Сборник заданий №21 ЕГЭ по математике

Приемы и методы решения заданий №21 ЕГЭ по математике

Экзамен по математике ― один из обязательных предметов итоговой аттестации учеников выпускного 11 класса. ЕГЭ по математике  стал частью нашей реальности, избежать его невозможно, поэтому нужно правильно организовать процесс подготовки.

Изучив итоги государственной итоговой аттестации выпускников города Соликамска, в частности статистику решения задач №21 за последние три года можно сделать вывод , что большинство выпускников, приступивших к решению задания С6 ( №21) не справились с ним. Получить даже 1 балл из 4 возможных удаётся не многим.

Год	2012	2013	2014
справилось % на 0 баллов	76,62	78,9	91,2
справилось % на 1 балл	5,45	0,7	7,1
справилось % на 2 балла	1,04	0,2	1,8
справилось % на 3 балла	0,26	0,00	0,00
справилось % на 4 балла	0,00	0,00	0,00

Олимпиадная задача №21, а по-старому С6, на первый взгляд, кажется очень сложной и требующей определенных, глубоких знаний. Но, зная некоторые приемы и применяя логику, решить ее становится в несколько раз легче. На это и нацелена данная исследовательская работа – помочь учащимся разобраться в приемах, с помощью которых можно решить задание № 21.

Актуальность данной работы в том, что исследовательский проект направлен на создание учебного пособия, составленного на реальных контрольно-измерительных материалах 2010-2014 годов и содержит приёмы и методы решения некоторых из них. Справочное пособие ориентировано на учеников 10-11классов, но так же оно будет интересно и учащимся 9 классов, которые тоже сдают экзамены. Мы считаем, что данная работа будет актуальной, так как она предоставляет способы по решению задачи, за которую на экзамене дается 4 балла. Кроме того, приёмы и методы, рассматриваемые в сборнике могут быть очень полезны при решении других заданий ЕГЭ по математике.

1. Делимость, признаки делимости.

Теоретический материал.

а∈N (число а принадлежит натуральным числам)

• Число а делится на 2, когда его последняя цифра четна;

• Число а делится на 3, когда сумма его цифр делится на 3;

• Число а делится на 4, когда число, состоящее из двух последних цифр числа а, делится на 4;

• Число а делится на 5, когда последняя цифра этого числа оканчивается на 0 или 5;

• Число а делится на 7, когда разность между числом десятков и удвоенным числом единиц делится на 7. (Например, 371:7 т.к. 37-1*2=35, а 35:7).

• Число а делится на 8, когда число, состоящее из трех последовательных конечных цифр делится на 8;

• Число а делится на 9, когда сумма цифр этого числа делится на 9;

• Число а делится на 10, когда последняя цифра этого числа равна 0;

Все эти свойства можно комбинировать между собой. Например, число а делится на 15, когда сумма цифр этого числа делится на 3 и оно оканчивается на 5 или 0. Таким образом, все вышеперечисленные свойства можно легко комбинировать между собой.

• Число а называется простым, если оно делится только на 1 и на само себя;

• Если помимо 1 и самого числа, у него есть другие делители, то такое число называется составным;

• 1 не является ни простым, ни составным числом;

• Если наибольший общий делитель двух чисел =1, то такие числа называются взаимообратными.

Разбор задач.

Задача 1. Докажите, что произведение любых пяти последовательных чисел делится на 30.

Решение. Разделим число 30 на простые множители: 30= 2*3*5. Мы имеем пять последовательных чисел, следовательно, среди них найдется хотя бы 2 числа, делящихся на 2; хотя бы одно число, делящееся на 3 и хотя бы одно число, делящееся на 5. Таким образом, произведение всех пяти последовательных чисел будет делиться на 30.

Задача 2.  На доске написано число 8. Раз в минуту Вася дописывает на доску одно число: либо вдвое большее какого-то из чисел на доске, либо равное сумме каких-то двух чисел, написанных на доске (таким образом, через одну минуту на доске появится второе число, через две ― третье и т.д.). 

а) Может ли в какой-то момент на доске оказаться число 2012?

б) Может ли в какой-то момент сумма всех чисел на доске равняться 72?

Решение. а) Очевидно, что все числа на доске будут делиться на 8, следовательно, их сумма также будет делиться на 8. Разделим 2012:8=251,5, нацело не делится, значит, на 8 делиться не будет. Б) Достаточно привести пример, допустим, 72=8+ 16+ 32+16. Ответы: а) – нет; б) – да.

Задачи для самостоятельного решения.

• Найдите наибольшее четырехзначное число, все цифры которого различны и которое делится на 2, 5, 9, 11.

• Какое наименьшее натуральное число не является делителем числа 50! ( a! обозначает произведение всех натуральных чисел от 1 до а включительно)?

