kopilkaurokov.ru - сайт для учителей

Создайте Ваш сайт учителя Курсы ПК и ППК Видеоуроки Олимпиады Вебинары для учителей

«Практическое применение Теоремы Пифагора»

Нажмите, чтобы узнать подробности

  Немецкий  математик Феликс Хаусдорф сказал  «Есть в математике нечто, вызывающее восторг…», но к сожалению в реальности,  основная часть учащихся «зубрит» теоремы, аксиомы и формулы, но ведь намного важнее видеть и понимать их практическое применение.

Теорема Пифагора – самая известная теорема геометрии, о ней знает подавляющее большинство населения планеты. Математики тысячелетиями говорят о ее величественности и значимости. Ей посвящены легенды, стихи. Меня заинтересовало, настолько ли она величественна для моих ровесников. Я решила доказать, что теорема Пифагора актуальна и в наши дни.   

Просмотр содержимого документа
««Практическое применение Теоремы Пифагора»»



















«Математика»











«Практическое применение

Теоремы Пифагора»

























































































































Исследовательская работа по математике

«Практическое применение Теоремы Пифагора»































Оглавление


Введение…………………………………………………………………………….4

Основная часть

Историческая справка

Из биографии Пифагора……………………………………………………….5

Пифагор и Пифагорейцы…………………………………………………........6

Из истории создания теоремы Пифагора...........................................................7

Пифагоровы тройки……………………………………………………………9

Опрос учащихся.......................................................................................................9

Практическое применение Теоремы Пифагора

Области применения теоремы Пифагора…………………………………...11

«Сказка о Иване - юном математике»……………………………………….13

Повторный опрос………………………………….............................................15

Заключение…………………………………………….…………………………..16

Литература……………….………………………………………………………...17






























Введение.


Немецкий математик Феликс Хаусдорф сказал «Есть в математике нечто, вызывающее восторг…», но к сожалению в реальности, основная часть учащихся «зубрит» теоремы, аксиомы и формулы, но ведь намного важнее видеть и понимать их практическое применение.

Теорема Пифагора – самая известная теорема геометрии, о ней знает подавляющее большинство населения планеты. Математики тысячелетиями говорят о ее величественности и значимости. Ей посвящены легенды, стихи. Меня заинтересовало, настолько ли она величественна для моих ровесников. Я решила доказать, что теорема Пифагора актуальна и в наши дни.


Объектом исследования является теорема Пифагора.

Предмет исследования: практическое применение теоремы Пифагора.

Гипотеза исследования: если учащиеся поймут практическую значимость теоремы Пифагора, то они смогут применять ее при решении жизненных задач

Цель: доказать, что теорема Пифагора актуальна и в наши дни

Исходя из этой цели, мною были поставлены следующие задачи:


  • Изучить некоторые исторические сведения о Пифагоре и его теореме;

  • Собрать информацию о практическом применении теоремы в различных источниках и определить области ее применения;

  • Показать применение теоремы Пифагора при решении задач;

  • Оформить наработанный материал.

  • Проанализировать все результаты и сделать выводы.


Методы исследования: изучение научной литературы, опрос, анализ, сравнение, обобщение.


Результатом моего исследования является подбор комплекса задач «Сказка про Иванушку – юного математика» на применение теоремы Пифагора.


















Историческая справка

1. Из биографии Пифагора

Пифагор Самосский – великий греческий учёный. Его имя знакомо каждому школьнику. Если попросят назвать одного древнего математика, то абсолютное большинство назовёт Пифагора. Про жизнь Пифагора достоверно почти ничего не известно, но с его именем связано большое количество легенд.

Пифагор родился в 570 году до н. э на острове Самос. Отцом Пифагора был Мнесарх – резчик по драгоценным камням. Мнесарх, по словам Апулея, «славился среди мастеров своим искусством вырезать геммы», но стяжал скорее славу, чем богатство. Имя матери Пифагора не сохранилось.

Пифагор имел красивую внешность, носил длинную бороду. Пифагор - это не имя, а прозвище, которое философ получил за то, что всегда говорил верно и убедительно, как греческий оракул. (Пифагор - "убеждающий речью".)

