Проект "Лист Мебиуса"

МБОУ Богородицкая СШ

Проектная работа на тему:

«Лист Мебиуса»

Выполнили:

Ученики 5 класса: Булина Яна,

Макарова Виктория

Руководитель: Шевченко Юлия Геннадьевна,

учитель математики

Богородицкое, 2018

Содержание

I.Введение

II. Основная часть

2.1. Наука топология

2.2. Лист Мёбиуса – определение.

2.3. А.Ф.Мёбиус и его поразительное открытие

2.4. Применение листа Мёбиуса.

III. Исследовательская деятельность

3.1. Анкетирование учащихся.

3.2. Практическая часть. Проведение опытов.

IV. Выводы. Применение и практическая значимость проекта

V. Заключение

VI. Перспектива исследования

VII. Список  используемой литературы.

«Не обязательно понимать этот мир.

Нужно лишь найти себя в нем…»

А. Энштейн

1. Введение

1)  Актуальность. Что побудило нас к созданию проекта по математике?

Однажды Юлия Геннадьевна показала нам необычную геометрическую фигуру, сказала, что называется она Лист Мёбиуса, и у нее необычные свойства. Она предложила тем, кто захочет, узнать об этой фигуре как можно больше. Нам это показалось интересным. Так возникла идея этого проекта. Мы с Юлией Геннадьевной наметили план работы, сроки выполнения, промежуточные консультации. Первым источником, к которому она посоветовала нам обратиться, была энциклопедия «Математика». Из нее мы узнали о великом ученом и получили первоначальные сведения о его открытии.

Мы хотим рассказать об удивительной поверхности, которая имеет только одну сторону и относится к «математическим неожиданностям». Хотя лист Мёбиуса был открыт ещё в XΙX веке, он был актуален и в XX веке. Интерес к листу Мёбиуса не угас и в наши дни.  Удивительные свойства листа Мёбиуса использовались и используются в технике, в физике, в живописи, в архитектуре, в оформлении ювелирных изделий, бижутерии и даже в кулинарии. Он вдохновляет на творчество многих писателей и художников. Нас очень заинтересовала и заинтриговала эта тема. Мы изучили литературу, изготовили лист Мебиуса,  проводили исследования, ставя опыты, изучая его волшебные, необыкновенные свойства. 

Многие знают, что такое лист (лента) Мёбиуса, но  тем, кто ещё не знаком с ним и его свойствами, мы предлагаем вместе с нами провести исследование и окунуться в светлое чувство познания. Это ведёт к более глубокому осмыслению математики как прикладной науки.

Новизна работы заключается в том, что учащиеся нашей школы выявлением свойств листа Мёбиуса ранее не занимались. Мы провели анкетирование и из анкеты видно, что многие не слышали об этом листе ничего и не знают о его свойствах.

Основополагающий вопрос.

Только ли математикам интересен лист Мёбиуса?

Объект исследования: лист Мёбиуса как модель односторонней поверхности.

Предмет исследования:  свойства листа Мебиуса

Все знают, что такое "поверхность". Поверхность стола, бумаги, поверхность стен комнаты, поверхность земного шара известны всем. Может ли быть что-нибудь неожиданное и даже таинственное в таком обычном понятии? Пример листа Мёбиуса показывает, что может.

Исследовательский проект по содержанию является монопредметным (математика), по стилю исполнения межпредметным (математика, информатика).

Основными этапами исследования были:

• постановка проблемы,

• анкетирование,

• изучение литературы с целью получения информации о листе Мёбиуса,

• сбор собственного материала,

• проведение экспериментов,

• разработка нового электронного продукта.

Цель работы: исследовать поверхность листа Мебиуса и его свойства.

Для достижения данной цели мы поставили перед собой следующие задачи:

1) Изучить историю открытия листа Мёбиуса.

2) Изготовить лист Мёбиуса и исследовать  его свойства.

3) Найти объекты в окружающем мире, имеющие функциональные сходства с листом  Мёбиуса.

4) Установить области применения листа Мебиуса в повседневной жизни.

5) Создать презентацию в Microsoft Power Point.

Гипотеза исследования:  Мы предполагаем, что лист Мёбиуса действительно обладает неожиданными свойствами.