3. На доске написано число 7. Раз в минуту Вася дописывает на доску одно число: либо вдвое большее какого-то из чисел на доске, либо равное сумме каких-то двух чисел, написанных на доске (таким образом, через одну минуту на доске появится второе число, через две ― третье и т.д.). 

а) Может ли в какой-то момент на доске оказаться число 2012?

б) Может ли в какой-то момент сумма всех чисел на доске равняться 63?

в) Через какое наименьшее время на доске может появиться число 784?

2. Среднее арифметическое.

1.Теоретический материал.

Среднее арифметическое – отношение суммы величин к их количеству: .

Среднее геометрическое – число, которым можно заменить каждое из чисел, чтобы их произведение не изменилось:

Для любых неотрицательных членов а₁; а₂ … а_n выполняется неравенство:

, причем равенство обеих частей достигается только при равенстве всех членов.

2.Разбор задач.

1. Набор состоит из тридцати девяти натуральных чисел, среди которых есть числа 3, 4, 6. Среднее арифметическое любого тридцати одного числа этого набора меньше 2.

а) Может ли такой набор содержать ровно шестнадцать единиц?

б) Может ли такой набор содержать менее шестнадцати единиц?

Решение. а) Рассмотрим случай, при котором в 31 число входит наименьшее количество единиц: 39-31=8. 8 единиц не входят в 31 число, а другие 8 входят. Так как в наше множество могут входить только натуральные числа, значит следующее наименьшее число, которое мы можем взять – 2. У нас получается следующее выражение: , которое меньше 2. Следовательно, такой набор может содержать ровно 16 единиц.

б) Проверим, возможно ли, что такой набор будет содержать 15 единиц, этого будет достаточно для ответа на вопрос под буквой б. Теперь среди 31 числа будет лишь 7 единиц:

. По условию, среднее арифметическое должно быть строго меньше двух. Значит, пятнадцать единиц не может быть, а меньше 15 – тем более. Такой набор не может содержать меньше 16 единиц.

Ответы: а) да; б) нет.

3.Задачи для самостоятельного решения.

1. Среднее арифметическое трех натуральных чисел в раза больше, чем среднее арифметическое обратных чисел. Найдите эти натуральные числа.

2. На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно -3, среднее арифметическое всех положительных из них равно 4, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно -8.

а) Сколько чисел написано на доске?

б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?

в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?

3. В вершинах 100-угольника расставлены числа так, что каждое равно среднему арифметическому своих соседей. Докажите, что все они равны.

3. Десятичная запись числа.

1.Теоретический материал.

Любое натуральное число N можно представить в виде записи:

а*10˟+ … b*10³+ с*10²+d*10¹+е*10º; где х – натуральное число; а, в, с, d, е – цифры от 0 до 9, но при этом а≠0.

Например, 1995= 1*10³+9*10²+9*10¹+5*10º так же можно записать: 1995=1*1000+9*100+9*10+5*1, т.е. 1995=1000+900+90+5

2.Разбор задач.

1. Найдите все двузначные числа, которые равны сумме цифры десятков и квадрата цифры, стоящей в разряде единиц.

Решение. 10*а+b – двузначное число. По условию получаем: 10*а+b=а+b². 10*а-а=b²-b

9a=b(b-1) т.к. а и b – цифры ⇒ а=8; b=9.

2. Дано двузначное число. Первую цифру этого числа поменяли со второй. Докажите, что разность между этими числами всегда будет делиться на 9.

Решение. 10*а+b-(10b+а) – разность между числами. 10*а+b-(10b+а)=10*a+b-10*b-a=9a-9b= =9(a-b). Следовательно, разница между этими числами всегда будет делиться на 9.

3. Двузначное число умножили на произведение его цифр. В ответе получилось трехзначное число из одинаковых цифр, совпадающих с цифрой в разряде единиц исходного числа. Какое двузначное число мы умножали?

Ответ: 37.

Решение. Во-первых, составим уравнение. 10*а+b – исходное число; 100b+10b+b – результат умножения. Следовательно, получаем уравнение – (10*a+b)*a*b=111*b. Обе части делим на b. Получаем (10*а+b)*а=111. Распишем число 111 на множители: 111=3*37. Так как а – цифра ⇒ а≠37, а=3 ⇒ 10*3+b=37; b=37-30 ⇒ а=3; b=7 исходное число=37.

3. Задачи для самостоятельного решения.

1. Сумма квадратов цифр двузначного числа равна 61. Если от этого двузначного числа отнять 9, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найдите число.

2. Двузначное число в 5 раз больше суммы своих цифр, а квадрат этой суммы в 1,8 раз больше самого числа. Найдите это число.