Среди учителей юного Пифагора были старец Гермодамант и Ферекид Сиросский. Целые дни проводил юный Пифагор у ног старца Гермодаманта, внимая мелодии кифары и гекзаметрам Гомера. Страсть к музыке и поэзии великого Гомера Пифагор сохранил на всю жизнь. И, будучи признанным мудрецом, окруженным толпой учеников, Пифагор начинал день с пения одной из песен Гомера.

Ферекид же был философом и считался основателем италийской школы философии. Таким образом, если Гермодамант ввел юного Пифагора в круг муз, то Ферекид обратил его ум к логосу. Ферекид направил взор Пифагора к природе и в ней одной советовал видеть своего первого и главного учителя.

Но как бы то ни было, неугомонному воображению юного Пифагора очень скоро стало тесно на маленьком Самосе, и он отправляется в Милет, где встречается с другим ученым - Фалесом. Фалес посоветовал ему отправиться за знаниями в Египет, что Пифагор и сделал.

В 550 году до н. э Пифагор принимает решение и отправляется в Египет. Итак, перед Пифагором открывается неизвестная страна и неведомая культура. Многое поражало и удивляло Пифагора в этой стране, и после некоторых наблюдений за жизнью египтян Пифагор понял, что путь к знаниям, охраняемым кастой жрецов, лежит через религию.

П осле одиннадцати лет обучения в Египте Пифагор отправляется на родину, где по пути попадает в Вавилонский плен. Там он знакомится с вавилонской наукой, которая была более развита, чем египетская. Вавилоняне умели решать линейные, квадратные и некоторые виды кубических уравнений. Они успешно применяли теорему Пифагора более чем за 1000 лет до Пифагора. Сбежав из плена, он не смог долго оставаться на родине из-за царившей там атмосферы насилия и тирании. Он решил переселиться в Кротон (греческая колония на севере Италии).

Именно в Кротоне начинается самый славный период в жизни Пифагора. Там он учредил нечто вроде религиозно-этического братства или тайного монашеского ордена, члены которого обязывались вести так называемый пифагорейский образ жизни.


2. Пифагор и пифагорейцы

П ифагор организовал в греческой колонии на юге Апенинского полуострова религиозно-этическое братство, типа монашеского ордена, который впоследствии назовут пифагорейским союзом. Члены союза должны были придерживаться определённых принципов: во-первых, стремиться к прекрасному и славному, во-вторых, быть полезными, в-третьих, стремиться к высокому наслаждению.

Система морально-этических правил, завещанная Пифагором своим ученикам, была собрана в своеобразный моральный кодекс пифагорейцев «Золотые стихи», которые пользовались большой популярностью в эпоху Античности, эпоху Средневековья и эпоху Возрождения.

Пифагорейская система занятий состояла из трёх разделов:

учения о числах – арифметике,

учения о фигурах – геометрии,

учения о строении Вселенной – астрономии.

Система образования, заложенная Пифагором, просуществовала много веков.

Пифагорейцы учили, что Бог положил числа в основу мирового порядка. Бог – это единство, а мир – множество и состоит из противоположностей. То, что приводит противоположности к единству и соединяет всё в космос, есть гармония. Гармония является божественной и заключается в числовых выражениях. Кто до конца изучит гармонию, сам станет божественным и бессмертным.

Музыка, гармония и числа были неразрывно связаны в учении пифагорейцев. Математика и числовая мистика были фантастически перемешаны в нём. Пифагор считал, что число есть сущность всех вещей и что Вселенная представляет собой гармоническую систему чисел и их отношений.

Школа Пифагора много сделала, чтобы придать геометрии характер науки. Основной особенностью метода Пифагора было объединение геометрии с арифметикой.

Пифагор много занимался пропорциями и прогрессиями и, вероятно, подобием фигур, так как ему приписывают решение задачи: "По данным двум фигурам построить третью, равновеликую одной из данных и подобную второй".

Пифагор и его ученики ввели понятие о многоугольных, дружественных, совершенных числах и изучали их свойства. Арифметика как практика вычислений не интересовала Пифагора, и он с гордостью заявил, что "поставил арифметику выше интересов торговца".

Пифагор одним из первых считал, что Земля имеет форму шара и является центром Вселенной, что Солнце, Луна и планеты имеют собственное движение, отличное от суточного движения неподвижных звезд.

