Решение задач по теории вероятности несколькими способами.

Решение задач по теории вероятности несколькими способами.

( Для уроков математики и факультативных занятий при подготовке к ЕГЭ)

Подготовила Пирожик Г.К.,

учитель математики

МКОУ СШ №2 г.Котельниково.

Умение решать задачу различными способами связывается с развитием гибкости мышления и играет определенную роль в развитии умственных способностей и математического мышления. Рассмотрим решение задач по теории вероятности различными способами, что способствует более глубокому осознанию задачной ситуации и развивает наблюдательность и математическую зоркость. 

Задача 1.

В ящике 4 красных и 2 синих фломастера. Фломастеры вытаскивают по очереди в случайном порядке. Какова вероятность того, что первый раз синий фломастер появится третьим по счету?

Решение.

1 способ.

Изобразим с помощью дерева возможные исходы. 4+2=6-всего фломастеров. Последовательность исходов, приводящая к событию «первый раз синий фломастер появится третьим по счету» выделена оранжевым цветом.

Искомая вероятность равна

Ответ: 0,2.

2 способ.

4+2=6-всего фломастеров. Если первый раз синий фломастер вынимают третьим, то в первые два раза должны были вынуть красные фломастеры. То есть, нужно найти вероятность события: К К С

(здесь К – красный фломастер; С – синий фломастер). Эти события зависимые между собой. Вероятность выбрать первый красный фломастер, равна:

(так как мы имеем изначально 4 красных и 2 синих фломастера). Затем, в ящике остаются три красных фломастера, а всего их 5, получаем вероятность выбора второго красного фломастера:

Наконец, выбрать третий синий фломастер – это вероятность:

(так как осталось 2 синих, а всего 4 фломастера). Искомая вероятность равна произведению этих вероятностей, имеем: Р=Р₁∙Р₂∙Р₃=

Ответ: 0,2

Задача 2.

В ящике лежат ручки: 8 синих, 6 красных и 2 зеленых. Надя достает случайным образом две ручки. Какова вероятность, что она достанет одну синюю и одну красную ручки?

Решение.

1 способ.

Будем считать все ручки различными. Результатом эксперимента является неупорядоченная пара ручек, которые достала Надя. Всего есть равновозможных способов выбрать две ручки. Пару из синей и красной ручки можно составить 6 ∙ 8 =48 способами. Следовательно, искомая вероятность равна

Ответ: 0,4

2 способ.

Всего 16 ручек. Заметим, что возможны два случая, когда выбраны одна синяя и одна красная ручка.

1) Сначала выбрали синюю и вероятность этого  , осталось 15 ручек. Потом красную, вероятность этого .

2) Сначала выбрали красную, вероятность , а потом синюю, вероятность .

Эти события несовместны, следовательно, искомая вероятность равна P(С; К) + P(К; С):

Ответ: 0,4

Задача 3. 

В кармане у Пети было 2 монеты по 5 рублей и 4 монеты по 10 рублей. Петя, не глядя, переложил какие-то 3 монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что пятирублевые монеты лежат теперь в разных карманах.

Решение:

1 способ (уменьшение групп)

Представим, что шесть монет делят на две группы по три монеты. Вероятность, что первая двухрублевая монета попадет в один из карманов (групп) = 1. Вероятность, что вторая монета попадет в другой карман = количество оставшихся мест в другом/ на количество оставшихся мест в обоих карманах 3/5 = 0,6.

Ответ: 0,6

2 способ

Задачу выполняем в несколько вариантов.

Чтобы пятирублевые монеты оказались в разных карманах, Петя должен взять из кармана одну пятирублевую и две десятирублевые монеты. Это можно сделать тремя способами: 5, 10, 10; 10, 5, 10 или 10, 10, 5. Можно изобразить это на схеме (перекладывает Петя в карман 2, поэтому будем высчитывать вероятности в колонке «карман 2»):

Вероятность происхождения какого-либо их этих 4-х вариантов равна сумме вероятностей каждого из вариантов: 

Ответ: 0,6

Задача 4. Симметричную монету бросают 10 раз. Во сколько раз вероятность события «выпадет ровно 5 орлов» больше вероятности события «выпадет ровно 4 орла»?

Решение.

1 способ (применяем формулу Бернулли)

Воспользуемся формулой Бернулли:

- вероятность наступления события k раз в n испытаниях;

p- вероятность наступления события в одном испытании;

q = 1 – p- вероятность не наступления события в одном испытании;

 C_n^k — число сочетаний. 

Найдем вероятность события А, состоящего в том, что при десяти бросаниях выпадет ровно 5 орлов:

Аналогично найдем вероятность события B, состоящего в том, что при десяти бросаниях выпадет ровно 4 орла:

Тогда

Ответ: 1,2

 

2 способ

Вероятность того, что выпадет ровно 5 орлов, равна отношению количества вариантов, при которых выпадает ровно 5 орлов, к общему количеству вариантов:   Вероятность того, что выпадет ровно 4 орла, равна отношению количества вариантов, при которых выпадает ровно 4 орла, к общему количеству вариантов:   Тогда отношение этих вероятностей 

Количество вариантов, при которых выпадет ровно 5 орлов, равно 

Количество вариантов, при которых выпадет ровно 4 орла, равно 

Тогда

Ответ: 1,2

Задача 5. Стрелок в тире стреляет по мишени до тех пор, пока не поразит её. Известно, что он попадает в цель с вероятностью 0,2 при каждом отдельном выстреле. Какое наименьшее количество патронов нужно дать стрелку, чтобы он поразил цель с вероятностью не менее 0,6?

