Организация самостоятельной работы на уроках математики при решении уравнений

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ ПЕРМСКОГО КРАЯ

ГБОУ СПО СТРОГАНОВСКИЙ КОЛЛЕДЖ

ФИЛИАЛ Г. ОХАНСК

О.А.Пешкова

Организация самостоятельной работы при изучении темы «Показательные и логарифмические уравнения и неравенства» в учреждениях НПО и СПО

Методическое пособие

РАССМОТРЕНО	УТВЕРЖДЕНО
______________________________	____________________________

Данное методическое пособие разработано для изучения темы ««Показательные и логарифмические уравнения и неравенства» в учреждениях НПО и СПО. В пособии представлены практические, самостоятельные и лабораторные работы по теме. Особое внимание уделено самостоятельному изучению вопросов темы.

Пособие адресовано преподавателям математики СПО и НПО, некоторые задания для самостоятельной работы обучающихся (ликвидация пробелов в знаниях по теме).

Рецензенты:_____________________________________________________

_____________________________________________________

Содержание

Введение……………………………………………………………………4

Глава 1. Изучение темы «Показательные и логарифмические уравнения и неравенства»……………………………………………………………….6

1.1 Анализ учебников……………………………………………….4 1.2 Особенности изучения темы в учреждении НПО и СПО………..…7

1. Календарно-тематическое планирование темы………………..10

1.4 Методические рекомендации по изучению темы…………….11

1.5 Структура программы по математике ……………………….. 12

Глава 2 Организация самостоятельной работы учащихся при изучении показательных и логарифмических уравнений и неравенств…………..14

2.1 Виды самостоятельной работы………………………………….16

2.2 Организация самостоятельной работы учащихся при работе с

учебной литературой…………………………………………….28

2.3 Методические рекомендации преподавателям для организации

и проведения самостоятельных работ …………………………29

Глава 3 Контроль знаний, умений и навыков студентов по теме «Показательные и логарифмические уравнения и неравенства»………..45

3.1 Различные виды заданий индивидуального контроля…………..45

3.2 Использование персонального компьютера для контроля и

оценки знаний студентов………………………………………….53

Глава 4 Анализ и выводы по изучению темы …………………………….55

Библиография………………………………………………………………..69

Введение

Произошедший пересмотр содержания образования привел к тому, что в системе образования появились новые образовательные учреждения: лицеи, гимназии, колледжи, несущие в себе новые требования к системе знаний, умений и навыков.

В последние годы внимание к профессиональному образованию заметно усилилось, тому есть свои причины. Образование является основным фактором появления в различных сферах специалистов.

Одной из главных проблем профессионального образования является проблема оптимального сочетания общей и специальной подготовки выпускников. Решение этой проблемы осуществляется выделением трёх циклов дисциплин: обязательные общеобразовательные предметы, предметы по выбору и специальные дисциплины. В колледже и училище математика является одним из ведущих обязательных предметов. Все изменения в образовании затронули учебный процесс в целом: изменились цели, задачи, методы и формы, средства обучения.

В настоящее время идёт активный поиск путей, стимулирующих самостоятельную деятельность учащихся в рамках оптимизации всего учебного процесса.

Основное внимание следует уделять анализу познавательных способностей учащихся, способам развития у них интереса к математике, плодотворное совмещение деятельности учителя и учащихся на конкретном занятии.

Достижение данной цели предполагает выполнение ряда задач:

- отбор учебной и методической литературы;

- отбор оптимального объёма учебного материала, соответствующего требованиям обучения в системе НПО и СПО;

- разработка различных видов самостоятельных работ для изучения и закрепления темы;

- создание контрольно-измерительных материалов для оценки знаний, умений и навыков;

- разработка методических рекомендаций обучающимся и преподавателям.

В пособии освещены следующие вопросы:

В главе 1 «Изучение показательных и логарифмических уравнений и неравенств» отражены особенности изучения темы, дан анализ учебных пособий и составлено календарно-тематические планирование, кроме этого даны методические рекомендации по изучению раздела, рассматривается структура рабочей программы по теме «Показательные уравнения и неравенства, логарифмические уравнения и неравенства».

Глава 2 предусматривает описание, классификацию различных видов самостоятельных работ, с обязательным приведением примеров, а так же «Памятки для обучающихся и преподавателей» для её организации.

Глава 3 – рассматривает способы организации контроля уровня знаний, умений и навыков. В ней даны различные формы контроля и приведены примеры.

Глава 4 – отражает итоги работы по апробации данного методического пособия в виде графической и табличной информации

Глава 1. Изучение темы

«Показательные и логарифмические уравнения и неравенства»

1.1 Особенности изучения темы в системе НПО и СПО

При планировании изучения данной темы следует учитывать следующие моменты:

1. Материал школьного курса математики изучается в течение первого и второго года обучения, т.е. на 1-2 курсе.

2. Учебным планом предусмотрено: 75% материала изучается аудиторно, а 25% выносится на самостоятельное изучение.

Для правильной организации учебной деятельности преподаватель должен иметь следующую документацию:

• примерная программа по дисциплине

• рабочая программа, разработанная в соответствии с учебным планом

• календарный рабочий план.

Главной особенностью обучения является приоритет функции обучения над информационной, усиление практической значимости изучаемого материала, широкие возможности для реализации уровневой дифференциации в обучении как технологии достижения стандартов образования в математике.

В преподавании математики ОУ такого следует преследовать цели:

- обучение математическим методам и их применение на практике;

- обучение математическим знаниям и умениям, необходимым в профессиональной деятельности;

- развитие у учащихся критического мышления средствами математики;

- формирование умений анализировать, сравнивать, интерпретировать;

- формирование умений и способностей, необходимых для осуществления непрерывного математического образования.[28]

Перечень умений по курсу «Математика» включает в себя четыре группы: арифметические, геометрические, статистические и логические.

При планировании учебных занятий следует учитывать следующие факторы:

Выбор способов обучения - последовательное обучение, обучение блоками, по циклам, модульное обучение и т.д.

Выбор направления обучения – традиционное, индивидуальное, групповое, профессиональное, профильное и т.д.

Выбор форм занятий – индивидуально, с консультантом, с классом-группой.

Внедрение новых форм занятий – лекционно-семинарские, зачетная система, сессионный контроль, коллоквиумы и т.д.

Кроме этого следует обратить внимание при составлении нормативных документов на следующие факторы:

1. Цели обучения – прогнозируемые результаты образования и воспитания, развитие личности;

2. Содержание обучения – система теоретических знаний, практических приложений;

3. Познавательные возможности – уровень знаний, умений и навыков, развитие мышления и других познавательных процессов;

Все эти три фактора объединяются в один – организацию процесса обучения, где отражаются формы, методы, методические приёмы и средства обучения. Конечной целью являются следующие результаты – достигнутый уровень знаний, умений и навыков, интеллектуальное развитие учащихся.

