= 0.

Олимпиада. 8 класс. Школьный тур.

Задача 1.

В 2000 году каждый из президентов 15 республик бывшего Советского Союза послал в подарок на день рождения каждому из остальных президентов торт с таким числом свечек, сколько лет исполнилось юбиляру. Могло ли так случиться, что всего было послано 12000 свечек?

Решение.

Нет. Каждому президенту прислали 14k свечек, если ему исполнилось k лет, поэтому общее число свечек должно делиться на 14.

Задача 2.

Отдав продавцу 100 рублей, покупатель получил столько рублей сдачи, сколько он купил литров молока. Найти цену литра молока, если известно, что она выражается четным числом рублей.

Решение.
Пусть х руб. – цена 1л молока; если бы она была на 1 руб. дороже, то сдача бы не потребовалась, и поэтому х + 1 является, как следует из второго условия задачи, нечетным делителем числа 100, т.е. х = 4 или х = 24. Оба значения удовлетворяют условиям задачи.

Задача 3.

Докажите, что сумма натуральных чисел от 1 до любого числа, которое оканчивается на 5, делится на 5.

Решение.

Сумма первых 5 чисел (1+2+3+4+5=15) кратна 5. Сумма каждых следующих 5 чисел увеличивается на 25.

Задача 4.

В некотором «стаде» сороконожек и трехголовых драконов всего 26 голов и 298 ног. У каждой сороконож­ки одна голова. Сколько ног у трехголового дракона?

Решение.

Заметим, что: 1) число голов у дракона делится на 3, а число сороконожек не может превышать 7 (иначе ног будет больше, чем 298), следовательно, сороконожек либо 2, либо 5; 2) если сороконожек 2, то тогда драконов 8, и на каждого из них приходится ног, что невозможно; 3) если сороконожек 5, то драконов 7 и, таким образом, у дракона 14 ног.

Задача 5.

Решите уравнение х² + 5у² + 4ху + 2у + 1= 0.

Решение.

Преобразуем выражение к виду: (х + 2у)² + (у + 1)² = 0, а это возможно только если х + 2у = 0 и одновременно у + 1 = 0.

Ответ: у = –1, х = 2.