Простейшие тригонометрические неравенства

Простейшие тригонометрические неравенства

Основной способ решения тригонометрических неравенств состоит в их сведении к неравенствам вида

sinx  a,     cosx  a,     tgx  a,     ctgx  a,

(1)

где a  R, символ "" означает знак сравнения и заменяет любой из знаков "",   " ≥ ",   "

Утверждение 1. Множество решений неравенства

sinx  a

(2)

есть

1. R, если a 

2. (arcsina + 2k;  - arcsina + 2k), если -1 ≤ a 

3. Пустое множество, если a ≥ 1.

Утверждение 2. Множество решений неравенства

sinx a

(3)

есть

1. R, если a  1;

2. (- - arcsina + 2k; arcsina + 2k), если -1  a ≤ 1;

3. Пустое множество, если a ≤ -1.

Утверждение 3. Множество решений неравенства

cosx  a

(4)

есть

1. R, если a 

2. (2k - arccosa; 2k + arccosa), если -1 ≤ a 

3. Пустое множество, если a ≥ 1.

Утверждение 4. Множество решений неравенства

cosx av

(5)

есть

1. R, если a  1;

2. (2k + arccosa; 2(k + 1) - arccosa), если -1  a ≤ 1;

3. Пустое множество, если a ≤ -1.

Утверждение 5. Множество решений неравенства

tgx  a

(6)

есть 

Утверждение 6. Множество решений неравенства

tgx a

(7)

есть 

Утверждение 7. Множество решений неравенства

ctgx  a

(8)

есть (k; arcctga + k).

Утверждение 8. Множество решений неравенства

ctgx a

(9)

есть (arcctga + k; (k + 1))

Замечания. 1. Если знак неравенства (2)-(9) нестрогий, то во множестве решений неравенства включается также и множество решений соответствующего уравнения.

2. Утверждения 1-8 легко доказать используя графики и свойства соответствующих тригонометрических функций.

Упражнение 1. Решить неравенства

1)	7) ctg2x - ctgx - 2 ≤ 0;
2)	8)
3)	9)
4) -2 ≤ tgx	10) 4sinxcosx(cos2x - sin2x) x;
5) 2sin2x - 5sinx + 2 0;	11) sinxsin3x ≥ sin5xsin7x;
6)	12) sinx + sin2x + sin3x  0.

Решение. 1) Обозначив 2x = t, получим неравенство sint  ¹/₂ которое, согласноутверждению 2, имеет решения

Отсюда, учитывая что  получим

или

или

Таким образом, множество решений исходного неравенства есть

2) Используя нечетность функции синус, получим

Обозначив , получим неравенство

решения которого (см. утверждение 1 и замечание 1) есть

Отсюда, учитывая что  получим

или

3) Поскольку  неравенство примет вид  или  Используя утверждение 3 получим

Так как  следует

откуда

Данное неравенство можно решить и иначе.

4) Используя утверждения 5 и 6, получим

-2 ≤ tgx 

tgx  tgx ≥ -2,



5) Обозначим t = sinx и получим квадратное неравенство

2t² - 5t + 2 0

решение которого есть

	t 1/2,
	t  2,

Отсюда следует совокупность неравенств

	sinx  2,
	sinx 1/2,

Первое неравенство совокупности решений не имеет, а из второго получим

6) Поскольку

sin⁴x + cos⁴x = (sin²x)² + (cos²x)² = (sin²x + cos²x)² - 2sin²xcos²x =

неравенство примет вид

или  Так как  используя утверждение 3, получим

или

7) Положив t = ctgx, получим квадратное неравенство

t² - t - 2 ≤ 0

решение которого -1 ≤ t ≤ 2, откуда -1 ≤ ctgx ≤ 2. Последнее неравенство решаем используя утверждения 7 и 8

-1 ≤ ctgx ≤ 2   

ctgx ≤ 2, ctgx ≥ -1,



k + arcctg2 ≤ x  + n,     n  Z



8) Используя метод вспомогательного угла, получим

9) Сделаем подстановку tgx = t и решим неравенство используя метод интервалов

Таким образом пролучена совокупность неравенств

	0 x ≤ 1,
	tgx

которое решается используя утверждения 5 и 6

0 x ≤ 1, tgx



tgx ≤ 1, tgx  0,



10) Используя формулы синуса и косинуса двойного аргумента получим

4sinxcosx(cos²x - sin²x) x      2sin2x·cos2x x   

   sin4x x      sin6x - sin4x  0      2sinxcos5x  0.

Учитывая что 2 есть один из периодов функции f(x) = sinxcos5x и используя обобщенный метод интервалов для интервала длины 2, получим

Таким образом, множество решений данного неравенства есть обьединение множеств:

11) sinxsin3x ≥ sin2xsin4x      ¹/₂(cos2x - cos4x) ≥ ¹/₂(cos2x - cos6x)      -cos4x ≥ -cos6x     cos6x - cos4x ≥ 0      -2sinxsin5x ≥ 0      sinxsin5x ≤ 0.

Решая последнее неравенство и аналогично предыдущему примеру получим

12) sinx + sin2x + sin3x  0      (sinx + sin3x) + sin2x  0      2sin2xcosx + sin2x  0   

   sin2x(2cosx + 1) 0   

sin2x  0, cosx  -1/2, sin2x  cosx 1/2,



Упражнения для самостоятельного решения

Решить неравенства

1. tg³x + tg²x - tgx - 1 0.

2. tgx + ctgx ≤ 2.

3. sin2x x.

4. cosx + cos2x + cos3x ≥ 0.

5. 6sin²x - 5sinx + 1 0.

6. 

7. 

8. 

9. 2sin²x + 9cosx - 6 ≥ 0.

10. 

11. 

12. cos2x + sinx ≥ 0.