При составлении рабочей программы по каждой имеющейся специальности, учитываются потребности профессии в том или ином математическом аппарате. Однако в учебниках отражается, как правило, сугубо научное содержание этого аппарата.

1.2 Анализ учебников, используемых при изучении темы «Показательные и логарифмические уравнения и неравенства».

Основной учебник, используемый при изучении данной темы «Алгебра и начала анализа 10-11 класс» автор А.Н.Колмогоров и др., издательство «Просвещение», 2000 год.

Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств рассматривается после изучения темы «Показательная и логарифмическая функции, их свойства и графики». Структура изучения для обоих видов уравнений одинакова, вначале рассматривается решение простейших уравнений, а затем решение более сложных уравнений, которые необходимо свести к простейшим. Для знакомства с основными идеями решения предлагаемых задач приводится множество примеров решения. Отметим также, что задачи, включенные в каждый пункт, делятся на две части. Задачи, входящие в первую часть, необходимо уметь решать для получения удовлетворительной оценки, они дают обязательный уровень подготовки. Остальные задачи чуть сложнее.

Чтобы помочь учащимся при подготовке к контрольной работе, в конце каждой главы приведены вопросы и задачи для повторения основного материала. Ответы на вопросы и примеры решения таких задач можно найти в тексте соответствующего пункта.

Количество заданий при данной часовой нагрузке достаточно для усвоения материала.

Дополнительно используется комплект «Алгебра и начала анализа 10-11 класс» (учебник и задачник) автор Мордкович А.Г. и др., М.2000, «Мнемозина». Положительная сторона данного комплекта в том, что он дает возможность заниматься независимо от того, на какие учебные пособия по алгебре была сделана ставка в основной школе, она в определённом смысле достаточна. Изложение теоретического материала ведётся очень подробно, обстоятельно, достаточно хорошим литературным языком. Весь изложенный материал изучить на занятии невозможно, поэтому, пособие очень хорошо для самостоятельного изучения материала или домашнего чтения. Каждая глава заканчивается разделом «Основные результаты». В книге много примеров с подробными решениями. Материал, изложенный в данном учебнике, даёт цельное и полное представление о школьном курсе алгебры и начал анализа, соответствует требованиям нормативных документов, выполнение обязательных минимумов содержания образования.

Если говорить о задачнике этого комплекта, то следует, отметит - названия глав и параграфов в точности соответствуют названиям в учебнике. По разделу «Показательные и логарифмические уравнения и неравенства» содержится достаточно материала для работы на уроках (в том числе и для устного решения), для проведения самостоятельных работ, для домашних заданий. Задачи рассредоточены по подтемам, соответствующим теоретическому материалу учебника, внутри подтем достаточно четко выдерживается линия нарастания трудности. Это позволяет осуществлять дифференцированный подход к обучению.

Задач и упражнений в задачнике избыточно много. Это даёт объёмный и разноплановый набор упражнений, что исключает работу преподавателя по поиску дополнительного материала.

Упражнения сконцентрированы по двум блокам. Первый блок (до черты) содержит задания базового уровня и среднего уровня трудности, к этим номерам даны ответы в конце учебника. Второй блок – содержит задания среднего уровня сложности и задания повышенной трудности. В конце задачника имеется раздел, который содержит набор упражнений для итогового повторения, здесь отсутствуют лёгкие примеры. Данный задачник можно использовать и при работе по другим учебным пособиям.

*В данном учебном комплекте удачно сбалансированы три тенденции развития школьного курса математики: усиление общеобразовательной роли предмета, его прикладная и политехническая направленность, повышение теоретического уровня.

*В статье М.И.Денисовой описана структура пособия: учебные дозы материала, ограниченного пунктами, невелики, как правило, рассчитаны на 1-2 урока. Каждый пункт заканчивается серией упражнений для закрепления на уроке и для самостоятельной работы учащихся. Все дидактические задачи имеют достаточное число дублёров. Есть контрольные вопросы, предназначенные для проверки усвоения теории. Изложение сопровождается большим числом иллюстраций, графических примеров.

1. Календарно-тематическое планирование темы «Показательные и логарифмические уравнения и неравенства»

Пояснительная записка к КТП:

На тему «Показательные и логарифмические уравнения и неравенства программой НПО и СПО отведено 13 часов, в том числе 3 часа на самостоятельное изучение отдельных вопросов раздела. В результате изучения темы учащиеся должны знать

- способы решения показательных и логарифмических уравнений и неравенств;

и должны уметь

- использовать свойства показательной и логарифмической свойств для решения уравнений и неравенств;

- решать уравнения и неравенства различными способами.

№ п/п	Тема занятия	Кол-во часов		Вид занятия	учебники
		Ауд.	с/р
1.	Показательные уравнения	2	1	практикум	А.Н.Колмогоров «Алгебра и начала анализа», 2000, «Просвещение»
2.	Показательные неравенства	2	1	практикум
3.	Логарифмические уравнения	2		практикум
4.	Логарифмические неравенства	2	1	практикум
5.	Контрольная работа	2		Самостоятельная работа	Л.И.Звавич и др. «Алгебра и начала анализа. Дидактические материалы» 2000, «Дрофа»
	Всего часов	10	3

1.4 Методические рекомендации по изучению темы

Одной из причин трудностей в усвоении свойств показательной (а так же логарифмической) функции является большой перерыв между первичным изучением темы «Функции и их свойства». Этот перерыв создаётся искусственно, в то время как другие функции (квадратичная, линейная и др.) постоянно появляются в примерах и упражнениях, о показательной и логарифмической почти совсем не упоминается.

При выполнении упражнений у студентов необходимо постоянно возобновлять в памяти основные определения, свойства данных функций. Повторить сведения об обратных функциях, четности и нечетности, монотонности, применение символики. Необходимо знать вид графиков, уметь выделять графики показательной и логарифмической функции из набора всех имеющихся. Все эти понятия необходимы при решении уравнений и неравенств. Для более успешного изучения темы необходимо осуществить подбор упражнений и задач практического характера, т.е. найти задачи, используемые на других дисциплинах: физике, химии, биологии, экономике и т.д.

К изучению темы следует приступать только после того, как повторены темы: «Уравнения, их виды и способы решения», «Область определения функции и область допустимых значений переменной».

При заключительном повторении следует обобщить имеющиеся знания, классифицировать их в таблицы и схемы. Всё это приводит к осмысливанию, углублению и закреплению материала.