3. Докажите, что квадрат натурального числа, оканчивающегося цифрой 5, оканчивается на 25.

4.НОД, НОК, разложение на простые множители.

1.Теоретический материал.

Любое составное число можно представить в виде произведения простых чисел (о них говорилось в 1 пункте – Делимость, признаки делимости). Разложение числа на простые множители очень часто встречается в заданиях С6, как промежуточное действие.

Например: 1666=2*7*7*17.

НОК – наименьшее общее кратное двух или более чисел. Чтобы найти НОК, нужно разложить все числа на простые множители, найти повторяющиеся и выписать их только ОДИН раз. Далее выписать остальные, и все это перемножить. Например:

НОК( 60;72)=2*2*3*2*3*5=360 60=2*2*3*5 72=2*2*2*3*3.

НОД – наибольший общий делитель двух или более чисел. Чтобы найти НОД, необходимо так же разложить числа на простые множители, найти общие и выписать ТОЛЬКО их. Например:

НОД(50; 175; 325)=5*5=25 50=2*5*5 175=5*5*7 325=5*5*13

2.Разбор задач.

1. По кругу в некотором порядке по одному разу написаны числа от 9 до 18.

Для каждой из десяти пар соседних чисел нашли их наибольший общий делитель.

а) Могло ли получиться так, что все наибольшие общие делители равны 1?

б) Могло ли получиться так, что все наибольшие общие делители попарно различны?

в) Какое наибольшее количество попарно различных наибольших общих делителей могло

при этом получиться?

Решение. а) Да, все НОД могут быть равны единице. Пример:

18; 17; 10; 9; 16; 15; 14; 13; 12; 11.

б) Допустим, что все НОД попарно различны. Их десять, поэтому среди них найдётся дву-

значное число. Если два различных числа имеют двузначный НОД, то хотя бы одно из них

больше 20. Но в нашем наборе такого числа нет — противоречие.

в) Из предыдущего пункта следует, что количество попарно различных НОД не превосходит девяти. Далее, НОД двух чисел данного набора не может равняться 7 или 8, так как на 7 делится только 14, а на 8 — только 16. Значит, количество попарно различных НОД не более семи.

Пример расстановки, при которой количество различных НОД равно семи:

15; 9; 18; 12; 16; 17; 13; 11; 14; 10.

В самом деле, НОД(18, 9) = 9, НОД(9, 15) = 3, НОД(15, 10) = 5, НОД(10, 14) = 2,

НОД(16, 12) = 4, НОД(12, 18) = 6, а остальные НОД равны 1.

3.Задачи для самостоятельного решения.

1. Натуральные числа a, b и с таковы, что НОК (a, b) = 60, НОК (a, с) = 270. Найдите НОК (b, с).

2. Найдите все пары натуральных чисел, разность которых 66, а их наименьшее общее кратное равно 360.

3. Найдите все пары натуральных чисел, наименьшее общее кратное которых равно 78, наибольший общий делитель равен 13.

5. Диофантовы уравнения.

1. Теоретический материал.

Для решения уравнений в целых числах, или диофантовых уравнений, существует несколько методов.

• Разложение уравнения на множители.

А) Вынесение за скобки общего множителя: a*b+a*c = a*(b+c)

Б) Группировка: a*b+a*c+d*b+d*c = a*(b+c)+d*(b+c) = (a+d)*(b+c)

В) Применение формул сокращенного выражения. Стоит отметить, что при решении уравнения в целых числах с помощью формул зачастую остается остаток. Например: х²+10*х*у+16*у² = х²+10*х*у+25*у²-9у² = (х+5у) ²-(3у)².

• Выражение одной переменной через другую, с последующим выделением целой части.

• Введение новой переменной.

После применения одного или нескольких из вышеперечисленных методов нужно рассматривать:

• Свойства делимости чисел.

• Четность и нечетность.

• Промежутки на числовой прямой, если существуют какие-либо ограничения, или же подставлять положительные и отрицательные числа вместо переменных.

• Использовать метод перебора.

Все эти правила достаточно общие и неполные, поэтому при решении диофантовых уравнений можно прибегать к самым нестандартным способам решений, а каких-либо конкретных способов для получения верного ответа - нет.

2. Разбор задач.

1. Решите уравнение в целых числах: m²-n²=15

Решение. Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов:

(m-n)*(m+n)=15 , т.к. это уравнение нужно решить в целых числах, разложим число 15 на простые множители, произведение которых будет давать само число 15. Главное помнить, что нас просили решить в целых числах, следовательно, необходимо брать не только положительные, но и отрицательные значения:

(m-n)*(m+n) = 15*1 = (-1)*(-15) = 3*5 = (-3)*(-5). Далее, составляем системы уравнений, например:

2m=16; m=8 2m=16; m=8

n= -7 n= 7

Так, у нас должно появиться 8 пар ответов. Ответы: (-8;-7),(-8;7),(-4;-1),(-4;1),(4;-1),(4;1),(8;-7),(8;7).

