Развитие логического мышления и логических действий на уроках математики в пятом классе

ГБОУ Севастопольский политехнический лицей

учитель математики

Мереуц Анна Александровна

Развитие логического мышления и логических действий

на уроках математики в пятом классе

Абсолютный национальный приоритет Российской Федерации – это развитие человека как необходимого условия прогресса современного общества. Поэтому развитие национальной системы образования по стандартам нового поколения, отвечающим требованиям современной инновационной экономики, является ключевым.

В соответствии с «Концепцией развития математического образования в Российской Федерации», утвержденной распоряжением Правительства Российской Федерации от 24 декабря 2013г. № 2506-р «Математика занимает особое место в науке, культуре и общественной жизни, являясь одной из важнейших составляющих мирового научно-технического прогресса. Изучение математики играет системообразующую роль в образовании, развивая познавательные способности человека, в том числе к логическому мышлению, влияя на преподавание других дисциплин»[1].

Для математического мышления является характерным присутствие логического компонента (понятийного, структурного, дедуктивного).

Проблема развития логического мышления исследовалась психологами в общей теории мышления (А.В. Брушлинский, Л.С. Выготский, П.Я. Гальперин, А.Н. Леонтьев, С.Л. Рубинштейн, К.А. Славская), в теории развития мышления (Д.Б. Богоявленская, Л.В. Занков, Н.А. Менчинская, З.И. Калмыкова, Т.В. Кудрявцев, И.С. Якиманская).

Говоря о логическом мышлении Л.С. Выгодский отмечает, что основными логическими формами, в которых реализуется мысль, принято считать аналитическую и синтетическую деятельность ума, то есть такие, которые сперва разлагают воспринимаемый мир на отдельные элементы, а затем строят из этих элементов новые образования, помогающие разобраться в окружающем [3].

Под логическим мышлением в психологии понимается способность и умение учащихся производить умственные действия (анализ, синтез, сравнение, обобщение и др.), а также составные логические операции (построение отрицания, утверждение и опровержение как построение рассуждения с использованием различных логических схем).

Логическое мышление подразумевает сложный системный процесс, основными формами которого являются: (производными которого являются)

- понятия;

- суждения;

- умозаключения (выводы).

Логическое мышление является важнейшим компонентом процесса познания. Поэтому с позиции федеральных государственных образовательных стандартов наиболее востребованным для преподавания математики являются познавательные универсальные учебные действия (УУД), которые включают в себя общеучебные и логические действий. Особый интерес представляют логические универсальные действия, которые имеют наиболее общий характер и направлены на установление связей и отношений в любой области знания.

Логике придается большое значение в процессе изучения математики, т.к. выполнение всех математических операций, формируемых в 5-6 классах, происходит на основе логических УУД, что является основой для дальнейшего успешного обучения по данному предмету. При их формировании необходимо опираться на следующую номенклатуру логических действий:

- анализ объектов с целью выделения признаков (существенных и

несущественных);

- синтез - составление целого из частей, в том числе самостоятельное

достраивание с восполнением недостающих компонентов;

- выбор оснований и критериев для сравнения, классификации объектов;

- подведение под понятие, выведение следствий;

- установление причинно-следственных связей, представление цепочек

объектов и явлений;

- построение логической цепочки рассуждений, анализ истинности

утверждений;

- доказательство;

- выдвижение гипотез и их обоснование [2].

Математика в 5 и 6 классах подготавливает учащихся к дальнейшему освоению программы по алгебре и геометрии в 7-11 классах.

Задачей математического образования 5-го класса является подготовка учащихся к решению заданий, которые будут встречаться в более усложненном виде в старших классах. При этом необходимо, чтобы учащиеся научились использовать алгоритм последовательности действий и логических рассуждений, результатом которых даже может быть создание собственных формул.

Начиная с 5-го класса, учащиеся знакомятся с понятиями натуральные числа и нуль, учатся выполнять математические действия с ними, формировать законы арифметических действий, записывать их с помощью букв, преобразовывать на их основе числовые выражения и т.д.

Помимо предметных результатов учащиеся научаться использовать приёмы рационального вычисления, анализировать и осмысливать текст задачи, извлекать необходимую информацию, строить логическую цепочку рассуждений, решать математические задачи, выполнять несложные практические расчёты.

В частности, необходимо будет различать ситуации по нахождению количества чисел или их сумму «от числа a до b включительно» или «между a и b». Приведем пример такого задания.

Сколько чисел расположено между числами 1 и 10?

Решение: не составляет труда сосчитать эти числа : 2,3,…9

Всего 8.

Рассмотрим аналогичную задачу.

Найти количество чисел между 38 и 67.

Решение: 39,40, …66.

Всего 28.

