В курсе математики одно из важных мест отводится решению показательных уравнений. Впервые обучающиеся встречаются с показательными уравнениями в группах НПО на втором году обучения, а в группах СПО на первом году обучения. Показательные уравнения встречаются и в заданиях ЕГЭ. По этому изучению методов их решения должно быть уделено значительное внимание. При решении показательных уравнений часто возникают трудности, связанные со следующими особенностями: - приведения алгоритма решения показательных уравнений; - при решение показательных уравнений, обучающиеся производят преобразования, которые равносильно исходным уравнениям; - при решении показательного уравнения вводят новую переменную и забывают возвращаться к обратной замене. Предлагаемое пособие представляет с собой ответы на решение показательных уравнений для самостоятельных работ и успешной сдачи ЕГЭ.
Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?
Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.
Быстро и объективно проверять знания учащихся.
Сделать изучение нового материала максимально понятным.
Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.
Просмотр содержимого документа
«Сборник для решения показательных уравнений»
Сборник для решения показательных уравнений
Введение
В курсе математики одно из важных мест отводится решению показательных уравнений. Впервые обучающиеся встречаются с показательными уравнениями в группах НПО на втором году обучения, а в группах СПО на первом году обучения. Показательные уравнения встречаются и в заданиях ЕГЭ. По этому изучению методов их решения должно быть уделено значительное внимание. При решении показательных уравнений часто возникают трудности, связанные со следующими особенностями: - приведения алгоритма решения показательных уравнений; - при решение показательных уравнений, обучающиеся производят преобразования, которые равносильно исходным уравнениям; - при решении показательного уравнения вводят новую переменную и забывают возвращаться к обратной замене. Предлагаемое пособие представляет с собой ответы на решение показательных уравнений для самостоятельных работ и успешной сдачи ЕГЭ.
Цель данного сборника : изучить теоретический материал по теме, проанализировать данную тему в учебниках по алгебре и начала анализа, систематизировать задания ЕГЭ на решение показательных уравнений, систематизировать и обобщить методические рекомендации по решению показательных уравнений. Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:
- изучить требования государственных стандартов по теме «Показательные уравнения»;
- проанализировать материал по теме в учебниках алгебры и начал анализа;
- систематизировать методы решения показательных уравнений ;
- систематизировать и обобщить методические особенности изучения данной темы. Пособие содержит два раздела. В первом разделе определяются показательное уравнение, свойства степеней, типы показательных уравнений и методы их решения с образцами решения. Во втором разделе представлены ряд примеров встречаемые в заданиях ЕГЭ. В конце предоставлены ответы к этим заданиям. Данное пособие можно использовать как на занятиях, так и для индивидуального обучения, а также для тех , кто хочет углубить свои знания по теме: «Показательные уравнения».
Определение.Уравнение, содержащее неизвестное в показателе степени, называется показательным.
Должны помнить! При решении показательных уравнений часто используется:.
Рассмотрим основные типы показательных уравнений и методы решения.
1. Простейшее показательное уравнение вида:
ax = b, где a0; b 0, a ≠ 1, имеет решение x = .
Пример 1. Решите уравнение 2x= 3.
Решение: x = Ответ:
2. Для решения уравнений вида: af(x) = b, где a0; b0, a ≠ 1, нужно представить основания а в виде степени одного и того же числа, после чего сравнить показатели.
Пример 2. Решите уравнение 52х+4 = 25.
52х+4 = 52.
2х + 4= 2
2х = 2 – 4
2х = -2
х =-2:2
х = -1.
Ответ: -1.
3. Показательное уравнение вида
af(x)= aȹ(x) , a0, a ≠ 1
решается путём логарифмирования обеих частей уравнения по основанию а . Равносильное ему уравнение
Пример 4. (ЕГЭ) Укажите промежуток, которому принадлежит корень
уравнения 0,1х-1 = 16.
1). (-1;1]; 3). (-3; -1];
2). (1;10]; 4). (16; 20].
Решение. Представим числа и 16 в виде степени числа 2:
= = 2-5 и 16 = 24
Получим уравнение, равносильное данному:
(2-5)0,1х-1 = 24, т.е. 2-5 (0,1х - 1) = 24.
Такое уравнение равносильно уравнению
-5(0,1х - 1) = 4
-0,5х + 5 = 4
-0,5х = 4 – 5
-0,5х = -1
х = -1 : (-0,5)
х = 2.
