Различные способы решения квадратных уравнений.

Различные методы решения квадратных уравнений.

Проблема содействия развитию ученика в процессе обучения отнюдь не нова. Она интересовала еще мыслителей античности, общественных деятелей, писателей, педагогов и психологов разных столетий. Но в наше время эта проблема встала наиболее остро. Объем знаний, которые человек может усвоить в период школьного обучения, естественно, ограничен. Увеличение объема новой информации резко сокращает долю знаний, получаемых человеком в период школьного образования по отношению к информации, необходимой ему для полноценной деятельности в изменяющемся обществе.

Функции вида ( -квадратный трёхчлен), где а0, в школьном курсе математики придаётся большое значение. Анализируя работы выпускников школы, приходим к выводу, что при решении квадратных уравнений учащиеся в 90% случаях используют формулу «дискриминанта», а на остальные 10% приходится графический способ, теорема Виета и с помощью разложения на множители. Совсем уж дети не знают другие приемы решения квадратных уравнений. Предлагаю знакомить учащихся со следующими способами:

1. Решение уравнений способом «переброски»

Рассмотрим квадратное уравнение

ах² + bх + с = 0, а ≠ 0.

Умножая обе его части на а, получаем уравнение

а² х² + а bх + ас = 0.

Пусть ах = у, откуда х = ; тогда приходим к уравнению

у² + by + ас = 0,

равносильного данному, где у₁ и у₂ - корни уравнения. Окончательно получаем х₁ = и х₁ = . При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его и называют способом «переброски».

1. Свойства коэффициентов квадратного уравнения

а) Если а + b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов уравнения равна нулю), то х₁ = 1, х₂ = .

б) Если а - b + с = 0, или b = а + с, то х₁ = – 1, х₂ = – .

в) Если второй коэффициент b = 2k – четное число, то формулу корней

х_1,2 = можно записать в виде х_1,2 =

г) приведенное уравнение

x² + px + q = 0

совпадает с уравнением общего вида, в котором а = 1, p и c = q. Поэтому для приведенного квадратного уравнения формула корней

х_1,2 = принимает вид: х_1,2 = или х_1,2 = -

3. Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки.

Допустим, что искомая окружность пересекает ось абсцисс в точках B (х₁ ;0) и D (х₂ ;0), где х₁ и х₂ – корни уравнения

ах² + bх + с = 0, и проходит через точки А (0;1) и С (0;) на

оси ординат. Тогда по теореме о секущих имеем ОВ∙ОD = ОА ∙ ОС, откуда

ОС = .

Центр окружности находиться в точке пересечения перпендикуляров

SF и SK , восстановленных в серединах хорд AC и BD, поэтому

SK = ,

SF = .

Итак:

1. построим точки S(; ) (центр окружности) и А (0;1);

2. проведем окружность с радиусом SA;

3. абсциссы точек пересечения этой окружности с осью Ох являются корнями квадратного уравнения.

При этом возможны три случая.

1) Радиус окружности больше ординаты центра (ASSK, или R), окружность пересекает ось Ох в двух точках (рис.а) B (х₁ ; 0) и D (х₂ ;0), где

х₁ и х₂ – корни квадратного уравнения ах² + bх + с = 0.

2) Радиус окружности равен ординате центра (AS = SB, или R = ), окружность касается оси Ох (рис.б) в точке B (х₁ ; 0 ), где

х₁ – корень квадратного уравнения.

1. Радиус окружности меньше ординаты центра (AS SВ, или R ), окружность не имеет общих точек с осью абсцисс (рис. в), в этом случае уравнение не имеет решения.