Для того чтобы решить эту проблему, мы должны изучить нужную информацию в математической литературе и на различных сайтах Интернета, затем изготовить лист Мебиуса и с помощью опытов выявить его необыкновенные свойства.

Вид проекта – информационно-исследовательский.

Методы исследования:

• поисковый;

• аналитический;

• экспериментальный;

• описательный

Готовый продукт – модель листа Мебиуса, мультимедийная презентация.

1. Основная часть

2.1. Наука топология.

Лист Мёбиуса - один из объектов области математики под названием "топология" (по-другому - "геометрия положения"). Топология изучает свойства таких фигур, которые не изменяются при деформациях (растяжение, сжатие), не допускающих разрывов и склеивания. Топология известна и под именем «Резиновая геометрия». Любую фигуру тополог имеет право сгибать, сжимать, скручивать и растягивать-делать с ней все, что угодно, только не разрывать и не склеивать. И при этом он будет считать, что ничего не произошло, все ее свойства остались неизменными.

С точки зрения топологии баранка и кружка – это одно и то же. Например, сжимая и растягивая кусочек резины, можно перейти от одного из этих тел ко второму. А вот баранка и шар – разные объекты, чтобы сделать отверстие, надо разорвать резину.

Топология – одна из наук, результаты исследования которой применяются в математике, технике, экономике.

2.2. Лист Мёбиуса – определение.

У любого тонкого объекта, такого как лист бумаги, кусок ткани, доска или пластинка, как правило, две поверхности: наружная и внутренняя. Может ли у листа бумаги быть только одна поверхность? «Может!». И таким листом является лист Мёбиуса.

Лист Мёбиуса – бумажная лента, повернутая одним концом на пол-оборота (то есть на 180 градусов), и склеенная с его другим концом.

Лист Мёбиуса является простейшей односторонней поверхностью, т.е.

пройдя вдоль всей его «средней линии» с поднятым вверх флажком, мы вернёмся в исходную точку — но флажок будет теперь «поднят» в другую сторону. Это значит, что флажок, не пересекая плоскость, попал из «внешности» во «внутренность».

Лист Мёбиуса назван так в честь немецкого математика А. Мёбиуса, открывшего его необычайные топологические свойства в 1858г.

2.3. А.Ф.Мёбиус и его поразительное открытие

Август Фердинанд Мёбиус (1790-1868) – немецкий геометр, ученик «короля математиков». Мёбиус был первоначально астрономом, как Гаусс. В те времена изучение математики не встречало поддержки, а занятие астрономией приветствовалось. С 1816 года начал вести самостоятельные астрономические наблюдения в Плейсенбургской обсерватории, в 1818 г. стал ее директором, позже – профессором Лейципгского университета (Мёбиусу было всего тогда 26 лет). Научные статьи, лекции, работа. Все как у обычного профессора университета. Рассеянного, доброго чудака студенты боготворили. Он мог назначить лекцию на два часа ночи, чтобы показать ночное небо во всей его красе. Занимаясь астрономией, Мёбиус много размышлял о математике.

Одним «неожиданным» математическим открытием является лента Мёбиуса. Рассказывают, что открыть свой  «лист» Мёбиусу помогла служанка, сшившая однажды неправильно концы ленты.

На улице шел дождь. Была выкурена трубка, выпита чашка любимого кофе с молоком. Вид из окна навевал тоску. В кресле сидел мужчина. Мысли были разные, но как-то ничего особенного не приходило на ум. Только в воздухе витало ощущение, что именно этот день принесет славу и увековечит имя Августа Фердинанда Мебиуса.

На пороге комнаты появилась любимая жена. Правда, она была не в хорошем расположении духа. Правильнее сказать, она была разгневана, что для мирного дома Мебиусов было почти так же невероятно, как три раза в год увидеть парад планет, и категорически требовала немедленно уволить служанку, которая настолько бездарна, что даже не способна правильно сшить ленту.

Хмуро разглядывая злосчастную ленту, профессор воскликнул: «Ай да, Марта! Девочка не так уж глупа. Ведь это же односторонняя кольцевая поверхность. У ленточки нет изнанки!»

Эта история произошла в 1865 году.

