Методические указания и контрольные задания для студентов дневного отделения по специальности 080114 «Экономика и бухгалтерский учет (по отраслям)»
Методические указания и контрольные задания для студентов дневного отделения по специальности 080114 «Экономика и бухгалтерский учет (по отраслям)»
Методические указания по дисциплине «Математика» составлены на основе профессиональной образовательной программы ФГОС СПО по специальности 080114 «Экономика и бухгалтерский учет (по отраслям)» и предназначены для реализации требований к результатам освоения изучаемой дисциплины по ФГОС СПО.
Методические указания предназначены для студентов дневного отделения по отдельным темам, таким как:
Теория пределов;
Дифференциальное исчисление;
Интегральное исчисление.
Студенты могут самостоятельно изучить данные темы, подробно ознакомиться с решением примеров и заданий, разобранных в методических указаниях.
Методические указания ориентированы на достижение следующих целей:
Формирование представлений о математике как универсальном языке науки, средстве моделирования явлений и процессов, об идеях и методах математики;
Развитие логического мышления, пространственного воображения, алгоритмической культуры, критичности мышления на уровне, необходимом для будущей профессиональной деятельности, для продолжения образования и самообразования;
Овладение математическими знаниями и умениями, необходимыми в повседневной жизни, для изучения смежных естественно – научных дисциплин на базовом уровне и дисциплин профессионального цикла, для получения образования в областях, не требующих углублённой математической подготовки;
Воспитание средствами математики культуры личности, понимания значимости математики для научно – технического прогресса, отношения к математике как к части общечеловеческой культуры через знакомство с историей развития математики, эволюцией математических идей;
Математика является фундаментальной общеобразовательной дисциплиной со сложившимся устойчивым содержанием и общими требованиями к подготовке обучающихся. Реализация общих целей изучения математики традиционно формируется в четырёх направлениях – методическое (общее представление об идеях и методах математики), интеллектуальное развитие, утилитарно – прагматическое направление (овладение необходимыми конкретными знаниями) и воспитательное воздействие.
Для экономического профиля более характерным является усиление общекультурной составляющей курса с ориентацией на визуально-образный и логический стили учебной работы.
В результате изучения предмета студенты должны усвоить, что математические понятия являются абстракцией свойств и отношений реального мира, обладают большой общностью, широкой сферой применимости, что сущность приложения математики к решению практических задач заключается в переводе задач на математический язык, решением их и интерпретации их результатов на язык исходных данных.
Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?
Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.
Быстро и объективно проверять знания учащихся.
Сделать изучение нового материала максимально понятным.
Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.
Просмотр содержимого документа
«Методические указания и контрольные задания для студентов дневного отделения по специальности 080114 «Экономика и бухгалтерский учет (по отраслям)» »
Методические указания по дисциплине «Математика» составлены на основе профессиональной образовательной программы ФГОС СПО по специальности 080114 «Экономика и бухгалтерский учет (по отраслям)» и предназначены для реализации требований к результатам освоения изучаемой дисциплины по ФГОС СПО.
Методические указания предназначены для студентов дневного отделения по отдельным темам, таким как:
Теория пределов;
Дифференциальное исчисление;
Интегральное исчисление.
Студенты могут самостоятельно изучить данные темы, подробно ознакомиться с решением примеров и заданий, разобранных в методических указаниях.
Методические указания ориентированы на достижение следующих целей:
Формирование представлений о математике как универсальном языке науки, средстве моделирования явлений и процессов, об идеях и методах математики;
Развитие логического мышления, пространственного воображения, алгоритмической культуры, критичности мышления на уровне, необходимом для будущей профессиональной деятельности, для продолжения образования и самообразования;
Овладение математическими знаниями и умениями, необходимыми в повседневной жизни, для изучения смежных естественно – научных дисциплин на базовом уровне и дисциплин профессионального цикла, для получения образования в областях, не требующих углублённой математической подготовки;
Воспитание средствами математики культуры личности, понимания значимости математики для научно – технического прогресса, отношения к математике как к части общечеловеческой культуры через знакомство с историей развития математики, эволюцией математических идей;
Математика является фундаментальной общеобразовательной дисциплиной со сложившимся устойчивым содержанием и общими требованиями к подготовке обучающихся. Реализация общих целей изучения математики традиционно формируется в четырёх направлениях – методическое (общее представление об идеях и методах математики), интеллектуальное развитие, утилитарно – прагматическое направление (овладение необходимыми конкретными знаниями) и воспитательное воздействие.
Для экономического профиля более характерным является усиление общекультурной составляющей курса с ориентацией на визуально-образный и логический стили учебной работы.
В результате изучения предмета студенты должны усвоить, что математические понятия являются абстракцией свойств и отношений реального мира, обладают большой общностью, широкой сферой применимости, что сущность приложения математики к решению практических задач заключается в переводе задач на математический язык, решением их и интерпретации их результатов на язык исходных данных.
