kopilkaurokov.ru - сайт для учителей

Создайте Ваш сайт учителя Курсы ПК и ППК Видеоуроки Олимпиады Вебинары для учителей

Различные способы решения квадратных уравнений.

Нажмите, чтобы узнать подробности

В статье рассматриваются 5 способов решения квардатых уравнений. Данный материал можно использовать в классах с дастаточной подготовкой детей, на кружновой работе

Просмотр содержимого документа
«Различные способы решения квадратных уравнений.»

Различные методы решения квадратных уравнений.


Проблема содействия развитию ученика в процессе обучения отнюдь не нова. Она интересовала еще мыслителей античности, общественных деятелей, писателей, педагогов и психологов разных столетий. Но в наше время эта проблема встала наиболее остро. Объем знаний, которые человек может усвоить в период школьного обучения, естественно, ограничен. Увеличение объема новой информации резко сокращает долю знаний, получаемых человеком в период школьного образования по отношению к информации, необходимой ему для полноценной деятельности в изменяющемся обществе.

Функции вида ( -квадратный трёхчлен), где а0, в школьном курсе математики придаётся большое значение. Анализируя работы выпускников школы, приходим к выводу, что при решении квадратных уравнений учащиеся в 90% случаях используют формулу «дискриминанта», а на остальные 10% приходится графический способ, теорема Виета и с помощью разложения на множители. Совсем уж дети не знают другие приемы решения квадратных уравнений. Предлагаю знакомить учащихся со следующими способами:

  1. Решение уравнений способом «переброски»

Рассмотрим квадратное уравнение

ах2 + bх + с = 0, а ≠ 0.

Умножая обе его части на а, получаем уравнение

а2 х2 + а bх + ас = 0.

Пусть ах = у, откуда х = ; тогда приходим к уравнению

у2 + by + ас = 0,

равносильного данному, где у1 и у2 - корни уравнения. Окончательно получаем х1 = и х1 = . При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его и называют способом «переброски».

  1. Свойства коэффициентов квадратного уравнения

а) Если а + b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов уравнения равна нулю), то х1 = 1, х2 = .

б) Если а - b + с = 0, или b = а + с, то х1 = – 1, х2 = – .

в) Если второй коэффициент b = 2k – четное число, то формулу корней


х1,2 = можно записать в виде х1,2 =

г) приведенное уравнение


x2 + px + q = 0


совпадает с уравнением общего вида, в котором а = 1, p и c = q. Поэтому для приведенного квадратного уравнения формула корней


х1,2 = принимает вид: х1,2 = или х1,2 = -

3. Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки.

Допустим, что искомая окружность пересекает ось абсцисс в точках B (х1 ;0) и D (х2 ;0), где х1 и х2 – корни уравнения

ах2 + bх + с = 0, и проходит через точки А (0;1) и С (0;) на

оси ординат. Тогда по теореме о секущих имеем ОВ∙ОD = ОА ∙ ОС, откуда

ОС = .



Центр окружности находиться в точке пересечения перпендикуляров

SF и SK , восстановленных в серединах хорд AC и BD, поэтому

SK = ,

SF = .

Итак:

  1. построим точки S(; ) (центр окружности) и А (0;1);

  2. проведем окружность с радиусом SA;

  3. абсциссы точек пересечения этой окружности с осью Ох являются корнями квадратного уравнения.

При этом возможны три случая.

1) Радиус окружности больше ординаты центра (ASSK, или R), окружность пересекает ось Ох в двух точках (рис.а) B (х1 ; 0) и D (х2 ;0), где

х1 и х2 – корни квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0.

2) Радиус окружности равен ординате центра (AS = SB, или R = ), окружность касается оси Ох (рис.б) в точке B (х1 ; 0 ), где

х1 – корень квадратного уравнения.

  1. Радиус окружности меньше ординаты центра (AS SВ, или R ), окружность не имеет общих точек с осью абсцисс (рис. в), в этом случае уравнение не имеет решения.

1) 2)















3)


4. Решение квадратных уравнений с помощью номограммы.


Это старый и незаслуженно забытый способ решения квадратных уравнений, помещенный на с.83 (см. Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы. – М., Просвещение, 1990).

Таблица XXII. Номограмма для решения уравнения z2 + pz + q = 0. Эта номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициентам определить корни уравнения.

Криволинейная шкала номограммы построена по формулам:

ОВ = , АВ =


Полагая ОС = р, ЕD = q, ОЕ = а ( все в см), из подобия треугольников САН и СDF получим пропорцию

,

откуда после подстановок и упрощений

вытекает уравнение z2 + pz + q = 0,

причем буква z означает метку любой

точки криволинейной шкалы.