Следует обратить внимание на нахождение области определения логарифмической функции, так как основные ошибки вызваны тем, что учащиеся, либо не находят область определения или находят её неправильно.

Основные ошибки, допускаемые в решении логарифмических и показательных неравенств, связаны в большинстве случаев с двумя причинами:

1. Отбрасываются условия, определяющие область допустимых значений переменной,

2. неправильно определяется характер монотонности логарифмической или показательной функции.

Закрепить эти знания лучше всего на конкретных примерах.

1. Структура программы по дисциплине «Математика»

Разделы программы:

** Раздел «Обязательный минимум математической подготовки учащихся, поступающих в ОУ НПО и СПО определяет «стартовый» уровень и объём умений и навыков;

** Раздел «Требования к математической подготовке обучающихся» показывает конечный «продукт» деятельности преподавателя или «стартовый» уровень выпускника для поступления в ССУЗ (ВУЗ), или обязательный минимум знаний по каждому разделу дисциплины.

Тема «Показательные и логарифмические уравнения и неравенства»

Обучающиеся должны:

- знать общие сведения об уравнениях, неравенствах, способах решения,

- знать четкое определение математических понятий,

- уметь точно, сжато выразить математическую мысль в устной и письменной форме, использовать соответствующую символику;

- свободно решать показательные и логарифмические уравнения и неравенства, системы уравнений, содержащих показательные и логарифмические уравнения.

** Раздел «Тематическое планирование» задаёт перечень и объём материала, обязательного для изучения. Тематическое планирование составлено в соответствии с содержательными линиями раздела;

** Раздел «Календарный план» - конкретное планирование на действующие учебники, перечень которых дан в конце рабочей программы преподавателя;

** Раздел «Требования к обязательному уровню усвоения программы» даётся практический материал по теме.

Для проверки усвоенных знаний учащиеся должны свободно решать следующие задания:

1. Решить показательные уравнения и неравенства:

4^х+1=64*2^х+1;

5^х+6 – 3^х+7= 43*5^х+4 – 19*3^х+5;

4^х-10*2^х-1-24=0;

3*16^х+2*81^х=5*36^х;

0.5^x0.25^x-4,5;

25^x6*5^x-5;

(0,(4))^x-1 (0,(6))^6-x

1. Решить логарифмические уравнения:

Lg(5-x)-1/3lg(35-x³)=0;

lglglgx=0;

log₂x+ log₄x+ log₈x=11;

x^lgx=1000*x²;

Log_0,3(x²-5x+7)0;

log₃x+ log_3x+ log_1/3x6;

log_1/3(3x-1)/(x+2)1

Глава 2 Организация самостоятельной работы при изучении показательных и логарифмических уравнений и неравенств

Дидактические принципы организации самостоятельной работы учащихся.

На уроках математики, как и по другим предметам, с помощью различных самостоятельных работ учащиеся могут приобретать знания, умения и навыки. Все эти работы только тогда дают положительные результаты, когда они определённым образом организованы, т. е. представляют систему.

Под системой самостоятельных работ мы понимаем, прежде всего, совокупность взаимосвязанных, взаимообуславливающих друг друга, логически вытекающих один из другого и подчинённых общим задачам видов работ.

Всякая система должна удовлетворять определённым требованиям или принципам. В противном случае это будет не система, а случайный набор фактов, объектов, предметов и явлений.

При построении системы самостоятельных работ в качестве основных дидактических требований выдвинуты следующие:

1. Система самостоятельных работ должна способствовать решению основных дидактических задач – приобретению учащимися глубоких и прочных знаний, развитию у них познавательных способностей, формированию умения самостоятельно приобретать, расширять и углублять знания, применять их на практике.

2. Система должна удовлетворять основным принципам доступности и систематичности, связи теории с практикой, сознательной и творческой активности, принципу обучения на высоком научном уровне.

3. Входящие в систему работы должны быть разнообразны по учебной цели и содержанию, чтобы обеспечить формирование у учащихся разнообразных умений и навыков.

4. Последовательность выполнения самостоятельных домашних и классных работ вытекала логически из предыдущих и готовила почву для выполнения последующих. В этом случае между отдельными работами обеспечиваются не только «ближние», но и «дальние» связи. Успех решения этой задачи зависит не только от педагогического мастерства учителя, но и от того, как он понимает значение и место каждой отдельной работы в системе работ, в развитии познавательных способностей учащихся, их мышления и других качеств.

Эффективность самостоятельной работы достигается, если она является одним из составных элементов учебного процесса, и для неё предусматривается специальное время на каждом уроке, если она проводится планомерно и систематически, а не случайно и эпизодически.

При отборе видов самостоятельной работы, при определении её объёма и содержания следует руководствоваться, как и во всём процессе обучения, основными принципами дидактики. Наиболее важное значение в этом деле имеют принцип доступности и систематичности, связь теории с практикой, принцип постепенности в нарастании трудностей, принцип творческой активности, а также принцип дифференцированного подхода к учащимся. Применение этих принципов к руководству самостоятельной работой имеет следующие особенности:

1. Самостоятельная работа должна носить целенаправленный характер.

Это достигается чёткой формулировкой цели работы. Задача учителя заключается в том, чтобы найти такую формулировку задания, которая вызывала бы у школьников интерес к работе и стремление выполнить её как можно лучше. Учащиеся должны ясно представлять, в чём заключается задача и каким образом будет осуществляться её выполнение. Это придаёт работе учащихся осмысленный, целенаправленный характер, и способствует более успешному её выполнению.

Недооценка указанного требования приводит к тому, что учащиеся, не поняв цели работы, делают не то, что нужно, или вынуждены в процессе её выполнения многократно обращаться за разъяснением к учителю. Всё это приводит к нерациональной трате времени и снижению уровня самостоятельности учащихся в работе.

1. Самостоятельная работа должна быть действительно самостоятельной и побуждать ученика при её выполнении работать напряжённо.

Однако здесь нельзя допускать крайностей: содержание и объём самостоятельной работы, предлагаемой на каждом этапе обучения, должны быть посильными для учащихся, а сами ученики – подготовлены к выполнению работы теоретически и практически.

1. На первых порах нужно сформировать простейшие навыки самостоятельной работы. (Выполнение схем и чертежей, простых измерений, решение несложных задач и т. п.) В этом случае самостоятельной работе учащихся должен предшествовать наглядный показ приёмов работы учителем, сопровождаемый чёткими объяснениями, записями на доске. Работа в этом случае носит характер подражания. Она не развивает самостоятельности в подлинном смысле слова, но имеет важное значение для формирования более сложных навыков и умений, более высокой формы самостоятельности, при которой учащиеся оказываются способными разрабатывать и применять свои методы решения задач учебного характера.

