Решение заданий по математике повышенного и высокого уровня сложности ГИА И ЕГЭ

Решение 12 заданий из сборников ГИА и ЕГЭ по математике. Урок подготовки к экзаменам в 11кл.

Укажите наименьшее значение ?, при котором уравнение имеет ровно один корень.

Решение уравнений подобного рода сводится к нахождению корней числителя и исключения из их числа корней знаменателя. Ввиду этого уравнение может иметь ровно один корень в двух случаях:

1) если числитель имеет один корень, который не является корнем знаменателя;

2) числитель имеет 2 корня, но один из них является корнем знаменателя.

В первом случае дискриминант числителя D = 1 - 4·? должен быть равен 0, откуда получим 4·? = 1 и ? = 0,25.

Во втором случае дискриминант числителя должен быть положителен, но один из его корней должен равняться корню знаменателя:

2·x+3=0,

2·x=-3,

x=-1,5.

Применив к числителю теорему Виета (учитывая, что x1=-1,5), из соотношения x1+x2=1 получим x2=2,5. Из соотношения x1·x2 =? найдем ?= -1,5·2,5 = -3,75.

Ответ: -3,75.

Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?

Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.

Быстро и объективно проверять знания учащихся.

Сделать изучение нового материала максимально понятным.

Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.

Наладить дисциплину на своих уроках.

Получить возможность работать творчески.

=> ПОЛУЧИТЬ СУПЕРСПОСОБНОСТИ УЧИТЕЛЯ <=

Просмотр содержимого документа
«Решение заданий по математике повышенного и высокого уровня сложности ГИА И ЕГЭ »

ТЕМА:

«Решение заданий повышенного и высокого уровня сложности ГИА И ЕГЭ»

(решение уравнений и упрощение выражений)

Иваненко Елены Александровны,

учителя математики и информатики

Заречненской ОШ І-ІІІступеней,

Джанкойского района

Пример 1. Решить уравнение , x≠, где n ϵ Ζ.

Для решения заданного тригонометрического уравнения можно использовать замену переменных. Это можно выполнить несколькими способами.

Не выполняя никаких преобразований уравнения, обозначить, тогда

, так как

Выразить через , привести все дроби к общему знаменателю и использовать основное тригонометрическое тождество Тогда

Также можно выполнить преобразования, если использовать преобразования sin2x, а
Кроме того, можно заметить, что заданное уравнение рассматривается как квадратное в зависимости от параметра а. Тогда его записываем так:

Его дискриминант .

При выполнении обратной замены для решения уравнения вида можно использовать разные способы: или замена , или выразить через и выполнить преобразования.

Решение. Если , тогда . Тогда заданное уравнение равносильно уравнению , то есть Отсюда .

Обратная замена даёт или .

При x≠, где n ϵ Ζ выполняем замену и получаем равносильное уравнение.

Для уравнения ,

Уравнение имеет корни тогда и только тогда, когда его дискриминант будет неотрицательным:

Тогда

+ +

-1 - 1

При этих значениях получаем Тогда

Для уравнения ,

Уравнение имеет корни тогда и только тогда, когда его дискриминант будет неотрицательным:

тогда

+ +

- -

При этих значениях получаем Тогда

Изобразим на оси параметра a особые точки (и определим, при каких значениях параметра можно пользоваться выделенными ответами:

-1 - 1

Ответ: 1) если , то

2) если , то

3) если , то корней нет.

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. Тогда .

Если , то при любых значениях имеем корни

Если . Дальше решение разбиваем на два случая:

, то нет корней.
, то .

Для записи полученных ответов необходимо уточнить, при каких значениях а выполняются ограничения и Для этого решаем соответственные неравенства:

Если , тогда то есть.

Если , тогда или , то есть.

Чтобы сделать запись ответа более наглядным, изображаем ось параметра и отмечаем на ней все особенные значения параметра, которые получились в процессе решения.

По этому рисунку видно, что при ,1), а при , 1),2).

Ответ:1) при

2) при ,

Пример 3. log ²₂ х + log₂ х - 2= 0

ОДЗ: х 0.

Пусть log₂ х = у, получим

у² + у – 2 = 0,

у = -1, у= 2.

Вернемся к переменной х:

Если у=-1, то log₂ х = -1, х=

Если у=2, то log₂ х = 2, х= 4.

0, значит х=– корень логарифмического уравнения

4 0. значит х=4 – корень логарифмического уравнения.

Ответ: 0,5; 4

Для решения другого типа логарифмических уравнений применяется метод логарифмирования.

Пример 4 . х^log₃^x= 81.