Для уравнения

z2 + 5 z – 6 = 0

номограмма дает положительный

корень z1 = 1,0, а отрицательный

корень находим, вычитая

положительный корень

из р, т.е. z2 = р – 1 =

= 5 1 = 6,0


5. Геометрический способ решения квадратных уравнений.

В древности, когда геометрия была более развита, чем алгебра, квадратные уравнения решали не алгебраически, а геометрически. Приведем ставший знаменитым пример из «Алгебры» ал-Хорезми.

Решим уравнение х2 + 10х = 39.

В оригинале эта задача формулируется следующим образом: «Квадрат и десять корней равны 39».

Рассмотрим квадрат со стороной х, на его сторонах строятся прямоугольники так, что другая сторона каждого из них равна 2,

следовательно, площадь каждого равна 2 . Полученную фигуру дополняют затем до нового квадрата АВСD, достраивая в углах четыре

равных квадрата, сторона каждого из них 2, а площадь 6

D x C

6

2

6

2


x2

2

6

2

6

A х B

Площадь S квадрата ABCD можно представить как сумму площадей: первоначального квадрата х2, четырех прямоугольников

(4 ∙ 2 = 10х ) и четырех пристроенных квадратов(6), т.е.

S = х2 + 10х = 25. Заменяя х2 + 10х числом 39, получим что S = 39+ 25 = 64, откуда следует, что сторона квадрата АВСD, т.е. отрезок АВ = 8. Для искомой стороны х первоначального квадрата получим

= 8 – 2 – 2 = 3, .

Экспериментальное исследование по повышению эффективности изучения математики за счет использования разработанной методики проводилось нами на базе муниципального общеобразовательного учреждения лицей№8 «Олимпия» в 8-10 классах, где имелась возможность сравнивать обучение по традиционным методикам, созданной для массовой общеобразовательной школы и обучение по разработанной нами методики. Как показал эксперимент, это позволило максимально облегчить понимание наиболее существенных принципов, вовлекая в процесс обучения эмоциональную сферу, что положительно сказывается на качество обучения.


Получите в подарок сайт учителя

Предмет: Математика

Категория: Прочее

Целевая аудитория: 8 класс.
Урок соответствует ФГОС

Скачать
Различные способы решения квадратных уравнений.

Автор: Булгакова Елена Юрьевна

Дата: 04.06.2017

Номер свидетельства: 420351

Похожие файлы

object(ArrayObject)#863 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(100) "Тема : Различные способы решения квадратных уравнений."
    ["seo_title"] => string(60) "tiema-razlichnyie-sposoby-rieshieniia-kvadratnykh-uravnienii"
    ["file_id"] => string(6) "274975"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1452503032"
  }
}
object(ArrayObject)#885 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(116) "урок на тему: "Различные способы решения квадратных уравнений." "
    ["seo_title"] => string(68) "urok-na-tiemu-razlichnyie-sposoby-rieshieniia-kvadratnykh-uravnienii"
    ["file_id"] => string(6) "158539"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1421759538"
  }
}
object(ArrayObject)#863 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(126) "Различные способы решения квадратных уравнений. План-конспект урока"
    ["seo_title"] => string(75) "razlichnyie_sposoby_rieshieniia_kvadratnykh_uravnienii_plan_konspiekt_uroka"
    ["file_id"] => string(6) "432653"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1508158540"
  }
}
object(ArrayObject)#885 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(88) "Различные способы решения квадратных уравнений"
    ["seo_title"] => string(56) "razlichnyie_sposoby_rieshieniia_kvadratnykh_uravnienii_1"
    ["file_id"] => string(6) "457211"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1518554522"
  }
}
object(ArrayObject)#863 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(156) "Конспект урока по математике на тему "Различные способы решения квадратных уранений""
    ["seo_title"] => string(84) "konspiekturokapomatiematikienatiemurazlichnyiesposobyrieshieniiakvadratnykhuranienii"
    ["file_id"] => string(6) "273251"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1452174513"
  }
}



ПОЛУЧИТЕ СВИДЕТЕЛЬСТВО МГНОВЕННО

Добавить свою работу

* Свидетельство о публикации выдается БЕСПЛАТНО, СРАЗУ же после добавления Вами Вашей работы на сайт

Удобный поиск материалов для учителей

Ваш личный кабинет
Проверка свидетельства