Число 2 содержится в промежутке (1;10], указанном в качестве одного из вариантов ответов. Следовательно , верный ответ 2.
Пример 4. (ЕГЭ) Найдите сумму квадратов корней уравнения -5 = 9-2х.
1) 26 2) 25 3) 17 4)13.
Решение. Используя свойства степеней, преобразуем правую часть уравнения: 9-2х = (32)-2х = 3-4х
Данное уравнение примет вид: -5 = 3-4.
Из свойств монотонности показательной функции следует, что показательные уравнение равносильно уравнению
х2 – 5 = -4х.
Решим квадратное уравнение х2 + 4х -5 = 0
D = b2 – 4ac
=
D = 42 – 4 * 1 * (-5) = 16 + 20 = 36 0, уравнение имеет два корня:
= = = = 1
= = = = -5.
Так как квадратное уравнение равносильно исходному уравнению полученные корни являются конями и данного уравнения. В прочем можно проверить и непосредственной подстановкой, что числа -5 и 1 являются корнями данного уравнения. Таким образом, сумма квадратов корней уравнения -5 = 9-2х равна (-5)2 + 12 = 25 +1 = 26.
Номер верного ответа - 1
4. Уравнение вида a0a2x + a1ax + a2 = 0.
Это уравнение называется трёхчленным показательным уравнением. Подставка ax= yобращает его в обычное квадратное уравнение a0y2x+ a1y + a2 = 0. Решив его, найдем корни y1и y2. После этого решение исходного уравнения сводится к решению двух уравнений ax= y1, ax= y2. Последние уравнения имеют решение при y10 и y20.
Пример 5. Решить уравнение 22x- 2x - 2=0.
Решение. Пусть 2x= y, тогда уравнение примет вид
y2 – y – 2 = 0
D = (-1)2 – 41 (-2) = 9 0, 2 корня
a) 2x = 2; b) 2x = -1, нет решения, т.к. -1
2x = 21
x = 1
Ответ: 1.
Пример 6. Решить уравнение 9x – 3x– 6 = 0
Решение. Первый член уравнения можно представить в виде 9x = 32x = (3x)2. Тогда исходное уравнение примет вид (3x)2 – 3x – 6 = 0. Обозначим 3x = y, тогда имеем y2 – y – 6 = 0
y1 = 3; y2 = -2.
a) 3x = 3 b) 3x = -2 – нет решения, т.к. -2
x = 1
Ответ: 1.
5. Уравнение вида
Это уравнение решается путём вынесения общего множителя за скобки.
Пример 7. Решить уравнение
2x+1 + 32x-1 – 52x + 6 = 0
Решение. Вынесем за скобки общий множитель 2x-1, получим
2x-1 ( 22 + 3 – 52 ) = -6
2x-1 ( -3 ) = -6
2x-1 = -6 : ( -3 )
2x-1 = 2
x - 1 = 1
x = 2
Ответ: 2
6. Уравнение вида , где f(x) – выражение, содержащее неизвестное число; a 0; a ≠ 1.
Для решения таких уравнений надо:
1. заменить 1 = a0; af(x) = a0;
2. решить уравнение f (x) = 0
Пример 8. Решить уравнение
Решение.