2. Для самостоятельной работы нужно предлагать такие задания, выполнение которых не допускает действия по готовым рецептам и шаблону, а требует применения знаний в новой ситуации. Только в этом случае самостоятельная работа формирует инициативу и познавательную работу учащихся.

3. В организации самостоятельной работы необходимо учитывать, что для овладения знаниями, умениями и навыками различным учащимся требуется разное время. Осуществлять это можно путём дифференцированного подхода к учащимся. Наблюдая за ходом работы класса в целом и отдельных учащихся, учитель должен вовремя переключать успешно справившихся с заданиями на выполнение более сложных. Некоторым учащимся количество тренировочных упражнений можно свести до минимума. Здесь вредна излишняя торопливость, так и чрезмерное «топтание на месте».

4. Задания, предлагаемые для самостоятельной работы, должны вызывать интерес учащихся. Он вызывается новизной предлагаемых задач, необычностью их содержания, раскрытием перед учащимися практического значения предлагаемой задачи или метода, которым нужно овладеть.

5. Самостоятельные работы учащихся необходимо планомерно и систематически включать в учебный процесс. Только при этом условии у них будут вырабатываться твёрдые умения и навыки. Привитием навыков самостоятельной работы у школьников должен заниматься весь коллектив учителей школы, на занятиях по всем предметам.

6. При организации самостоятельной работы необходимо осуществлять разумное сочетание изложения материала учителем с самостоятельной работой учащихся по приобретению знаний, умений и навыков. В этом деле нельзя допускать крайностей: излишнее увлечение самостоятельной работой может замедлить темпы изучения программного материала, темпы продвижения учащихся вперёд в познании нового.

7. При выполнении самостоятельных работ любого вида руководящая роль должна принадлежать учителю. Учитель продумывает систему самостоятельных работ, их планомерное включение в учебный процесс. Он определяет цель, содержание и объём каждой самостоятельной работы, её место на уроке, методы обучения различным видам самостоятельной работы. Он обучает учащихся методам самоконтроля, и осуществлять контроль качеством, изучает индивидуальные особенности учащихся и учитывает их при организации работы.

1. Самостоятельные работы репродуктивного типа

Задания репродуктивного типа выполняются учащимися на основе образца или подробной инструкции, на основе известных формул и теорем.

1. задания на воспроизведение или непосредственное применение теорем, определений, свойств математических объектов, где не требуется привлечение ранее изученного материала;

2. задания на узнавание, распознавание различных объектов, свойств различных объектов.

В зависимости от целей, которые ставятся перед самостоятельными работами, они могут быть:

* обучающими – самостоятельное выполнение школьниками данных учителем заданий в ходе объяснения материала. Цель таких работ – развитие интереса к изучаемому материалу, привлечение внимания каждого ученика к тому, что объясняет учитель. Здесь сразу выясняется непонятное, выявляются сложные моменты, дают себя знать пробелы в знаниях, которые мешают прочно усвоить изучаемый материал. Особенности данного вида самостоятельной работы в том, что их надо составлять в основном из заданий репродуктивного характера, проверять немедленно и не ставить плохих отметок. Немедленная проверка даёт учителю чёткую картину того, что происходит на уроке, какова степень понимания учащимися нового материала на самом раннем этапе его изучения.

Под обучающими работами мы будем понимать задания, в которых новый материал изучается самими учащимися до объяснения учителем. Рассмотрим два вида обучающих работ:

1. Обучающие задания с объяснительным текстом;

2. Обучающие задания, в которых новые знания сообщаются целенаправленной системой упражнений.

Урок, на котором проводятся обучающие работы, состоит из следующих частей:

1) вводной беседы, основное назначение которой повторение материала, необходимого для выполнения обучающего задания;

2) выполнения задания;

3) обобщающей беседы, во время которой исправляются ошибки, допущенные учащимися.

* тренировочными – задания на распознавание различных объектов и их свойств. Самостоятельные тренировочные работы состоят из однотипных заданий, содержащих существенные признаки и свойства данного определения, правила. Эта работа мало способствует умственному развитию детей, но она необходима, так как позволяет выработать основные умения и навыки и тем самым создать базу для дальнейшего изучения математики.

При выполнении самостоятельных тренировочных работ учащимся необходима помощь учителя. Можно разрешить пользоваться и учебником, и записями в тетрадях, таблицами и т.п. Всё это создаёт благоприятный климат для слабых учащихся. В таких условиях они очень легко включаются в работу и выполняют её. Можно применять, так называемые, карточки-информаторы:

Карточки-информаторы «Методы решения показательных уравнений»[6]

Метод решения	Реши самостоятельно по образцу
Простейшее показательное уравнение af(x) = b, где a 0 если b 0, решения нет если b  0, а1, то единственное решение x = log a b	3x = 9  3x = 32  x = 2 12x = 144; (1/2)x = 8; 5x-3 = 0,2
Приведение степеней к одинаковому основанию обеих частей уравнения af(x) = a g(x)  f(x) = g(x)	(2/5)2x-1= (5/2)x  (2/5)2x-1 = (2/5)-x  2x-1 = -x  x = 1/3 0,2x+0,5 0,04x -------- = --------  5 25
Сведение к квадратным уравнениям – введение новой переменной	4х – 10*2х-1 = 24 (2х)2 – 10*2х1/2 – 24 = 0  (2х)2 – 5*2х – 24 = 0 пусть 2х = у, у 0 тогда у2 – 5у – 24 = 0 и у= -3 (искл.); у=8 возвращаемся к старой переменной 2х = 8 (решаем по п.2) 9х + 12х – 2*16х=0
Вынесение общего множителя- Вынесение степени с наименьшим показателем за скобку или использование свойств степени.	5х+1 – 5х-1 = 24, вынесем степень с наименьшим показателем 5х-1(52-1) = 24 5х-1=1 х- 1 = 0, х=1 6х + 6х+1= 2х + 2х+1 + 2х+2
Решение уравнений вида f(x)g(x)= 1-сложнопоказательная функция, основание не является постоянным, допускается значение f(x)=1, но сохраняется ограничение f(x)0. Рассматриваемое уравнение равносильно совокупности систем f(x)=1, g(x)-имеет смысл g(x)=0, f(x)0	х-3х-10= 1 1.х-3= 1 2.х-30, х-10 =0 –совокупность систем, решая получим ответ 1/3; 10
Графическое решение показательного уравнения. f(x)= g(x), построить графики функций y=f(x) и y=g(x)в одной системе координат, абсцисса точки пересения графиков является корнем уравнения. Данное значение корня не может быть точным!	2х = х-4 3х = х2 -16

«Взаимообмен заданиями»

Как известно, коллективный способ обучения (КСО) есть осуществления обучения через четыре организационные формы: индивидуальную, парную, групповую и коллективную, при этом ведущей является последняя. Раскроем основные идеи и особенности методики взаимообмена заданиями.