2. Решите уравнение в целых числах: 2x²-7x-2xy+y= -4.

Решение. Сперва выразим у через х: -y(2x-1) = -(2x²-7x+4); выделим у, разделив правую часть на –(2х-1):

; почленно разделим правую часть на 2х-1:

; т.к. - должно быть целым числом (у, х – по условию целые числа) ⇒ составляем следующие системы:

х=1; у=-1 х=0; у=-4 Ответ: (1; -1), (0; -4).

3.Задачи для самостоятельного решения.

1. Решить в целых числах: у-х-ху=2.

2. Решить уравнение в целых числах: х+у=х²-ху-у²

6. Прогрессии

1.Теоретический материал.

1) Арифметическая прогрессия - это последовательность чисел, в которой каждый член получается из предыдущего путем прибавления к нему одного и того же числа d, называемого разностью этой арифметической прогрессии.

- первый член прогрессии; d – разность прогрессии.

Формулы суммы прогрессии:

2) Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число.

b_n=b₁*q^n-1 , где b_{1 –} первое число прогрессии, q – знаменатель прогрессии, n – номер члена прогрессии.

Формула суммы геометрической прогрессии: q≠1

2.Разбор задач.

1. Можно ли привести пример пяти различных натуральных чисел, произведение которых равно 1512 и

а) пять;

б) четыре;

в) три

из них образуют геометрическую прогрессию?

Решение. Разложим число 1512 на простые множители: 1512=2*2*2*3*3*3*7*1=2³*3³*7*1. Как мы видим, тройка и двойка повторяются по три раза. Следовательно, если даже знаменатель прогрессии будет числом дробным, тогда при 4 и 5 числах, состоящих в прогрессии, одно и два из них соответственно, будут дробными. Итак, приходим к выводу, что может быть только три числа из пяти состоящих в геометрической прогрессии, причем важно указать, что эта прогрессия будет начинаться с единицы. Так мы получим соответствующую прогрессию, при которой первый член – 1; второй – 1*q; третий – 1*q². Таким образом, при умножении получим q³ умноженные на остальные два члена. Приведем пример. Пусть знаменатель геометрической прогрессии будет 3. Тогда наши члены – 1; 3; 9. 1512:(3*9)=56. Возьмем любые два множителя 56, например 14 и 4. Это и будут оставшиеся два числа. Значит, мы получили числа: 1; 3; 4; 9; 14. Ответ: а) нет; б) нет; в) да.

3. Задачи для самостоятельного решения.

1.В арифметической прогрессии a₁= -85, a₁₉ – ее первый положительный член. Какие значения может принимать разность прогрессии?

2. Три числа, сумма которых равна 12, образуют арифметическую прогрессию. Если второе оставить без изменения, а первое и третье увеличить на один, то получится геометрическая прогрессия. Найдите эти числа.

3. Сумма модулей конечной арифметической прогрессии равна 100. Если все ее члены увеличить на 1, то сумма модулей членов полученной прогрессии будет также равна 100. Какие значения при этих условиях может принимать величина n²d, где d – разность прогрессии, а n – число ее членов?

4. В арифметической прогрессии a₂₀₌ 30 и a₃₀ =20. Найдите a_50.

Заключение

Конечным результатом работы стал сборник, охватывающий максимальное количество известных задач С6. Каждый пункт состоит из трех частей: теоретический материал; разбор задач; задачи для самостоятельного решения.

В теоретическом материале написаны основные формулы, правила, которые необходимо знать, чтобы решать 21 задание.

В разборе задач указано направление, по которому стоит идти, решая подобные задания. Следует помнить, что, прежде всего, необходимо включать логику и, решая задачи на экзамене, писать очень подробно, указывая все нюансы (напр. выборку корней, причину по которой были не взяты те или иные ответы, область допустимых значений и др.)

Задачи для самостоятельного решения также не рекомендуется упускать, уповая на то, что теоритический материал и разбор задач был понят. Напомним, что задания охватывают множество самых разнообразных видов задач и указанный материал может применяться только в середине или даже в конце решения. Чтобы научиться решать такие задания, необходимо привлекать весь изученный курс математики, искать различные способы решения, смотреть на задачу со всех сторон. Постепенно, если решать по несколько таких задач в день или даже в неделю, используя различные сборники и интернет ресурсы, можно неплохо подготовиться к экзаменам. Спустя время ученик поймет, что после таких тренировок и запоминания теоретической части, он подготовил себя не только к данному заданию, но и к другим номерам из первой и второй части ЕГЭ по математике.