Решение.

1 способ

Эту задачу проще решать от обратного и вычислять вероятность промаха цели при одном, двух, трех и т.д. числу выстрелов. А, затем, взять противоположную вероятность, которая будет определять поражение цели. Имеем:

- 1 выстрел. Вероятность промаха: Р=1-0,2, вероятность попадания: 1-Р=0,2 ;

- 2 выстрела. Вероятность промаха: , вероятность попадания: 1-Р=0,36;

- 3 выстрела. Вероятность промаха: , вероятность попадания: 1-Р=0,488;

- 4 выстрела. Вероятность промаха: , вероятность попадания: 1-Р=0,5904;

- 4 выстрела. Вероятность промаха: , вероятность попадания: 1-Р=0,67232.

То есть, стрелку нужно сделать 5 выстрелов (минимум).

Ответ: 5

2 способ

Вероятность попадания в мишень равна 0,2. Вероятность противоположного события — промаха — равна 1 − 0,2 = 0,8. Заметим, что вероятность попадания с n-го раза равна 1 − 0,8ⁿ. Таким образом, задача сводится к решению неравенства 1- 0,8ⁿ ≥ 0,6 0,8ⁿ ≤ 0,4

При n = 2 получаем  0,8²=0,64.  

При n = 3 получаем 0,8³=0,512.  

При n = 4 получаем 0,8⁴=0,4096.  

При n = 5 получаем 0,8⁵=0,32768.

Так как 0,32768

Ответ: 5.

Пример 6.

В тор­го­вом цен­тре два оди­на­ко­вых ав­то­ма­та про­да­ют кофе. Об­слу­жи­ва­ние ав­то­ма­тов происхо­дит по ве­че­рам после за­кры­тия цен­тра. Из­вест­но, что ве­ро­ят­ность со­бы­тия «К ве­че­ру в пер­вом ав­то­ма­те за­кон­чит­ся кофе» равна 0,25. Такая же ве­ро­ят­ность со­бы­тия «К ве­че­ру во втором ав­то­ма­те за­кон­чит­ся кофе». Ве­ро­ят­ность того, что кофе к ве­че­ру за­кон­чит­ся в обоих авто­ма­тах, равна 0,15. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что к ве­че­ру дня кофе оста­нет­ся в обоих автома­тах.

Ре­ше­ние.

1 способ

Рас­смот­рим со­бы­тия

А = кофе за­кон­чит­ся в пер­вом ав­то­ма­те,

В = кофе за­кон­чит­ся во вто­ром ав­то­ма­те.

 Тогда

A·B = кофе за­кон­чит­ся в обоих ав­то­ма­тах,

A + B = кофе за­кон­чит­ся хотя бы в одном ав­то­ма­те.

 По усло­вию P(A) = P(B) = 0,3; P(A·B) = 0,15.

 Со­бы­тия A и B сов­мест­ные, ве­ро­ят­ность суммы двух сов­мест­ных со­бы­тий равна сумме вероятно­стей этих со­бы­тий, умень­шен­ной на ве­ро­ят­ность их про­из­ве­де­ния:

 P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B) = 0,25 + 0,25 − 0,15 = 0,35.

Сле­до­ва­тель­но, ве­ро­ят­ность про­ти­во­по­лож­но­го со­бы­тия, со­сто­я­ще­го в том, что кофе останется в обоих ав­то­ма­тах, равна 1 − 0,35 = 0,65.

Ответ: 0,65.

2 способ

Ве­ро­ят­ность того, что кофе оста­нет­ся в пер­вом ав­то­ма­те равна 1 − 0,25 = 0,75. Ве­ро­ят­ность того, что кофе оста­нет­ся во вто­ром ав­то­ма­те равна 1 − 0,25 = 0,75. Ве­ро­ят­ность того, что кофе оста­нет­ся в пер­вом или вто­ром ав­то­ма­те равна 1 − 0,15 = 0,85. По­сколь­ку P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B), имеем: 0,85 = 0,75 + 0,75 − х, от­ку­да ис­ко­мая вероятность х = 0,65.

 При­ме­ча­ние.

За­ме­тим, что со­бы­тия А и В не яв­ля­ют­ся не­за­ви­си­мы­ми. Дей­стви­тель­но, ве­ро­ят­ность произве­де­ния не­за­ви­си­мых со­бы­тий была бы равна про­из­ве­де­нию ве­ро­ят­но­стей этих со­бы­тий: P(A·B) = 0,25·0,25 = 0,0625, од­на­ко, по усло­вию, эта ве­ро­ят­ность равна 0,15.