Задания представляют собой два однотипных упражнения, вопроса или две однотипные задачи. Его удобно нумеровать буквами и цифрами: буква – для обозначения раздела, цифра – номер задания в данном разделе.

Приведём пример двух разных заданий из раздела «Решение логарифмических уравнений методом потенцирования и логарифмированием». Условно этот раздел обозначим ЛУ.

Задание ЛУ1

Решить уравнения:

a) log₃(x+1) + log₃(x+3) = 1 b) log₂(x- 4) + log₂(6+ x) = 1

Задание ЛУ2 и т.д.

Основной приём. Каждый из успешно успевающих учащихся знает хотя бы один из методов решения. Тогда, работая в паре, они могут обменяться заданиями. Обмен осуществляется следующим образом: один учащийся учит другого своему варианту решения, при этом, если необходимо он излагает соответствующую теорию. Записывать своё решение и теорию он может прямо в тетрадь второму ученику. Затем таким же образом второй обучающийся объясняет первому решение своего задания. После этого они самостоятельно решают задания б) напарника. Проверив друг у друга правильность решения, напарники расходятся. На этом работа в паре заканчивается.

Методика взаимообмена заданиями. Работа в группе, не менее шести человек. Для этого раздела составляется шесть заданий. Для координации работы составляется таблица учета:

Ф.И.ученика	ЛУ1	ЛУ2	ЛУ3	ЛУ4	ЛУ5	ЛУ6
Петров	*(+)
Иванов		*
Озеров			*(+)
Степанов				*(+)
Попов					*(+)
Кузнецов						*

Как видно из таблицы все шесть заданий распределяются между учащимися. Делается соответствующая отметка (*) в таблице учета. Далее начинается «запуск раздела»: преподаватель объясняет, если это необходимо, каждому учащемуся, как решается уравнение а), вариант б) учащийся прорешивает сам и проверяет правильность решения у преподавателя. После этого преподаватель ставить «+» рядом со «*», если решение верно. «Запуск раздела» считается законченным, если каждое задание выполнено хотя бы одним из обучаемых. Далее, чтобы выполнить остальные задания, учащиеся работают в паре (см. «Основной приём»). Из таблицы видно, что Петров и Озеров могут обменяться заданиями, аналогично создаётся пара Степанов и Попов. В таблице появляются новые символы:

Фамилия, имя студента	ЛУ1	ЛУ2	ЛУ3	ЛУ4	ЛУ5	ЛУ6
Петров	*(+)		+
Иванов		*
Озеров	+		*(+)
Степанов				*(+)	+
Попов				+	*(+)
Кузнецов						*

Иванов и Кузнецов в это время работают индивидуально, или получают консультацию у преподавателя о верном решении. Работа продолжается до тех пор, пока каждый из учащихся не выполнить все шесть заданий. Так можно «запустить» не один, а несколько разделов. Для этого создаётся следующая таблица учета:

	Раздел А 1 2 3 4 5 6	Раздел В 1 2 3 4 5 6	Раздел С 1 2 3 4 5 6	Раздел Д 1 2 3 4 5 6	Е т.д. 1 2 и т.д.
Иванов	+ + + + + +
Петров		+ + + + + +
Озеров	+ + + + + +			+ + + + + +
Степанов			+ + + + + +
Сидоров
И т.д.					+ + + + + +

Таблица даёт возможность переключать учащихся для работы из одной группы в другую, по мере выполнения заданий разделов.

Особенности методики данного вида самостоятельной работы. Методика предназначена для обучения решению стандартных, типовых задач. По каждому типу задач учащемуся предоставляется возможность добиться полного понимания. Обучающийся решает хотя бы одну задачу каждого типа самостоятельно. Большинство задач учащемуся, обучая других, приходится решать заново. Методика позволяет реализовать идеи индивидуального подхода к каждому ученику.

* Закрепляющие – самостоятельные работы, которые способствуют развитию логического мышления и требуют комбинированного применения различных правил и теорем. Они показывают, насколько прочно, осмысленно усвоен материал. По результатам проверки заданий данного вида учитель определяет, нужно ли ещё заниматься данной темой или можно перейти к изучению следующей.

Основная цель данного типа самостоятельной работы – выработка основных умений и навыков, необходимых для изучения математики. Деятельность учащихся заключается в простом воспроизведении изученного, но данный вид деятельности создаёт базу для дальнейшего изучения математики.

К такого рода самостоятельной работы можно отнести самостоятельное занятие студентов с использованием «Алгебраического тренажёра».

«Голые» решебники, с одной стороны, и «чистые» сборники задач, с другой, - две крайности учебной литературы. Первые совсем не оставляют места для творчества. Работа со вторыми, как правило, возможна лишь под руководством опытного наставника. Желательно иметь нечто среднее, скажем обучающий сборник задач. Дадим разъяснения, в каждой теме есть базисные (опорные) задачи, идея решения которых группирует вокруг них целый класс аналогичных задач. Таким образом, научившись решать ключевую задачу, мы открываем путь к решению «задач-родственников». Следует демонстрировать именно решение базисных задач, а аналогичные рассматривать как упражнения. «Алгебраический тренажёр» как раз и является сборником задач такого рода. Он построен по принципу: «ключевая задача + упражнения». Его можно рассматривать как сборник задач с широким диапазоном применения: от справочника по методам решений до дидактического материала. В конце можно дать самостоятельные работы с различным уровнем сложности.

«Алгебраический тренажёр»

Тема « Показательные уравнения»

Немного теории

Решение простейших показательных уравнений

Рассмотрим «простейшее» показательное уравнение вида a^f(x) = b, a0.

Если b0, то это уравнение решений не имеет.

Если b0 и а 1, то существует число log_a b и исходное уравнение может быть представлено в виде a^f(x) = а^{log b}.

Далее рассматриваются способы решения показательных уравнений: приведение степеней в левой и правой частях уравнения к одному и тому же основанию, сведением к квадратным уравнениям, вынесением общего множителя за скобку.

Решение уравнений вида f(x)^g(x)= 1

Функция вида у = f(x)^g(x) является сложнопоказательной функцией, у которой, в отличие от показательной функции у=а^х, основание не является постоянным, при этом допускается значение f(x)=1, но сохраняется ограничение f(x) 0.