По определению степени с нулевым показателем имеем:
II. (ЕГЭ) Укажите какому промежутку принадлежит корень уравнения:
1. 34x+5 = 81
1) (-1;0] 2) (0;3] 3) (3;4] 4) (4;+∞]
2. 45x-8 = 64
1) (-∞; -3] 2) (-3; -2] 3) (-2;0] 4) (0; 3]
3. 63x+5 = 36
1) (-∞;-8] 2) (-8;0] 3) (0;20) 4) [20;+∞)
4. 25-3x= 16
1) (-3;-1) 2) [-1;0) 3) (0;1) 4) [1;3)
5. 25x-6 = 8
1) (-3;-1) 2) [-1;0) 3) (0;1] 4) (1;3)
6. 610x-1 = 36
1) (-4;-1) 2) [-1;0) 3) (0;1) 4) [1;4)
7. 52x-2.3 = 125
1) [0;1) 2) [1;2) 3) [2;10) 4) [10;+∞)
8. 34x+1 = 9
1) [-2;0] 2) (0;1) 3) [1;3] 4) [4;6]
9. 22x+3 = 8
1) [-1;1] 2) (1;2) 3) [2;4) 4) [4;6]
10. 52x+1 = 125
1) [-2;0] 2) (0;2) 3) [3;4] 4) [4;6]
11. 25x+1 = 4
1) [-4;-2] 2) [-2;-1] 3) [-1;1] 4) [1;4]
12. 5x+3 =125
1) [-6;-4] 2) [-4;-3] 3) [-3;1] 4) [1;3]
13. 62x+2 = 216
1) [0;1] 2) [1;3] 3) [-2;0] 4) [4;6]
14. 72x+2 = 343
1) [-4;-3] 2) [-3;-2] 3) [-2;0] 4) [0;2]
15. 33x+3 = 9
1) [-1;1] 2) [1;2] 3) [2;4] 4) [4;5]
16. 23x+1 = 8
1) [-6;-4] 2) [-4;-2] 3) [-2;2] 4) [2;4]
17. 4x+6 = 16
1) [-7;-5] 2) [-5;-3] 3) [-3;0] 4) [0;6]
18. 0,12x= 1003x+1
1) [-] 2) [; 1] 3) (-1;-0.5) 4) (0.5;1)
19. 0.2x-0.5 = 0.04x-1
1) [-1] 2) [1] 3) (-1;0) 4) (1.5; 3)
20. 0.008x= 51-2x
1) [-1; 1.5] 2) [0; 8] 3) (-1; -0.5) 4) (0.5;1)
III. Найдите сумму квадратов корней уравнения
1. = 2-3x
1) 9 2) 0 3) 4 4)
2. = 3-3x
1) 9 2) 1 3) 8 4)
3. =
1) 10 2) 4 3) 8 4) 0.04
4. = 0.56-3x
1) 10 2) 13 3) 37 4) 0.25
5. = 0,04x
1) 0 2) 2 3) 1 4) 0.25
6. = 9-2x
1) 26 2) 25 3) 17 4) 13
7. = 2-3x
1) 9 2) 0 3) 4 4)
8. = 3-3x
1) 9 2) 1 3) 8 4)
Ответы
I. Решить уравнения
№
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Ответ
5
-3
1
-1
1
1
2
2
1
1
0
5,5
5,5
0,2
-2
№
16
17
18
19
20
21
22
23
24
Ответ
1
0;
1
1
2√3
-
№
25
26
27
28
29
30
31
32
33
Ответ
-
-
-2
4
1,5
2,5
9
8
0,4
№
34
35
36
37
38
39
40
41
42
Ответ
2
3
1
3
-4;3
2,5
1
1
3
№
43
44
45
46
47
48
49
50
Ответ
2
1;0
0;2
1;0
1
-1;-2
-1
0
II. (ЕГЭ) Укажите какому промежутку принадлежит корень уравнения
№
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Ответ
1
4
2
3
4
3
3
2
1
2
№
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Ответ
3
3
1
4
1
3
2
1
2
1
III. Найдите сумму квадратов корней уравнения
№
1
2
3
4
5
6
7
8
Ответ
1
2
1
2
2
1
1
2
Дополнительные примеры:
1. 43-2x = 42-x
2. 25x+1 = 42x
3. 53 = 25x+0,5
4. 8x = 4x-1
5. 2x = 32
6. =
7. =
8. 5x-4 = 252
9. = 1
10. =
11. 4x +2x -24 = 0
12. 9x – 4 * 3x – 45 = 0
13. 4x – 3 * 2x = 40
14. 24x – 50 * 22x = 896
15. 72x – 6 * 7x – 7 = 0
16. 9x – 8 * 3x – 9 = 0
17. 16x + 4 * 4x – 5 = 0
18. 4x -9 * 2x + 8 = 0
19. 36x – 4 * 6x – 12 = 0
20. 64x – 8x – 56 = 0
21. 7x+2 + 4 * 7x+1 = 539
22. 2x+1 + 3 * 2x-1 – 5 * 2x + 6 = 0
23. 7x + 7x+2 = 350
24. 7 * 5x – 5x+1 = 2 * 53
25. 3x+2 + 4 * 3x+1 = 21
26. 51+2x + 52x+3 = 650
27. 6x+1 + 35 * 6x-1 = 71
28. 4x+1 +4x = 320
29. 3x+1 – 2 * 3x-2 = 25
30. 23x+2 – 23x-2 = 30
31. 1+ = 2x
32. 5x-1 =
33. 4x = 5 – x
34. 3-x = -
35. 2-3x = 2x – 3
36. 3 * 22x + 6x -2 * 32x = 0
37. 2 * 22x – 5 * 2x * 3x + 3 * 32x =0
38. 3 * 16x + 2 * 81x = 5 * 36x
39. 3 * 42x – 4x * 9x + 2 * 92x = 0
40. 6 * 4x – 13 * 6x + 6 * 9x = 0
41. 3 * 22x + * 9x+1 – 6 * 4x+1 = - * 9x+2
42. 4x + 3x-1 = 4x-1 + 3x+2
43. =
44. 7x-5 * – 49 * + 3 * 7x-5 = 147
45. 3 * 2x+1 +2 * 5x-2 = 5x + 2x-2
46.