Мёбиус сделал поразительное открытие – получил поверхность, которая имеет лишь одну сторону (до него считалось, что любая поверхность, например, лист бумаги, имеет две стороны). Открытая поверхность получила математическое обоснование и имя в честь описавшего ее математика и астронома. Лента вдохновила на подвиги не одного добряка-профессора. Взял ее на вооружение и цех парижских портных. Отныне в качестве экзамена для новичка, претендовавшего на зачисление в цех, было пришивание к подолу юбки тесьмы в форме ленты Мебиуса. Оценили по достоинству невольное изобретение Марты и учителя. Неугомонным нерадивым ученикам предлагалось покрасить стороны ленты Мебиуса в разные цвета. Пыхтя от усердия, школяры проводили за этим занятием немало времени.

Главная ценность листа Мёбиуса состоит в том, что он дал толчок новым обширным математическим исследованиям. Его часто считают символом современной математики.

2.4. Применение листа Мёбиуса.

Удивительные свойства ленты Мёбиуса используются в самых различных изобретениях.

2.4.1.Применение листа Мёбиуса в технике.

Существуют технические применения ленты Мёбиуса. Полоса ленточного конвейера выполняется в виде ленты Мёбиуса, что позволяет ему работать дольше, потому что вся поверхность ленты изнашивается равномерно.

Также в системах записи на непрерывную плёнку применяются ленты Мёбиуса (чтобы удвоить время записи).

Во многих матричных принтерах красящая лента также имеет вид листа Мёбиуса для увеличения её ресурса.

Устройство под названием резистор Мёбиуса — это недавно изобретённый электронный элемент, который не имеет собственной индуктивности.

Были созданы особые кассеты для магнитофона, которые дали возможность слушать магнитофонные кассеты “с двух сторон”, не меняя их местами. 

Лист Мёбиуса применяют  в детских заводных игрушках,  в конструкции стабилизатора штурвала рулевого привода, в щелевом затворе фото- или кинокамеры.

В метро ручка эскалатора, не что иное как лента Мёбиуса. Это  позволяет ей равномерно изнашиваться, и продлевает срок службы резины.

В 1971 году изобретатель с Урала Чесноков П.Н. применил фильтр в виде листа Мёбиуса. И это только ничтожная часть примеров использования этой удивительной поверхности.

2.4.2 Лист Мёбиуса в литературе

Чудесные свойства ленты породили многочисленные фантастические рассказы. Например рассказ Артура Кларка «Стена Темноты». Иногда научно-фантастические рассказы предполагают, что наша вселенная может быть некоторым обобщенным листом Мёбиуса.

В рассказе А. Дейча “Лента Мебиуса” описывался случай в Нью-Йоркском метро. Однажды случилось так, что пути метрополитена пересеклись, и весь он стал напоминать огромную ленту Мебиуса. Поезда один за другим стали исчезать, появляясь снова только через несколько месяцев.

Листу Мёбиуса посвящены стихи. Одно из стихотворений «Лист Мёбиуса» написано Н. Ю. Ивановой

Лист Мебиуса – символ математики,

 Что служит высшей мудрости венцом…

 Он полон неосознанной романтики:

 В нем бесконечность свернута кольцом.

В нем – простота, и вместе с нею – сложность,

                              Что недоступна даже мудрецам:

                              Здесь на глазах преобразилась плоскость

                               В поверхность без начала и конца.              

Как о порог, об этот ноль споткнешься.

Но как бы ни был прежний путь тернист,

Вновь выбирай (и ты не ошибешься!)

Путь в бесконечность – Мёбиуса лист.

2.4.3. Графическое искусство и скульптура

Лист Мёбиуса служит вдохновением для скульптур и для графического искусства. Морис Эшер был одним из художников, кто особенно любил лист и посвятил несколько своих литографий этому математическому объекту. Одна из известных — лист Мёбиуса, показывает муравьёв, ползающих по поверхности ленты Мёбиуса.

В  МОСКВЕ на станции метро «Фрунзенская», напротив кинотеатра «Горизонт», есть памятник «Ленте Мёбиуса».