Возьмем логарифмы по основанию 3 от обеих частей, получим:

log₃х ^log₃^x= log₃81, ОДЗ: х 0.

log₃х log₃х= 4

log ²₃х = 4

log₃х = 2 или log₃х = -2

х= 9, х=1/9

9 0, значит х=9 – корень логарифмического уравнения

0, значит х= – корень логарифмического уравнения.

Ответ: ; 9.

Пример 5. x^lgx= x¹⁰⁰

x^lgx= x¹⁰⁰

lgx^lgx= lgx¹⁰⁰

lgx ·lgx - 100 ·lgx = 0

lgx (lgx - 100) = 0

lgx=0, lgx – 100=0

x = 1 x=10¹⁰⁰

Проверка.

1⁰=1¹⁰⁰, 10¹⁰⁰=10¹⁰⁰

Ответ: 1; 10¹⁰⁰

Пример 7. lg10 + lg(271+)=2

lg10 + lg(271+)=2

lg(271+)=2-1

lg(271+)=1

lg(271+)=3

271+=1000

=729

⁼3⁶

=6, 2·x=36, x=18

Проверка.

lg10 + 1/3 lg(271+)=2, 2=2

Ответ: 18

Пример 8. 4 –lgx=3

4 –lgx=3

ОДЗ: x 0, x ≥ 1

lgx ≥ 0

= t, lgx = t²

t²+ 3·t – 4=0

t₁= -4, t₂= 1

= -4 – нет решений

= 1, lgx=1, x=10

Ответ: 10

Пример 9.При каких а уравнение имеет единственное решение 2 lg (x+1) = lg(x)

2 lg (x+1) = lg(x)

Решение: (х+1)² = ·х, х² + 2·х + 1 – ·х = 0, х² + х ·(2-) + 1 = 0

х+1 0, х -1, х -1,

1 случай: D=0,

=0, =4;

х² + х (2-) + 1 = 0

х² -2х + 1 = 0

х=1 -1, Итак =4

2 случай: уравнение f(х)=0, где f(х)=х²+ х(2-) + 1 имеет два корня, удовлетворяющие двойному неравенству х₁ ₂f (-1)

Ответ:

Пример 10. При каких а уравнение имеет единственное решение 2 lg (x+4) = lg(x)

2 lg (x+4) = lg(x)

Решение: (х+4)² = х, х² + 8·х + 16 – х = 0, х² + х ·(8-) + 16 = 0

х+4 0, х -4, х -4,

1 случай: уравнение имеет 1 корень

D=0,

=0, =16;

х² + х· (8-) + 16 = 0

х² -8·х + 16 = 0

х=4 -1, Итак =16

2 случай: уравнение f(х)=0, где f(х) = х² + х (8-а) + 16 имеет два корня, удовлетворяющие двойному неравенству х₁ ₂f (-4)

Ответ: а

Пример 11. Решить уравнение

(5х + 1)²+ 2(5х + 1)(х² + 1) + (х² + 1)² = 4,

записать в ответ сумму корней.

(5х + 1)²+ 2·(5х + 1)·(х² + 1) + (х² + 1)² = 4.

Выполним замену: (5х + 1) = a и (х² + 1) = b

Получим уравнение:

Отсюда: или

Обратная замена:

Найдем сумму корней:

Ответ:-10

Пример 12. Найдите значение выражения tg2 α + ctg2 α , если tg α - ctg α = 4.

Заданное равенство tg α - ctg α = 4 возведем в квадрат, получим:

(tg α - ctg α)² = 16;

tg² α - 2 tg α· ctg α + ctg² α = 16,

учитывая, что tg α ·ctg α = 1, получим:

tg² α - 2 + ctg² α = 16,

tg² α + ctg² α = 16 + 2 = 18.

Ответ: 18.

Пример 13.Укажите наименьшее значение ɑ, при котором уравнение имеет ровно один корень.

Решение уравнений подобного рода сводится к нахождению корней числителя и исключения из их числа корней знаменателя. Ввиду этого уравнение может иметь ровно один корень в двух случаях:

1) если числитель имеет один корень, который не является корнем знаменателя;

2) числитель имеет 2 корня, но один из них является корнем знаменателя.

В первом случае дискриминант числителя D = 1 - 4·ɑ должен быть равен 0, откуда получим 4·ɑ = 1 и ɑ = 0,25.

Во втором случае дискриминант числителя должен быть положителен, но один из его корней должен равняться корню знаменателя:

2·x+3=0,

2·x=-3,

x=-1,5.

Применив к числителю теорему Виета (учитывая, что x₁=-1,5), из соотношения x₁+x₂=1 получим x₂=2,5. Из соотношения x₁·x₂ =ɑ найдем ɑ= -1,5·2,5 = -3,75.

Ответ: -3,75.