47. 0,125 * 2-4х-16 =
48.
49. 23+2х =
50. =
51. (0,2)х+0,5 = (0,04)х
52. = 8х-1
53. 32(х+8)(х-4) = 0,25 *
54. 5х+1 = 5х-1
55. 7х+1 - 7х + 2 * 7х-1 – 14 * 7х-2 = 48
56. 32х-1 – 9х + = 675
57. 52х-1 + 5х+1 = 250
58. – 5 * + 4 = 0
59. 22+х + 22-х = 17
60. 2х+1 * 5х = 10х+1 * 5х+2
61. 2х * 5х-1 = 200
62. * =
63. * * =
64. 7х+1 + 3 * 7х = 3х+2 + 3х
65. 9х – 5х – 32х * 15 + 5х+1 * 3 = 0
66. 25х – 7х – 7 * 52х+1 + 5 * 7х+1 = 0
67. 9х + 6х – 2 * 4х = 0
68. 4 * 22х – 6х = 18 * 9х
69. 4х = 2 * 10х + 3 * 25х
70. 64 * 9-х – 84 * 12-х + 27 * 16-х = 0
71. + - = 0
72. 8х + 8 = 3 * 4х + 3 * 2х+1
73. 3-12х-1 – 9-6х-1 – 27-4х-1 + 811-3х = 2192
74. + = 4
75. + = 14
Заключение
Подведя итоги можно сделать следующие выводы:
1, Показательные уравнения представляют интерес для обучающихся. При решении показательных уравнений развиваются навыки систематизации, логического мышления при выборе правильного метода решения, повышает творческие и умственные способности.
2. Для каждого вида уравнений трудности могут возникнуть при определения метода решения.
В курсе алгебры и начала анализа, в заданиях ЕГЭ часто встречаются показательные уравнения. На уроках на изучение этой темы уделяется мало времени, в учебниках показаны не все методы решения показательных уравнений, приведено мало примеров для самостоятельного решения. По этому данное пособие поможет обучающимся глубже вникнуть в решение, усвоить программный материал данной темы для успешной сдачи письменного экзамена за курс общеобразовательной школы, а также для желающих при сдаче ЕГЭ.
Литература
Математика в таблицах и схемах. Для школьников и абитуриентов. СПб, ООО «Виктория плюс», 2004, 224 с.
Математика. Контрольные измерительные материалы единого государственного экзамена в 2004 г. М.: Центр тестирования Минобразования России, 2004.
Система тренировочных задач и упражнений по математике/ А.Я. Симонов, Д.С. Бакаев, А.Г. Эпельман и др. - М.: Просвещение, 1991. -208 с.
Готовимся к единому государственному экзамену. Математика/ J1.0. Денищева, Е. М. Бойченко, Ю.А. Глазков и др. - 2 -е изд., стереотип. - М.: Дрофа, 2004,- 120 с.
Единый государственный экзамен: математика: 2004 - 2005: Контрол. измерит, материалы / Л. О. Денищева, Г.К. Безрукова, Е.М. Бойченко и др.; под ред. Г.С. Ковалёвой; М - во образования и науки Рос. Федерации. Федерал. служба по надзору в сфере образования и науки. - М. : Просвещение, 2005. - 80 с.
Математика. Тренировочные тесты ЕГЭ 2004 - 2005 / Т.А. Корешкова, В.В. Мирошин, Н.В. Шевелёва. - М.6 Изд - во Эксмо, 2005.- 80 с. (Подготовка к ЕГЭ)