В качестве примера использования ленты Мебиуса российскими художниками можно привести скульптуру «Лента Мебиуса и шар», созданную Александром Эткало. У входа в Музей истории и техники в Вашингтоне медленно вращается на пьедестале стальная лента, закрученная на полвитка.

Целую серию скульптур в виде листа Мебиуса создал скульптор Макс Билл.

Гигантская скульптура «Древо жизни» сочетает в себе мотивы древесной коры, человеческого сердца и «Листа Мёбиуса», символизирующие творческий союз искусства и науки.

Небольшие скульптуры с изображением листа Мёбиуса являются украшением парков и скверов г. Минск. Скверик около Центральной Научной библиотеки имени Якуба Коласа.

Лента Мебиуса вдохновила многих художников на создание известных картин и для графического искусства.

2.4.4. Архитектура

О ленте Мебиуса ходит очень много легенд, одна из которых заключается в том, что если посмотреть сквозь эту ленту на мир под каким-то особенным углом, можно увидеть его совсем в другом свете. Интересен в этом смысле проект «Дом Мёбиус», построенный по принципу ленты Мёбиуса. Дом возведен в 1992-1998гг. в Голландии. Он представляет собой сосуществование двух параллельных миров (в каждом – офис и спальня), соединяющихся в некоторых общих точках и вновь расходящихся.

Архитектурная компания DWP Architects, специально для вьетнамского города Хошимин, разработала проект многофункционального жилого комплекса. Вдохновителем этого проекта стала лента Мебиуса.

Имеются и материальные воплощения простого листа Мёбиуса. Построенный в Лондоне Олимпийский велодром имеет контуры, которые можно назвать вариацией на тему листа Мёбиуса.

2.4.5. Лист Мёбиуса в повседневной жизни

Лента Мёбиуса понравилась не только математикам, но и фокусникам.

Более 100 лет она используется для показа различных фокусов и развлечений. Удивительные свойства листа демонстрировались даже в цирке, где подвешивались яркие ленты, склеенные в виде листов Мёбиуса. Фокусник закуривал сигарету и горящим концом дотрагивался до средней линии каждой ленты, которая была выполнена из калийной селитры. Огненная дорожка превращала первую ленту в более длинную, а вторую - в две ленты, продетая одна в другую. (В этом случае фокусник разрезал лист Мёбиуса не посередине, а на расстоянии в одну треть его ширины).

Лента Мебиуса  вдохновляет создателей ювелирных украшений. Среди их работ можно встретить кольца и кулоны в виде ленты Мёбиуса.

Не остались равнодушными к ней и мебельщики. Одним из примеров их работы в этом направлении является шезлонг, который представляет собой ленту Мёбиуса, склеенную из гнутого Британского дуба.

Поклонниками ленты Мебиуса стали даже обувщики. Так голландец Рэм Колхаас придумал остроумный силуэт туфель Мёбиус, словно состоящих из одной хитро свернутой ленты.

Не захотели остаться в стороне и дизайнеры. Художник и архитектор Рон Арад является создателем дизайна флакона для духов в виде ленты Мёбиуса.

Лист Мёбиуса используется в кулинарии для того, чтобы создать интересный и аппетитный вид для булочек, сушек, хвороста, также при изготовлении инструментов для приготовления и украшения различных блюд, силовых конструкций (мешалка).

Международный символ переработки представляет собой Лист Мёбиуса.

Мотив Ленты Мебиуса встречается в названиях художественных произведений, общественных заведений, логотипах, ленту Мёбиуса часто изображают на различных эмблемах и значках.

Например, на значке механико-математического  факультета Московского университета.  

Символ вселенной создан в виде ленты Мёбиуса.

Всего в разных странах за последние годы выдано более ста патентов и авторских свидетельств на использование этой удивительной ленты.

2.4.6 «Памятники» математику А.Ф.Мёбиусу

У входа в Музей истории и техники в Вашингтоне медленно вращается на пьедестале стальная лента, закрученная на полвитка.

В 1967 году, когда в Бразилии состоялся международный математический конгресс, его устроители выпустили памятную марку достоинством в пять сентаво. На ней была изображена лента Мёбиуса.

И монумент высотой более чем в два метра, и крохотная марка – своеобразные памятники немецкому математику и астроному Августу Фердинанду Мёбиусу, профессору Лейпцигского университета.