Рассматриваемое уравнение равносильно совокупности двух систем

f(x)=1,

g(x) имеет смысл,

g(x) =0,

f(x) 0

так как единица в любой степени равна единице, и любое положительное число в нулевой степени равно единице (нуль в нулевой степени не определён).

Решение показательных неравенств

При решении показательных неравенств надо помнить, что показательная функция у=а^х возрастает при a0 и убывает при 0а1. Эти свойства необходимо знать для успешного решения показательных неравенств; кроме того, они могут оказаться полезными и при решении показательных уравнений.

Рассмотрим «простейшее» показательное неравенство a^f(x)  b, где a0.

При a = 1 это неравенство равносильно числовому неравенству 1 b. Следовательно, если b1, неравенство не имеет решения, а если меньше 1, то х – любое число из области определения функции f(x).

Пусть а 1. Если b0, то х – любое число из области определения функции f(x); если же б0, то решение задаётся условием f(x)  log_a b при a1,

f(x)  log_a b при 0а1.

Удобно пользоваться следующими схемами решения показательных неравенств:

Неравенство a^f(x)  a^g(x) при a1  f(x)  g(x)

Неравенство a^f(x)  a^g(x) при 0а1 f(x)  g(x).

1. Полезные упражнения

1. Решить неравенства:

а) 2^х -1

б) 2^1/х  -1

в) 2^х -1

г) 2^{arcsin x} -/4

д) 2^{ctg x} cos x

е) 2^x arcsin x - /2

1. Решить уравнения:

а) 2^{cos x} =x² +2

б) 2^{arccos x} = 1 – x²

в) 2^x = cos x

Ответы:

1. а) х – любое б) (-; 0) (0; ) в) х 0 г) -1 х 1 д) х-любое е) х 1

2. а) х=0 б) х=0 в) х=0

Основные типы задач

Решить уравнение 2^{х -3} * 5^{х -3} = 0,01*(10^х-1)³

Решение: (2*5)^{х – 3} = 10^-2 *10^3х-3

10^{х – 3} = 10^3х-5

х² – 3= 3х – 5

Ответ: х=1 или х=2

Упражнения:

(1/0,125)^х = 128

(5^{х + х –2}) ^3-х =1

(0,5)^х * 2^2х+2 = 1/64

2^х * 5^х = 0,1* (10^х-1)⁵

3^х *(1/3)^х-3 = (1/27)^х

8*7^{х -5х+7} – 7*8^{х -5х +7} = 0

3^х+2 – 3^х = 72

10^х – 5^х-1*2^х-2= 950

5^2х-1+4^х = 5^2х – 4^х+1

2^{х -1} – 3^х = 3^{х -1} – 2 ^{х +2}

Решить уравнение 8^х –4^х+0,5 –2^х +2 =0

Решение: 2^3х – 2^2х+1 –2^х +2 =0

2^3х – 2*2^2х -2^х +2 =0

пусть 2^х = у, у0. Тогда уравнение примет вид у³ –2у²-у +2=0

у= 2, у= 1, у= -1.

Исходное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

2^х = 2

2^х = 1 Ответ х=1 или х=0

Упражнения:

4^4х –5*4^1/х +4 = 0

5^2х-1 +5^х+1 =250

27^2х =4*3^9х – 3

9 ^х-1 –36 *3^х-3 +3=0

4^2х+1 +2^2х+6 = 4*8^х+1

3*2^{х -1} – 8*2^х - 4 =0

Решить уравнение 5^1+х -5^1-х =24

Решение: имеем 5*5^х - 5/5^х =24

Пусть 5^х =у, тогда уравнение примет вид 5у-5/у =24

5у² –24у –5 = 0

у=5 или у= -1/5

Следовательно, исходное уравнение равносильно 5^х =5

Ответ: х=1 или х=-1

Упражнения:

5^х – 24 = 25/5^х

10^1+х -10^{1 –х} =99

9- 2^х = 2^3-х

2^2+х –2^2-х =15

2^х + 8*2^-х = 16,5

5^х-1+ 5*0,2^х-2 = 26

Решить уравнение 2^х + 5^х = 7^х

Решение: легко заметить, что х=1 –корень данного уравнения. Покажем, что других корней нет.

Имеем: (2/7)^х + (5/7)^х = 1

Функция в левой части уравнения убывающая. Тогда горизонтальная прямая У=1 может пересечь график функции не более чем в одной точке. Следовательно, х=1 – единственный корень

Упражнения:

2^х = 3 –х

3^х-1 +5^х-1 =34

3^х +4^х = 5^х

3^х-2 = 9/х

7^6-х = х+2

Тренировочные карточки задания.

Структура карточки: в состав заданий входят уравнения разной степени сложности «*» - обязательный уровень, «**»- средний уровень сложности и «***»- уравнения, требующие повышенного уровня знаний, каждое поле карточки содержит от 5 до 10 уравнений, студент сам выбирает «поле» для решения, на карточке имеется критерий выставления оценки. Кроме того, что необходимо решить уравнения, нужно еще определить и каким способом можно решить это уравнение или решить несколькими способами.

Приведём пример такой карточки задания:

Решить показательные уравнения: Задание 1*: а) 4х=8; б) 71-4х=1 в) 3х = 9х+1 г) 2х+1 + 2х = 3 д) 2х * 3х+1 = 81 __________________________________________________________________ Задание 2**: а) 2х = 3х б) (1/2)х = 4х+6 в) 3*22х + 6х-2*32х =0 __________________________________________________________________ Задание 3***: а) 9х + 6х = 22х+1 б) 252х+6 +16*42х+6 = 20*102х+5 __________________________________________________________________ Критерии оценок: Оценка «3» - за задание 1 Оценка «4» - за задания 1, 2 Оценка «5» - за задания 1,2 и хотя бы одно из уравнений задания 3 Уравнения должны быть решены без ошибок.

2.2 Самостоятельные работы реконструктивного типа

Реконструктивные задания указывают только на общий принцип решения, например «Решите графически неравенство». Выполнение таких заданий, возможно, только после того, как ученик сам реконструирует их, соотнесёт с несколькими репродуктивными. К такого рода заданиям можно отнести задания на построение графиков, когда ученику, знающему общий метод построения графиков, необходимо проанализировать свойства конкретной функции и для неё выбрать наиболее удобный метод построения. Это задания, требующие перевода со словесной формулировки на язык алгебры.

К реконструктивным необходимо отнести и задания, при выполнении которых учащимся приходится использовать несколько алгоритмов, формул, теорем, если они даны в явном виде.

Все эти задания характерны тем, что, приступая к их выполнению, ученик должен проанализировать возможные общие пути решения, отыскать характерные признаки объекта, использовать несколько репродуктивных задач.