Учение пифагорейцев о движении Земли Николай Коперник воспринял как предысторию своего гелиоцентрического учения. Недаром церковь объявила систему Коперника "ложным пифагорейским учением".

В школе Пифагора открытия учеников приписывались учителю, поэтому практически невозможно определить, что сделал сам Пифагор, а что его ученики.

Споры ведутся вокруг пифагорейского союза уже третье тысячелетие, однако общего мнения так и нет. У пифагорейцев было множество символов и знаков, которые были своего рода заповедями: например, «через весы не шагай», т.е. не нарушай справедливости; огня ножом не вороши», т. е. не задевай гневных людей обидными словами.

Членами пифагорейского союза были жители многих городов Греции.

В своё общество пифагорейцы принимали и женщин. Союз процветал более двадцати лет, а потом начались гонения на его членов, многие из учеников были убиты.

О смерти самого Пифагора ходило много самых разных легенд. Но учение Пифагора и его учеников продолжало жить.


3. Из истории создания теоремы Пифагора

В настоящее время известно, что эта теорема не была открыта Пифагором. Однако одни полагают, что именно Пифагор первым дал ее полноценное доказательство, а другие отказывают ему и в этой заслуге. Некоторые приписывают Пифагору доказательство, которое Евклид приводит в первой книге своих "Начал". С другой стороны, Прокл утверждает, что доказательство в "Началах" принадлежит самому Евклиду.

И сторический обзор теоремы Пифагора начнем с древнего Китая. Здесь особое внимание привлекает математическая книга Чу-пей. В этом сочинении так говорится о пифагоровом треугольнике со сторонами 3, 4 и 5:

"Если прямой угол разложить на составные части, то линия, соединяющая концы его сторон, будет 5, когда основание есть 3, а высота 4".

Очень легко можно воспроизвести их способ построения. Возьмем веревку длиною в 12 м. и привяжем к ней по цветной полоске на расстоянии 3м. от одного конца и 4 метра от другого.

Прямой угол окажется заключенным между сторонами длиной в 3 и 4 метра. В этой же книге предложен рисунок, который совпадает с одним из чертежей индусской геометрии Басхары.

Кантор (крупнейший немецкий историк математики) считает, что равенство 3 ² + 4 ² = 5² было известно уже египтянам еще около 2300 г. до н. э., во времена царя Аменемхета I (согласно папирусу 6619 Берлинского музея).

По мнению Кантора, гарпедонапты, или "натягиватели веревок", строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5.

Несколько больше было известно о теореме Пифагора вавилонянам. В одном тексте, относимом ко времени Хаммураби, т.е. к 2000 году до нашей эры, приводится приближенное вычисление гипотенузы прямоугольного треугольника; отсюда можно сделать вывод, что в Двуречье умели производить вычисления с прямоугольными треугольниками, по крайней мере, в некоторых случаях.

Геометрия у индусов была тесно связана с культом. Весьма вероятно, что теорема о квадрате гипотенузы была известна в Индии уже около 8 века до нашей эры. Наряду с чисто ритуальными предписаниями, существуют и сочинения геометрически теологического характера, называемые Сульвасутры. В этих сочинениях, относящихся к 4 или 5 веку до нашей эры, мы встречаемся с построением прямого угла при помощи треугольника со сторонами 15, 36, 39.

В средние века теорема Пифагора определяла границу, если не наибольших возможных, то, по крайней мере, хороших математических знаний. Характерный чертеж теоремы Пифагора, который ныне иногда превращается школьниками, например, в облаченного в мантию профессора или человека в цилиндре, в те времена нередко употреблялся как символ математики.



Приведем различные формулировки теоремы Пифагора в переводе с греческого, латинского и немецкого языков.

Евклида эта теорема гласит (дословный перевод):

"В прямоугольном треугольнике квадрат стороны, натянутой над прямым углом, равен квадратам на сторонах, заключающих прямой угол".