В честь учёного назван астероид 28516 (Möbius).

Есть гипотеза, что спираль ДНК сама по себе тоже является фрагментом ленты Мебиуса и только поэтому генетический код так сложен для расшифровки и восприятия. Больше того - такая структура вполне логично объясняет причину наступления биологической смерти - спираль замыкается сама на себя и происходит самоуничтожение.

III. Исследовательская деятельность

3.1. Анкетирование учащихся.

Чтобы выяснить, что же знают ученики нашей школы о листе Мёбиуса и его свойствах, мы провели среди них анкетирование. Анкета содержала следующие вопросы:

Анкета

Ответьте, пожалуйста, на следующие вопросы:

1. Знакомо ли Вам понятие «Лист Мёбиуса»?

- я знаю, что это такое

- только слышал о таком понятии

- не знакомо

2. Знаете ли Вы о свойствах листа Мёбиуса?

- нет

- да, это следующие свойства - ______________________

3. Знаете ли Вы, где применяется Лист Мёбиуса?

- нет

- да, он применяется - _______________________________

Анкетирование показало, что большинству опрошенных не знаком лист Мёбиуса и всё, что с ним связано.

3. 2. Практическая часть

3.2.1. Изготовление листа Мёбиуса.

Берём бумажную ленту АВВ1А1. Прикладываем её концы АВ и А1В1 друг к другу и склеиваем. Но не как попало, а так, чтобы точка А совпала с точкой В!, а точка В с точкой А!. (склеим концы ленты, предварительно повернув один из них на 180 градусов). Получим перекрученное кольцо. Лист Мёбиуса готов!

3.2.2. Проведение опытов с листом Мёбиуса.

Чтобы понять, в чём особенность листа Мёбиуса, мы проводили опыты

с обычным бумажным кольцом и с перекрученным (листом Мёбиуса).

Мы задались вопросом: « Сколько сторон у этого листа бумаги? Две, как у любого другого?»  Попробовали закрасить  это кольцо с одной стороны.

Наша попытка закрасить только одну сторону листа Мёбиуса была обречена на неудачу, так как у листа Мёбиуса всего одна сторона.

  Мы  вырезала бумажного человечка и  отправили его  вдоль  пунктира, идущего  посередине  листа  Мёбиуса.  Он  вернулся к  месту  старта. Но  в  каком  виде?  В  перевернутом! А   чтобы  он  вернулся  к  старту  в нормальном  положении,  ему нужно было совершить  ещё  одно «круголистное»  путешествие.

Лента Мебиуса обладает любопытными свойствами.

Если разрезать простое кольцо ножницами вдоль, то получится два кольца вдвое меньшей ширины, чем первоначальное.

А что получится, если разрезать ленту Мёбиуса?

Мы разрезали ленту вдоль по линии, равноудалённой от краёв. Вместо двух лент Мебиуса получилась одна длинная двусторонняя лента с двумя полными оборотами, которую называют «афганская лента».

  Встал вопрос: «Что будет, если разрезать лист Мёбиуса  вдоль, но не посередине, а ближе к одному краю?»

  У нас получилось две ленты, одна — более тонкая лента Мёбиуса, другая — длинная лента с двумя полуоборотами (Афганская лента).

- А если разрезать на три части? Мы получили два сцепленных кольца. Одно из них вдвое длиннее исходного и перекручено два раза. Второе лист Мёбиуса, ширина которого втрое меньше, чем у исходного.

Мы продолжили перекручивание полоски бумаги перед склеиванием, каждый раз увеличивая число полуоборотов на один.

Опыты по исследованию свойств ленты Мёбиуса

№ опыта	Число полуоборотов	Результат разрезания	Свойства
1	1	1 кольцо	Кольцо перекручено на 2 полуоборота, длина его окружности в 2 раза больше, и кольцо уже исходного.
2	2	Сцепленных 2 кольца	Кольца перекручены на 2 полуоборота, окружности колец в 2 раза меньше исходного, кольца в 2 раза уже.
3	3	Сцепленных 2 кольца	Кольца перекручены на 3 полуоборота и завиты в угол трилистника, окружности колец в 2 раза меньше исходного, кольца в 2 раза уже.