Перечень рекомендуемых учебных изданий, дополнительной литературы
Основная литература:
Булдык . Г. М. Сборник задач и упражнений по высшей математике. Учебник [Текст]/Г.М. Булдык - Минск, Юнипресс, 2010 г.
Данко П. Е.,. Попов А. С. Высшая математика в упражнениях и задачах. [Текст]/П,Е, Данко, А.С. Попов - М, Оникс, 2009 г. 303 с. и 415 с.
Дополнительная литература:
Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов.[Текст]/Н.Ш. Кремер – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2009 г..
Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов. Учебное пособие [ Текст]/Н.Ш. Кремер; - М: ЮНИТИ –ДАНА,2008
Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2-ух частях[Текст]/П.Е. Данко, А.Г. Попов – М.:Высшая школа, 2011.
Шипачев В.С. Сборник задач по высшей математике.[Текст] / В.С. Шипачев-М.:Высшая школа, 2009
1) Всем известного значка предела lim 2) Записи под значком предела, в данном случае x→1. Запись читается «икс стремится к единице». Чаще всего – именно x, хотя вместо «икса» на практике встречаются и другие переменные. В практических заданиях на месте единицы может находиться совершенно любое число, а также бесконечность (). 3) Функции под знаком предела, в данном случае .
Сама запись читается так: «предел функции при икс стремящемся к единице».
Чтобы решить вышерассмотренный пример нужно просто подставить единицу в функцию, стоящую под знаком предела:
Итак, первое правило: Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию.
Мы рассмотрели простейший предел, но и такие встречаются на практике, причем, не так уж редко!
Вывод: при функция неограниченно возрастает:
И еще серия примеров:
Пожалуйста, попытайтесь самостоятельно мысленно проанализировать нижеследующее и запомните простейшие виды пределов:
, , , , , , , , ,
Что нужно запомнить и понять из вышесказанного?
1) Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию.
2) Вы должны понимать и сразу решать простейшие пределы, такие как , , и т.д.
На практике, к сожалению, такие примеры встречаются не часто.. А поэтому переходим к рассмотрению более сложных пределов.
Пределы с неопределенностью вида и метод их решения
Сейчас мы рассмотрим группу пределов, когда , а функция представляет собой дробь, в числителе и знаменателе которой находятся многочлены
Пример:
Вычислить предел
Согласно правилу попытаемся подставить бесконечность в функцию. Получится в числителе и знаменателе бесконечность. Таким образом, у нас есть так называемая неопределенность вида . Можно было бы подумать, что , и ответ готов, но в общем случае это вовсе не так, и нужно применить некоторый прием решения, который мы сейчас и рассмотрим.
Как решать пределы данного типа?
Сначала мы смотрим на числитель и находим x в старшей степени: Старшая степень в числителе равна двум.
Теперь смотрим на знаменатель и тоже находим x в старшей степени: Старшая степень знаменателя равна двум.
Затем мы выбираем самую старшую степень числителя и знаменателя: в данном примере они совпадают и равны двойке.
Итак, метод решения следующий: для того, чтобы раскрыть неопределенность необходимо разделить числитель и знаменатель на x в старшей степени.
Разделим числитель и знаменатель на
Ответ , а вовсе не бесконечность.
Что принципиально важно в оформлении решения?
Во-первых, указываем неопределенность, если она есть.
Во-вторых, желательно прервать решение для промежуточных объяснений. Обычно используют знак , он не несет никакого математического смысла, а обозначает, что решение прервано для промежуточного объяснения.
В-третьих, в пределе желательно помечать, что и куда стремится. Когда работа оформляется от руки, удобнее это сделать так: Для пометок лучше использовать простой карандаш.
Конечно, можно ничего этого не делать, но тогда, возможно, преподаватель отметит недочеты в решении либо начнет задавать дополнительные вопросы по заданию.
Найти предел Снова в числителе и знаменателе находим x в старшей степени: Максимальная степень в числителе: 3 Максимальная степень в знаменателе: 4 Выбираем наибольшее значение, в данном случае четверку. Согласно нашему алгоритму, для раскрытия неопределенности делим числитель и знаменатель на . Полное оформление задания может выглядеть так:
Разделим числитель и знаменатель на
Пример:
Найти предел Максимальная степень «икса» в числителе: 2 Максимальная степень «икса» в знаменателе: 1 ( можно записать как ) Для раскрытия неопределенности необходимо разделить числитель и знаменатель на . Решение может выглядеть так:
Разделим числитель и знаменатель на
Под записью подразумевается не деление на ноль (делить на ноль нельзя), а деление на бесконечно малое число.
Таким образом, при раскрытии неопределенности вида у нас может получиться конечное число, ноль или бесконечность.
Пределы с неопределенностью вида и метод их решения
Следующая группа пределов чем-то похожа на только что рассмотренные пределы: в числителе и знаменателе находятся многочлены, но «икс» стремится уже не к бесконечности, а к конечному числу.
Пример:
Решить предел Сначала попробуем подставить -1 в дробь: В данном случае получена так называемая неопределенность .