Латинский перевод арабского текста Аннариции (около 900 года до нашей эры), сделанный Герхардом Кремонским (12 век) гласит (в переводе):

«Во всяком прямоугольном треугольнике квадрат, образованный на стороне, натянутой над прямым углом, равен сумме двух квадратов, образованных на двух сторонах, заключающих прямой угол»

В Geometry Culmonensis (около 1400года) теорема читается так (в переводе):

Итак, площадь квадрата, измеренного по длиной стороне, столь же велика, как у двух квадратов, которые измерены по двум сторонам его, примыкающим к прямому углу”

В русском переводе евклидовых «Начал», теорема Пифагора изложена так:

«В прямоугольном треугольнике квадрат из стороны, противолежащей прямому углу, равен сумме квадратов из сторон, содержащих прямой угол».

Как видим, в разных странах и разных языках существуют различные варианты формулировки знакомой нам теоремы. Созданные в разное время и в разных языках, они отражают суть одной математической закономерности, доказательство которой также имеет несколько вариантов.


4. Пифагоровы тройки.


О прямоугольном треугольнике со сторонами 3,4,5 единиц длины за 200 лет до н.э. знали и египтяне, считая его магическим. Пифагоровы тройки – это наборы из трёх натуральных чисел (x, y и z), из которых сумма квадратов двух чисел равна квадрату третьего числа (x2 + y2 = z2). В школьной программе пифагоровы тройки не изучаются, появляясь лишь как любопытный частный случай при рассмотрении прямоугольных треугольников. Между тем, пифагоровы тройки являются объектом теории чисел. Сейчас уже найдены стороны 50-го «пифабедренного» треугольника, значения которых очень велики.

Поскольку уравнение x2 + y2 = z2 однородно, при домножении x, y и z на одно и то же число получится другая пифагорова тройка. Пифагорова тройка называется примитивной, если она не может быть получена таким способом, то есть x,y,z — взаимно простые числа. Треугольник, стороны которого равны пифагоровым числам, является прямоугольным. Простейший из них — египетский треугольник со сторонами 3, 4 и 5 (32 + 42 = 52).
Некоторые Пифагоровы тройки:
(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 35, 45), (14, 48, 50), (30, 40, 50)…
Пифагоровы тройки имеют важное значение в геометрии. Несмотря на то, что в школе на изучение Пифагоровых троек не отводится много времени, в настоящее время знание их необходимо при решении многих математических задач.
Опрос учащихся


Я провела опрос среди учащихся 8-10 классов нашей школы, с целью выяснения отношения к теореме Пифагора. В опросе приняло участие 16 человек. Были предложены следующие вопросы:

- Знаешь ли ты теорему Пифагора? Ответы распределились следующим образом:

Ответы учащихся


Да


Нет

%

100%

0%

Все опрошенные учащиеся знают теорему Пифагора.


- Умеешь ли ты применять теорему Пифагора при решении задач?



Почти все учащиеся владеют навыком применения теоремы Пифагора.


- В каких областях жизнедеятельности применима теорема Пифагора?



Есть учащиеся, которые знают, что теорема Пифагора применима в строительстве, в межевании.


- Встречался(ась) ли ты в реальной жизни с теоремой Пифагора?



Основная часть учащихся ответила, нет.

- В чем величие теоремы Пифагора?


25% учащихся считают, что не сложная, 13,5% - что часто применима, остальные затрудняются ответить.



Практическое применение Теоремы Пифагора

Области применения теоремы Пифагора

Строительство и архитектура

В архитектуре при конструировании рамы окон, зная радиус большого круга, можно с помощью теоремы Пифагора рассчитать радиус малого круга.


При разметке фундамента. Очень легко можно воспроизвести способ построения "натягивателями веревок" прямых углов при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5.

При строительстве домов и коттеджей часто встает вопрос о длине стропил для крыши, если уже изготовлены балки.

При строительстве лестниц необходимо рассчитать длину, ширину каждой ступени, крутизну лестницы.

При строительстве мостов, дорог рассчитывают подъемы и спуски.

Дизайн.

Ландшафтный дизайн. Дизайнер имеющимся на участке просчитывает расположение объектов, их высоту, форму, выводит прямые углы.



Дизайн одежды. При изготовлении выкройки модели необходимо в зависимости от полноты фигуры рассчитать ширину и глубину выточек.