Разрез ленты с дополнительными оборотами дал нам неожиданные фигуры.

Мы  узнали, что они  называются  парадромными кольцами.

IV. Выводы

1. Лист Мёбиуса можно получить простым способом.

2. Лист Мёбиуса действительно необыкновенный. В этом мы убедились, проводя анализ результатов опыты с обычным кольцом и перекрученным листом.

3.Свойства листа многообразны. Они получены нами в результате эксперимента и были сравнимы со свойствами, описанными в математической литературе.

Применение проекта и практическая значимость.

Мы сумели получить интересный математический материал. В ходе работы мы создали мультмедийную презентацию, в которые включены иллюстративные материалы о листе Мёбиуса.

Своими результатами исследования о листе Мебиуса мы поделилась со своими одноклассниками. Думаю, что это их заинтересовало. Вообще мы считаем, что наша работа будет интересна любителям математики для расширения математического кругозора. Ее можно использовать учителям математики, как на уроках, так и во внеклассной и кружковой работе.

V. Заключение

Выполняя работу по изучению удивительного листа Мёбиуса, мы узнали о жизни самого учёного, об истории уникального открытия. Не зря говорят: «Всё гениальное рядом». Лист  обладает замечательными свойствами и находит применение  в реальной жизни, мы обратили внимание на широкое применение Листа Мёбиуса. 

Все поставленные задачи были выполнены. Предположение, что лента Мёбиуса обладает удивительными свойствами, подтвердилось.

Лист Мебиуса интересен не только математикам, но и физикам, биологам, писателям, художникам, скульпторам, инженерам и просто школьникам.  Даже мастерицы - рукодельницы изготавливают шарфики,  закрученную в эту чудо-ленту.

Конечно же, главная ценность листа Мёбиуса состоит в том, что он дал толчок новым обширным математическим исследованиям. Именно поэтому его часто считают символом современной математики и изображают на различных эмблемах и значках, как, например, на значке механико-математического факультета Московского университета. Не зря этому математическому объекту поставили памятники в Москве, Вашингтоне, в республике Беларусь и Литве.

При исследовании  этой поразительной  (и  тем не менее совершенно реальной) односторонней поверхности мы получили море удовольствия. Это очень успокаивает расстроенные трудными уроками нервы, уверяем вас.

Что может быть полезнее Чистого Знания?

VI. Перспектива исследования

С листом Мёбиуса можно провести ещё много опытов и убедиться в открытых свойствах. Количество опытов зависит от собственного интереса и терпения.

К тому же, в ходе эксперимента мы узнали лишь некоторые свойства листа Мёбиуса. Кроме того, свойства мало получить и увидеть в результате эксперимента, они требуют математического обоснования, доказательства.

Нами не исчерпаны опыты с листом Мебиуса. Они бесконечны, интересны и зависят от собственного терпения. Мы обязательно будеем возвращаться к опытам с листом Мебиуса.

Список литературы

1. Газета «Математика». № 3, 2007г. Изд. «Первое сентября»

2. В.А.Гусев, А.И.Орлов, А.Л.Розенталь «Внеклассная работа по математике», М., Просвещение, 2006г.

3. Горохова Л.И. «Уроки математики». Современная школа, Москва изд. «Глобус» , 2009г.

4. Ю.А.Данилова «Математический  цветник» М., Просвещение, 2009г.

5. Депман И. «Рассказы о математике». – Ленинград.: Просвещение, 1954. – 140 с.

6. Олехник С. Н., Нестеренко Ю. В., Потапов М. К. «Старинные занимательные задачи». – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985. – 160 с.

7. И. Н. Шарыгин  «Наглядная геометрия», М., Дрофа, 2011г

8. Интернет – источники:

http://arbuz.uz/t_lenta.html

http://www.frei.ru/golos/books/

http://umiranie.chat.ru/sphere.htm

http://school-sector.relarn.ru/dckt/projects/ctrana/matric/t_lm1.htm

http://www.kvant.info/

http://www.websib.ru/noos/math/listmebiusa/

http://www.univer.omsk.su/omsk/Edu/Math/mmebius.htm