Общее правило: если в числителе и знаменателе находятся многочлены, и имеется неопределенности вида , то для ее раскрытия нужно разложить числитель и знаменатель на множители.
Для этого чаще всего нужно решить квадратное уравнение и (или) использовать формулы сокращенного умножения. Итак, решаем наш предел
Разложим числитель и знаменатель на множители
Для того чтобы разложить числитель на множители, нужно решить квадратное уравнение: Сначала находим дискриминант: И квадратный корень из него: .
В случае если дискриминант большой, например 361, используем калькулятор. Если корень не извлекается нацело (получается дробное число с запятой), очень вероятно, что дискриминант вычислен неверно либо в задании опечатка.
Далее находим корни:
Таким образом:
Числитель на множители разложен.
Знаменатель уже является простейшим множителем, и упростить его никак нельзя.
Очевидно, что можно сократить на :
Теперь и подставляем -1 в выражение, которое осталось под знаком предела:
Решение можно записать кратко:
Разложим числитель на множители.
Пример
Вычислить предел
Решение:
Разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель: Знаменатель: ,
Если в пределе (практически любого типа) можно вынести число за скобку, то всегда это делаем. Более того, такие числа целесообразно выносить за значок предела.
В ходе решения фрагмент типа встречается очень часто. Сокращать такую дробь нельзя. Сначала нужно поменять знак у числителя или у знаменателя (вынести -1 за скобки). , то есть появляется знак «минус», который при вычислении предела учитывается и терять его совсем не нужно.
Вообще, чаще всего в нахождении пределов данного типа приходится решать два квадратных уравнения, то есть и в числителе и в знаменателе находятся квадратные трехчлены.
Метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение
Продолжаем рассматривать неопределенность вида
Следующий тип пределов похож на предыдущий тип. Единственное, помимо многочленов, у нас добавятся корни.
Пример:
Найти предел
Решение:
Сначала пробуем подставить 3 в выражение под знаком предела Это первое, что нужно выполнять для ЛЮБОГО предела. Данное действие обычно проводится мысленно или на черновике.
Получена неопределенность вида , которую нужно устранять.
Как Вы, наверное, заметили, в числителе находится разность корней. А от корней в математике принято, по возможности, избавляться. Когда в числителе (знаменателе) находится разность корней (или корень минус какое-нибудь число), то для раскрытия неопределенности используют метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение.
Вспоминаем формулу разности квадратов: И смотрим на наш предел: Что можно сказать? у нас в числителе уже есть. Теперь для применения формулы осталось организовать (которое и называется сопряженным выражением).
Умножаем числитель на сопряженное выражение:
Обратите внимание, что под корнями при этой операции мы ничего не трогаем.
Но выражение-то под знаком предела изменилось! А для того, чтобы оно не менялось, нужно его разделить на то же самое, т.е. на :
То есть, мы умножили числитель и знаменатель на сопряженное выражение. В известной степени, это искусственный прием.
Умножили. Теперь самое время применить вверху формулу :
Неопределенность не пропала (попробуйте подставить тройку), да и корни тоже не исчезли. Но с суммой корней всё значительно проще, ее можно превратить в постоянное число. Как это сделать? Да просто подставить тройку под корни:
Число, как уже отмечалось ранее, лучше вынести за значок предела.
Теперь осталось разложить числитель и знаменатель на множители, собственно, это следовало сделать раньше.
Решение данного примера можно записать короче: Примерно так:
Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение.
Пример
Найти предел
Решение :
Разложим числитель на множители:
Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение
Во втором задании необходимо найти производную сложной функции. Рассмотрим задание на примерах:
Пример
Вычислить производную сложной функции: у=
Функция состоит из двух составляющих: тригонометрической функции синус и линейной функции . Найдем производную каждой функции и перемножим результаты:
уʹ==3
Пример
Найти производную функции: у=
Функция состоит из двух составляющих: степенной функции и линейной функции (2х-6). Найдем производную каждой функции и перемножим результаты:
Ангарск
и поделим на него. 
).
.
функция 
неограниченно возрастает:
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
и т.д.
и метод их решения
, и ответ готов, но в общем случае это вовсе не так, и нужно применить некоторый прием решения, который мы сейчас и рассмотрим.
, а вовсе не бесконечность.
, он не несет никакого математического смысла, а обозначает, что решение прервано для промежуточного объяснения.
делим числитель и знаменатель на 
.
можно записать как 
)
. Решение может выглядеть так:
подразумевается не деление на ноль (делить на ноль нельзя), а деление на бесконечно малое число.
и метод их решения
.
.
уже является простейшим множителем, и упростить его никак нельзя.
:
, 
встречается очень часто. Сокращать такую дробь нельзя. Сначала нужно поменять знак у числителя или у знаменателя (вынести -1 за скобки).
, то есть появляется знак «минус», который при вычислении предела учитывается и терять его совсем не нужно.
у нас в числителе уже есть. Теперь для применения формулы осталось организовать 
(которое и называется сопряженным выражением).