Необходимо отметить, что познавательная деятельность при выполнении этих заданий в основном не выходит за рамки преобразующего воспроизведения знаний, но она неизбежно сопровождается уже некоторым обобщением.

2.3 Самостоятельные работы вариативного типа.

Данный тип самостоятельной работы отличается от первых двух высоким уровнем воспроизводящей деятельности и переходом её в творческую деятельность. При выполнении данного типа заданий ученику необходимо из всего арсенала математических знаний отобрать нужные для решения конкретной задачи, воспользоваться интуицией, найти выход из нестандартной ситуации.

К такого рода заданиям относятся так называемые задачи на «сообразительность», задачи «с изюминкой», многие задачи на доказательство (когда нет жёсткого алгоритма доказательства), а также задачи, в которых необходимо создание новых алгоритмов для их решения. Например: «Вставьте пропущенное в выражение (определение), чтобы получилось верное тождество (определение)». К вариативным относятся и задания на составление различных задач.

Карточка-задание «Допиши формулу» Тема: «Логарифм и его свойства»

Цель работы: проверить знание определение логарифма и основные свойства логарифмов.

Карточка состоит из двух частей: на левой стороне карточки написано начало формулы, внутрь карточки вставлен чистый лист бумаги, на котором учащиеся должны написать окончание формулы.

Разноуровневые карточки-задания по алгебре и началам анализа

Тема: «Решение логарифмических уравнений»

Цель работы:

1. Проверка знаний и умений учащихся по решению логарифмических уравнений.

2. Выявление пробелов в знаниях учащихся.

Ход работы с карточками:

Количество карточек соответствует количеству учащихся в классе. Карточки составлены следующим образом: 1 часть - два уравнения, соответствующие обязательному уровню знаний учащихся, вторая часть – обязательный уровень знаний, но уравнения усложнены, третья часть самостоятельной работы – уравнения, по сложности соответствуют части тестов ЕГЭ.

Учащиеся сами выбирают темп и объем работы в соответствии со своим уровнем знаний, умений и навыков. Работа рассчитана на 15-20 минут. Рассмотрим один из вариантов такого задания:

Решить логарифмические уравнения: Чтобы получить оценку «3» реши следующие задания: а) log3 – 1(x2 -3)=0; b) log7 (x-1) = log7x; в) 1/2 lg (х2 + х -5)= lg5х + lg (1/5х) Чтобы получить оценку «4» необходимо еще решить и эти уравнения: а) log3 (5х +3) = log1/3 (7х +5) б) (х2 -5х +6)* log2 (х2 -6х +11) = 0 3. А если тебе нужна «5», то постарайся решить ещё одно уравнение: log0,5х х2 -14 log16х х3 + 40 log4х х = 0 или 2 logха +logаха + 3logаха2 = 0 (а 1). Желаю успехов!

Критерии оценки работы:

На «5» - выполнены все уравнения карточки.

На «4» - выполнены правильно уравнения частей 1 и 2.

На «3» - выполнены уравнения части 1.

Карточки-задания «Найди ошибки»

Тема: « Решение логарифмических уравнений»

Цель работы: подготовка к контрольной работе, повторение основных положений решения логарифмических уравнений, в процессе самостоятельной работы развивается внимание.

Методические указания: карточка-задание представляет собой два поля, на левом поле карточки представлено решение логарифмического уравнения, с заведомо сделанными ошибками в решении (не найдена область допустимых значений уравнения, неправильно преобразовано логарифмическое выражение, нарушена равносильность при преобразованиях), левое поле – чистый лист бумаги, который можно потом заменить. На чистом листе бумаги учащийся должен решить уравнение и пастой другого цвета выделить допущенные в первом решении ошибки.

Время на выполнение работы 5-7 минут.

2.4 Организация самостоятельной работы учащихся при работе с учебной литературой

Научно – технический прогресс неизбежно приводит к возрастанию объёмов знаний, подлежащих усвоению в период обучения, как в средней школе, так и в высшей, повышает требования к уровню образования.

Хотелось бы особо подчеркнуть, что процесс познания не может быть успешным без овладения системой умений и навыков учебного труда, которая включает в себя умение читать и писать, самостоятельно планировать работу, осуществлять контроль за её выполнением, вносить последующие коррективы и т. д. от уровня контроля сформированности этих умений находятся в зависимости успехи в учении, уровень обучаемости школьников.

В психологии различают (Н. В. Кузьмина и др.) такие группы умений как организационные, конструкторские, коммуникативные, т. е. умения самостоятельно приобретать знания.

Когда – то считалось, что учить школьников обращению с книгой должны преподаватели литературы и истории. В качестве основных методов обучения рекомендовалось самостоятельное чтение текста учащимися и составление ими плана прочитанного.

В настоящее время разработана методика поэтапного формирования умения самостоятельно работать с учебной и дополнительной литературой, основана на логически – генетическом (структурном) анализе содержания учебных дисциплин естественнонаучного цикла, который позволяет выделить в них главные структурные элементы знаний – факты, понятия, формулы, теоремы, законы и теории. Требования к усвоению главных структурных элементов знаний обычно выписывают на плакатах или помещают на стенде. Если есть возможность размножить планы, то их полезно выдать каждому ученику в личное пользование.

Применение планов обобщённого характера ускоряет процесс формирования самостоятельной работы с литературой, умение выделять главные мысли в тексте, предупреждать механическое заучивание текста. Всё это оказывает положительное влияние на знание учащихся. Знания становятся более глубокими и осознанными. Работа с текстом приобретает творческий, преобразующий характер. Ученик при чтении текста стремится выделить в нём основные структурные элементы, выявляет и анализирует информацию, относящую к каждому из них. Ответы детей становятся более чёткими по форме, глубокими по содержанию – ответами по существу.

Применение планов обобщённого характера имеет важное значение не только для формирования умения выделить главные мысли в тексте. Они служат ориентировочной основой в овладении основными группами понятий, законами и теориями по любому предмету.

У обучающихся необходимо сформировать шесть групп умений работы с учебником.

Первая группа – извлечение более значимой информации из текста, выделение главного и фиксирования его в логическую цепочку (главные мысли, ключевые моменты, «звенья» цепочки). В процессе такой работы заложенная в учебник обширная информация как бы «свёртывается» в несколько слов (звенья, образы), связанные между собой. При воспроизведении текста эти образы «развёртываются» в рассказ. Из психологии известно, что восприятие на этапе «свёртывания» значительно облегчается, если работа сопровождается записями, отражающими результаты анализа текста. Если выделение и фиксация основных знаний в виде логической цепочки проводятся систематически из урока в урок, то это даёт хороший результат.