В обоих случаях решение состоит в перечислении этих чисел. Затем арифметически они складываются.

А если задача состоит в нахождении количества чисел от числа а до числа в, где а и в - любые натуральные числа.

Именно простые на первый взгляд задачи дают возможность учащимся проследить закономерность и вывести формулу нахождения количества чисел между а и b : b-а-1.

Проверим:

количество чисел между числами 1 и 10 мы нашли. Это 8.

Исходя из формулы 10-1-1=8.

Также проверяем 67-38-1=28.

Ответы сходятся, следовательно, выведенная формула работает.

Аналогично будет решаться задача на нахождение всех чисел от 1 до 10 (с 1 по 10).

Все эти числа 1,2, …10. Всего 10.

Или найти количество чисел c 38 до 67.

38,39,40, …67. Всего 30.

Получаем формулу нахождения количества чисел от (с) а и до (по) b:

b-а+1.

Данные логические рассуждения помогают в решении олимпиадных задач, одну из которых мы рассмотрим.

Нумерация страниц в книге начинается с третьей страницы. Всего в книге 103 страницы. Сколько цифр напечатали для нумерации страниц?

Решение:

Прежде всего, необходимо найти количество всех страниц и по отдельности количество страниц и однозначной нумерацией, двухзначной и трехзначной.

С помощью выведенных ранее формул получаем, что всего страниц в книге:

103-3+1=101

В том числе:

однозначных страниц: 9-3+1=7

количество напечатанных цифр 7*1=7

двухзначных страниц: 99-10+1=90

количество напечатанных цифр 90*2=180

трехзначных страниц: 103-100+1=4

количество напечатанных цифр 4*3=12

Общее количество всех напечатанных цифр: 7+180+12=199

Ответ: 199 цифры напечатали для нумерации страниц.

Анализ результатов олимпиады 5-го класса показал, что 91% учащихся справились с подобной задачей.

Действия с натуральными числами изучаются на протяжении всего 5-го класса. Глава «Делимость натуральных чисел» научит формулировать определения делителя и кратного, простого и составного числа, доказывать и опровергать утверждения о делимости чисел, возможность решать задачи, связанные с использованием четности чисел и признаков делимости.

Посчитать количество натуральных двухзначных чисел, кратных 3?

Решение:

Посчитаем количество всех двухзначных чисел по выведенной ранее формуле.

Это числа от 10 до 99, поэтому их количество равно 99-10+1=90.

Теперь находим количество тех чисел, которое делятся на 3.

Так как на 3 делится каждое третье натуральное число, начиная с 1. По условию для расчета нам нужны только двухзначные числа, поэтому первые девять мы отбросили. Число 9 является последним и делится нацело на 3. Значит, начиная с 10, каждое третье число тоже будет кратно 3.

Получаем 90:3=30.

Ответ: 30 двухзначных чисел кратных 3.

Основной целью математического образования должно быть развитие умения математически, то есть, логически исследовать явления реального мира. Реализации этой цели может и должно способствовать решение на уроках математики разного рода нестандартных логических задач. Поэтому использование этих задач является не только желаемым, но даже необходимым элементом обучения математике.

В истории математики известен такой случай, когда учитель чтобы заставить учеников подумать, дал задание подсчитать сумму всех натуральных чисел от 1 до 100. Какова же было его удивление, когда уже через несколько минут один ученик сказал ему ответ: искомая сумма равна 5050! Этот ученик - Карл Фридрих Гаусс, ему было тогда 10 лет, стал одним из великих математиков мира. Решение задачи выглядело следующим образом:

101 (количество чисел) * 50 (среднее число) = 5050.

В дальнейшем не составило труда юному математику подсчитать также сумму от 1 до 200, 500, 1000 и…n числа.

А формула эта выгладит так: n*(n+1):2

На данных примерах мы видим, что математика является площадкой для освоения логических учебных действий как составной части познавательных универсальных учебных действий. Развитие логического мышления в итоге приводит к тому, что учащиеся начинают мыслить нестандартно.

Литература

1) Концепция развития математического образования в Российской Федерации. Утверждена распоряжением Правительства Российской Федерации от 24 декабря 2013г. №2506-р.

2) ФГОС ОО, раздел «Требования к условиям реализации основной образовательной программы».

3) Л.С. Выготский. Мышление и речь. Изд. 5, испр. — Издательство "Лабиринт", М. , 1999 г.

4) С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин «Математика учебник для 5 класса» - М, Просвещение 2014 г.

5) С.Г. Журавлев, В.В. Ермаков, Ю.В. Перепелкина, В.А. Свентковский «Тесты по математике 5 класс» - М, Экзамен 2015 г.

6) http://www.rg.ru/2013/12/27/matematika-site-dok.html

7) http://econf.rae.ru/article/5207