Алгоритм решения простейших тригонометрических неравенств и распознавание способов решения тригонометрических неравенств.

Алгоритм решения простейших тригонометрических неравенств и распознавание способов решения тригонометрических неравенств.

Учителя высшей квалификационной категории:

Ширко Ф.М. п. Прогресс, МОБУ-СОШ №6

Санкина Л.С. г. Армавир, ЧОУ СОШ «Новый путь»

Не существует универсальных приемов преподавания дисциплин естественно-математического цикла. Каждый учитель находит свои, приемлемые только для него способы преподавания.

Наш многолетний опыт преподавания показывает, что учащиеся легче усваивают материал, требующий концентрации внимания и сохранения в памяти большого объема информации, если они научены использовать в своей деятельности алгоритмы на начальной стадии обучения сложной темы. Такой темой на наш взгляд, является тема решение тригонометрических неравенств.

Итак, перед тем, как мы приступим с учащимися к выявлению приемов и способов решения тригонометрических неравенств, отрабатываем и закрепляем алгоритм решения простейших тригонометрических неравенств.

Алгоритм решения простейших тригонометрических неравенств

1. Изображаем единичную окружность.

2. Отмечаем на соответствующей оси точки (для sin x – ось ОУ, для cos x – ось ОХ)

3. Восстанавливаем перпендикуляр к оси, который пересечет окружность в двух точках.

4. Первой на окружности подписываем точку, которая принадлежит промежутку области значений аркфункции по определению.

5. Заштриховываем ту часть оси, которая соответствует данному неравенству.

6. Начиная от подписанной точки, заштриховываем дугу окружности, соответствующую заштрихованной части оси.

7. Обращаем особое внимание на направление обхода. Если обход совершается по часовой стрелке (т.е. присутствует переход через 0), то вторая точка на окружности будет отрицательной, если против часовой стрелки – положительной.

8. Записываем ответ в виде промежутка с учетом периодичности функции.

Рассмотрим работу алгоритма на примерах.

1) sin ≥ 1/2;

Решение:

1. Изображаем единичную окружность.;

2. Отмечаем на оси ОУ точку ½.

3. Восстанавливаем перпендикуляр к оси,

который пересечет окружность в двух точках.

1. По определению арксинуса первой отмечаем

точку π/6.

1. Заштриховываем ту часть оси, которая соответствует

данному неравенству, выше точки ½.

1. Заштриховываем дугу окружности, соответствующую заштрихованной части оси.

2. Обход совершается против часовой стрелки, получили точку 5π/6.

3. Записываем ответ в виде промежутка с учетом периодичности функции;

Ответ: x ;[π/6 + 2πn, 5π/6 + 2πn], n  Z.

Простейшее неравенство решается по тому же алгоритму, если в записи ответа нет табличного значения.

Учащиеся, на первых уроках решая неравенства у доски, проговаривают каждый шаг алгоритма вслух.

2) 5 cos x – 1 ≥ 0;

Решение: у

5 cos x – 1 ≥ 0;

cos x ≥ 1/5;

1. Изображаем единичную окружность.

2. Отмечаем на оси ОХ точку с координатой 1/5.

3. Восстанавливаем перпендикуляр к оси, который

пересечет окружность в двух точках.

1. Первой на окружности подписываем точку, которая принадлежит промежутку области значений арккосинуса по определению (0;π).

2. Заштриховываем ту часть оси, которая соответствует данному неравенству.

3. Начиная от подписанной точки arccos 1/5, заштриховываем дугу окружности, соответствующую заштрихованной части оси.

4. Обход совершается по часовой стрелке (т.е. присутствует переход через 0), значит, вторая точка на окружности будет отрицательной -arccos 1/5.

5. Записываем ответ в виде промежутка с учетом периодичности функции, от меньшего значения к большему.

Ответ: x  [-arccos 1/5 + 2πn, arccos 1/5 + 2πn], n  Z.

Совершенствованию умения решать тригонометрические неравенства способствуют вопросы: «Каким способом будем решать группу неравенств?»; «Чем одно неравенство отличается от другого?»; «Чем одно неравенство похоже на другое?»; Как изменился бы ответ, если было дано строгое неравенство?»; Как изменился бы ответ, если было вместо знака «» стоял знак «

Задание на анализ списка неравенств с позиций способов их решения позволяет отработать их распознавание.

Учащимся предлагаются неравенства, которые необходимо решить на уроке.

1. 2sin (x – π/4) ≥ ;

2. cos (3π/2 + x) /2;

3. cos (π + 2x) – 1 ≥ 0;

4. sin x 2/3;

5. 5cos (x – π/6) – 1 ≥ 0;

6. 4sin² 3x .

Вопрос: Выделите неравенства, которые требуют применения равносильных преобразований при сведении тригонометрического неравенства к простейшему?

Ответ 1, 3, 5.

Вопрос: Назовите неравенства, в которых требуется рассмотреть сложный аргумент как простой?

Ответ: 1, 2, 3, 5, 6.

Вопрос: Назовите неравенства, где можно применить тригонометрические формулы?

Ответ: 2, 3, 6.

Вопрос: Назовите неравенства, где можно применить метод введения новой переменной?

Ответ: 6.

Задание на анализ списка неравенств с позиций способов их решения позволяет отработать их распознавание. При формировании умений важно выделять этапы его выполнения и формулировать их в общем виде, что и представлено в алгоритме решения простейших тригонометрических неравенств.