Ориентирование. Расстояние до горизонта
На открытом пространстве расстояние до видимого горизонта зависит от высоты точки наблюдения над земной поверхностью. Ученые вывели

формулу расстояния до горизонта , где R – радиус земли, а h – высота объекта применяется.


Мой рост 1,58. Я просчитала, что видимое мною расстояние до горизонта примерно равно 4, 68 км.


Эта формула применима в следующих областях:

В космонавтике. 12 апреля 1961 года Ю.А. Гагарин на космическом корабле “Восток” был поднят над землёй на максимальную высоту 327 километров. Ученые смогли вычислить площадь увиденной им поверхности земли.

В мобильной связи

В настоящее время на рынке мобильной связи идет большая конкуренция среди операторов. Чем надежнее связь, чем больше зона покрытия, тем больше потребителей у оператора. При строительстве вышки (антенны) часто приходится решать задачу какую наибольшую высоту должна иметь антенна, чтобы передачу можно было принимать в определенном радиусе.

TV, радиовещание, интернет.

На определенную высоту от земной поверхности запускаются спутники, передающие ТV, радиовещания, интернета.


Геодезия, метеопрогноз

В геодезии , метеопрогнозефото поверхности земли из космоса, так же рассчитывают расстояние спутников от поверхности земли.


«Сказка об Иване – юном математике»

В некотором царстве, в некотором государстве жил-был царь и была у него дочь Василиса красоты неописуемой. Вот однажды прилетел Кощей Бессмертный и похитил Василису. Опечалился царь и издал указ: «Кто спасет мою дочь – тому отдам ее в жены». А на краю того царства жил Иван, да не дурак, а юный математик. Решил он выручить из беды девицу-красавицу и отправился в путь.

Вышел он в чисто поле, а то поле длиною 800м шириною – 600м и охранял его Змей Горыныч пролетая над ним каждые 2 часа. С какой скорость надо незаметно пересечь то поле наискось?

Решение:

  1. (м)

  2. 1км : 2 часа= 0,5 (км/ч) Ответ: со скоростью больше 0,5 км/ч.


А за тем полем жила Баба Яга, но решила обмануть она Ивана, завести в лес густой. «Поди – говорит – 70 м за север, потом 15 м на запад, да еще 78 м на запад. Выйдешь к реке, а за ней дуб. На том дубу смерть кощеева в ларце на конце иглы». Подумал, подумал Иван да догадался, что этот маршрут - прямоугольная трапеция и скоротал путь. Сколько метров он прошел?

Решение:

1)78 – 70 =8 (м)

2) = 17 (м)

Ответ: 17 метров




Вышел Иван к реке, а реку не переплыть, лодка привязана к другому берегу. Сильное течение унесло ее вдоль берега на 2,4 м и на 1,8 от берега. Какова ширина реки?

Решение: = 3 (м)

Ответ: 3 метра

Перебрался он на другой берег, достал свой волшебный меч и одним махом срубил дерево на высоте метра от земли. Сколько метров надо пробежать Ивану до ларца, если высота дерева 3,6 м?

Решение:

  1. 3,6 – 1 = 2,6 (м)

2) = 2,4 (м)

Ответ: 2,4 метр

Подбежал Иван к ларцу, открыл его, достал иглу и переломил ее. В тот же миг настала смерть Кощею. Видит перед ним дворец Кощея и ведет к его воротам лестница – загадка, длиною 7,5 м Сколько у нее ступенек, если длина каждой 40 см, а высота 30 см?

Решение:

1) = 50 (см) = 0,5(м)

2)7,5 : 0,5 = 15(с)

Ответ: 15 ступеней


Поднялся Иван по ступенькам, а двери дворца волшебные. Надо произнести заветное число – их высоту, если они имеют форму равнобедренного треугольника с боковой стороной 250 см и основанием - 300 м. какое число назвал Иван?

Решение: 1)300 : 2 = 150 (см)

2) = 200(см) Ответ: 200м



В знак победы своей поднял Иван флаг над королевством Кощеевым на высоту 4 м, закрепил трос в 3 м от флагштока. Какова длина троса?

Решение: = 5(м)

Ответ: 5 метров

Освободил Иван Василису Прекрасную, поженились они и стали жить поживать, да добра наживать. Тут и сказке конец, а кто помогал Ивану – Молодец!