Ответ: 0,65.

Пример 7.

В ма­га­зи­не стоят два платёжных ав­то­ма­та. Каж­дый из них может быть не­ис­пра­вен с вероятностью 0,05 не­за­ви­си­мо от дру­го­го ав­то­ма­та. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что хотя бы один ав­то­мат ис­пра­вен. 

 Решение.

1 способ

Най­дем ве­ро­ят­ность того, что не­ис­прав­ны оба ав­то­ма­та. Эти со­бы­тия не­за­ви­си­мые, вероятность их про­из­ве­де­ния равна про­из­ве­де­нию ве­ро­ят­но­стей этих со­бы­тий: 0,05 · 0,05 = 0,0025.

Со­бы­тие, со­сто­я­щее в том, что ис­пра­вен хотя бы один ав­то­мат, про­ти­во­по­лож­ное. Следователь­но, его ве­ро­ят­ность равна 1 − 0,0025 = 0,9975.

 Ответ: 0,9975.

2 способ

Ве­ро­ят­ность того, что ис­пра­вен пер­вый ав­то­мат (со­бы­тие А) равна 0,95. Ве­ро­ят­ность того, что ис­пра­вен вто­рой ав­то­мат (со­бы­тие В) равна 0,95. Это сов­мест­ные не­за­ви­си­мые со­бы­тия. Ве­ро­ят­ность их про­из­ве­де­ния равна про­из­ве­де­нию ве­ро­ят­но­стей этих со­бы­тий, а ве­ро­ят­ность их суммы равна сумме ве­ро­ят­но­стей этих со­бы­тий, умень­шен­ной на ве­ро­ят­ность их произведения. Имеем:

 P(A + B)= P(A) + P(B) − P(A·B) = P(A) + P(B) − P(A)P(B) = 0,95 + 0,95- 0,95·0,95 = 0,9975.

Ответ: 0,9975.

Пример 8.

В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разу.

Решение

1 способ

Можно выписать и рассмотреть все возможные исходы 3-ёх бросаний монеты:

{ооо, ооp, оро, орр, роо, рор, рро, ррр}, где О - сокращение от "орёл", Р – сокраще-ние от "решка". Из перечисления видно, что n = 8, m = 1.

(Благоприятствующее только РРР). По формуле P(А) = 1/8 = 0,125.

Ответ: 0,125

2способ

Можно заметить, что условия испытания удовлетворяют схеме Бернулли с p = и q = и воспользоваться формулой 
P(0) = ·( )⁰∙ ( )^(3-0) = 1·( )³ = = 0,125.

Ответ: 0,125

Пример 9.

В кар­ма­не у Пети было 2 мо­не­ты по 5 руб­лей и 4 мо­не­ты по 10 руб­лей. Петя, не глядя, перело­жил какие-то 3 мо­не­ты в дру­гой кар­ман. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что пя­ти­руб­ле­вые мо­не­ты лежат те­перь в раз­ных кар­ма­нах.

Ре­ше­ние.

1способ

Чтобы пя­ти­руб­ле­вые мо­не­ты ока­за­лись в раз­ных кар­ма­нах, Петя дол­жен взять из кар­ма­на одну пя­ти­руб­ле­вую и две де­ся­ти­руб­ле­вые мо­не­ты. Это можно сде­лать тремя спо­со­ба­ми: 5, 10, 10; 10, 5, 10 или 10, 10, 5. Эти со­бы­тия не­сов­мест­ные, ве­ро­ят­ность их суммы равна сумме вероят­но­стей этих со­бы­тий:

 

Ответ: 0,6.

2способ

Ве­ро­ят­ность того, что Петя взял пя­ти­руб­ле­вую мо­не­ту, затем де­ся­ти­руб­ле­вую, и затем еще одну де­ся­ти­руб­ле­вую (в ука­зан­ном по­ряд­ке) равна

 

По­сколь­ку Петя мог до­стать пя­ти­руб­ле­вую мо­не­ту не толь­ко пер­вой, но и вто­рой или третьей, ве­ро­ят­ность до­стать набор из одной пя­ти­руб­ле­вой и двух де­ся­ти­руб­ле­вых монет в 3 раза боль­ше. Тем самым, она равна 0,6.  

Ответ: 0,6.

3способ

Ко­ли­че­ство спо­со­бов взять 3 мо­не­ты из 6, чтобы пе­ре­ло­жить их в дру­гой кар­ман, равно   Ко­ли­че­ство спо­со­бов вы­брать 1 пя­ти­руб­ле­вую мо­не­ту из 2 пя­ти­руб­ле­вых монет и взять вме­сте с ней еще 2 де­ся­ти­руб­ле­вых мо­не­ты из име­ю­щих­ся 4 де­ся­ти­руб­ле­вых монет по пра­ви­лу про­из­ве­де­ния равно   По­это­му ис­ко­мая ве­ро­ят­ность того, что пя­ти­руб­ле­вые моне­ты лежат в раз­ных кар­ма­нах, равна

 Ответ: 0,6.