Повторный опрос учащихся

Я провела повторный опрос учащихся и вот его результаты:

- Встречался(ась) ли ты в реальной жизни с теоремой Пифагора?

- В чем величие теоремы Пифагора?



Заключение.

Теорема Пифагора имела неоценимое значение в древности. В наши дни она тоже очень актуальна. При повторном проведении опроса, после того как я ознакомила учащихся со своей работой, результаты коренным образом изменились. Ученики 8, 9, 10 класса стали находить задачи на применение теоремы Пифагора на уроках других учителей по физике, технологии, рисованию, в КИМах при подготовке к ОГЭ и ЕГЭ по математике и физике. И даже стали приносить мне различные задачки, придумывать их сами. Значит, я помогла им увидеть, что благодаря возможности вычислять стороны прямоугольных треугольников и строить прямые углы, теорема Пифагора находит широкое применение не только на уроках геометрии, но и в повседневной жизни. Она продолжает оставаться живительным источником красоты, совершенства и творчества для новых и новых поколений. В этом и состоит величие теоремы Пифагора!





































Литература.

1. Геометрия: учеб. для 7-9 кл. сред. шк. / авт.-сост. Л. С. Атанасян,
В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. - 4-е изд. - М.: Просвещение, 2004. -
335 с.

2. Энциклопедический словарь юного математика / сост. А. П. Савин. -
М.: Педагогика, 1989. - 352 с.

3.Глейзер Г. И. История математики в школе. Пособие для учителей. М. Просвещение, 1982. - 240с.

4. Семёнов Е.Е. Изучаем геометрию. Книга для учащихся 6-8 классов. М., Просвещение ,1987г. - 254с.

5. Ткачева М.В. Домашняя математика. Книга для учащихся восьмого класса общеобразовательных учреждений. М., Просвещение ,1994г. - 255с.

6.История теоремы Пифагора

7.http://th-pif.narod.ru/pract.htm



17



Получите в подарок сайт учителя

Предмет: Математика

Категория: Прочее

Целевая аудитория: 10 класс.
Урок соответствует ФГОС

Скачать
«Практическое применение Теоремы Пифагора»

Автор: Жиров Дмитрий Сергеевич

Дата: 27.03.2020

Номер свидетельства: 544492

Похожие файлы

object(ArrayObject)#863 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(111) "технологическая карта урока по геометрии "теорема Пифагора" "
    ["seo_title"] => string(69) "tiekhnologhichieskaia-karta-uroka-po-ghieomietrii-tieoriema-pifaghora"
    ["file_id"] => string(6) "185882"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1426250380"
  }
}
object(ArrayObject)#885 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(56) "урок по теме "Теорема Пифагора""
    ["seo_title"] => string(30) "urokpotiemietieoriemapifaghora"
    ["file_id"] => string(6) "296372"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1455985691"
  }
}
object(ArrayObject)#863 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(84) "Решение задач с применением теоремы Пифагора "
    ["seo_title"] => string(55) "rieshieniie-zadach-s-primienieniiem-tieoriemy-pifaghora"
    ["file_id"] => string(6) "149240"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(11) "presentacii"
    ["date"] => string(10) "1420048856"
  }
}
object(ArrayObject)#885 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(74) "Теорема Пифагора вне школьной программы"
    ["seo_title"] => string(45) "tieoriema-pifaghora-vnie-shkol-noi-proghrammy"
    ["file_id"] => string(6) "143414"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(11) "presentacii"
    ["date"] => string(10) "1418542894"
  }
}
object(ArrayObject)#863 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(83) "Конспект урока математики "Теорема Пифагора" "
    ["seo_title"] => string(47) "konspiekt-uroka-matiematiki-tieoriema-pifaghora"
    ["file_id"] => string(6) "138707"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1417594919"
  }
}

Получите в подарок сайт учителя

Видеоуроки для учителей

Курсы для учителей

ПОЛУЧИТЕ СВИДЕТЕЛЬСТВО МГНОВЕННО

Добавить свою работу

* Свидетельство о публикации выдается БЕСПЛАТНО, СРАЗУ же после добавления Вами Вашей работы на сайт

Удобный поиск материалов для учителей

Ваш личный кабинет
Проверка свидетельства