Процесс выделения и раскрытия логических цепочек предполагает неоднократное чтение материала. Первичное даёт общее представление, вторичное – позволяет выделить главные мысли, третье – выделить материал для пояснения отдельных звеньев. Тесное сочетание устных и письменных видов деятельности способствует развитию речи и овладению научной терминологией. Элементарный подсчёт показывает, что обычно ученик говорит на уроке «по делу» не более 1 – 2 минут. Значит, если мы предложим учащимся думать «про себя» в течение 10 – 15 минут о тексте учебника, проговаривая рассуждения, чтобы правильно сделать записи в тетради, то мы значительно увеличим объём воспроизводимой каждым из них учебной информации. А поскольку письменная речь более точна, чем устная, в ней всё каждое слово должно быть продумано и взвешено, она в большей степени служит развитию логического мышления школьников и их культуры мысли.

В логическую цепочку можно уложить материал не одного, а 2 – 3 параграфов. Каждое звено цепочки в процессе рассказа учителя и работы с текстом учебника «наполняется» содержанием, который кратко фиксируется на доске и в тетрадях. В качестве плана ответа логическая цепочка имеет преимущества перед вопросами параграфа: она меньше по объёму, более целенаправленно отражает содержание параграфа и лучше запоминается. Использовать её целесообразнее на стадии изучения материала.

На обобщающих уроках предпочтительнее использовать структурные схемы, которые строятся по алгоритму: понятие – пример – вывод.

Карточки-классификаторы (работа с учебником)

Тема «Логарифмические уравнения» (повторение)

Цель работы: повторение формул, работа с учебником (предметно-именным указателем и содержанием), классификация основных понятий и формул, оформление материала в таблицу.

Ход работы:

1. Найти необходимый материал по предметно-именному указателю.

2. Выписать основные формулы и сделать необходимые рисунки.

3. Оформить все данные в классификационную таблицу.

Конспект – таблица

По материалам конспекта урока и учебнику учащиеся составляют «Конспект-таблицу», с помощью, которой на последующих уроках решают самостоятельно задачи.

Цель: 1. Осмысление теоретического материала

2. Систематизация и обобщение знаний

3. Изготовление «шпаргалок» по данной теме.

Работа оформляется на формате А4.

Методические рекомендации по изучению темы «Показательные неравенства». Рекомендации по изучению темы: При изучении темы использовать учебник «Алгебра и начала анализа 10-11 класс» под ред. Колмогорова (п.36) Определение: неравенство, содержащее переменную в показателе степени, называется показательным. Методы решения показательных уравнений опираются на свойство монотонности показательной функции (вспомните их). Решение показательных неравенств вида af(x)  ag(x) (где а 0, а1) основано на следующих утверждениях: Если а 1, то неравенства af(x)  ag(x) и f(x)g(x) равносильны; Если 0а1, то неравенства af(x)ag(x) и f(x) g(x) равносильны (это следует из монотонности показательной функции. Разобрать по учебнику решение примеров 5,6 и 7 на стр. 221-222 с записью в тетрадях. Решить показательные неравенства № 466(б,г), № 467(б,г), № 473 (а,б), № 474 (а,б). Попытайтесь решить следующее задание: Найти наименьшее целое значение х, удовлетворяющее неравенству 2х+3 + 10*11х+2 11х+3 + 2х+2

Вторая группа – это умение извлекать знания из наглядного материала учебника.

Рисунки и схемы учебника знакомят с

1. информацией, помогающей уяснить главные понятия;

2. графиками;

3. изображениями плоских и объёмных фигур.

Психологическая особенность восприятия рисунков состоит в том, что вначале человек как бы приковывает свой взор к изображению и запоминанию его. Но эта реакция быстро угасает, если не организовать специальную деятельность по анализу изображения, выделения в нём наиболее значимых компонентов. Графики позволяют выяснять количественную зависимость переменных друг от друга.

Третья группа – умения, связанные с решением задач. В учебнике обычно представлены различные типы задач: задачи – рисунки, качественные, графические, расчётные, задачи с образцами решения. Учебник может помочь в выработке умений решать их. Полезно предлагать задания:

- прочитать условие задачи и найти в учебнике параграф или фрагменты в нём с описанием решения;

- после решения задачи и получения ответа найти в учебнике тот материал, который подтвердит правильность решения;

Четвёртая группа – умение работать с различными таблицами. Эта работа вырабатывает умение работать со справочниками.

Пятая группа – экспериментальные умения. Так как лимит учебного времени не позволяет увеличить число классных фронтальных работ, то можно применять домашние экспериментальные задания, тематика, содержание и методика которых адекватна лабораторным работам (построить график температур, изготовить модель объёмного тела и выполнить необходимые измерения и вычисления). Подобного рода задания сближают обучение и практику.

Шестая группа – умение ориентироваться в тексте и справочном материале учебника. Для их выработки можно использовать такие упражнения:

- по оглавлению рассказать о тематической структуре учебника, тематике его параграфов;

- по предметно – именному указателю найти материал, указанный учителем; и пересказать его;

В настоящее время учебник чаще всего используется для повторения материала дома, реже – на уроках в качестве справочника или источника упражнений и задач и очень редко – источника самостоятельного приобретения знаний (в лучшем случае на эту работу учеников отводится 2-3% времени урока). Такая недооценка возможностей применения учебника отрицательно сказывается на развитие общеучебных навыков школьников.

За время обучения в школе учащиеся должны овладеть следующими умениями и навыками в работе с книгой:

• уметь пользоваться оглавлением, предметно-именным указателем;

• уметь выделять главное в прочитанном тексте;

• уметь самостоятельно разбираться в выводах формул;

• уметь пользоваться рисунками, таблицами, графиками;

• уметь составлять план и конспект прочитанного материала;

• уметь излагать прочитанное своими словами, логично, последовательно, дополнять материал, имеющийся в учебнике, сведениями, полученными из других источников;

• уметь работать, составлять библиографию по изучаемому вопросу.

Самостоятельная работа школьников с учебником должна находиться в логической связи со всеми другими видами деятельности учителя и учащихся на уроке. Учебник может быть использован на уроке и для усвоения нового материала, что способствует активизации учащихся в процессе обучения, но при условии, если учащиеся имеют запас знаний, необходимых для правильного понимания нового материала. При использовании учебника на уроках усвоения нового материала необходимо придерживаться некоторых требований:

1. при каждом обращении к учебнику ставится определённая цель, вызывающая интенсивную мыслительную деятельность учащихся;

2. работа с учебником должна проводиться в связи с другими методами и приёмами, используемыми на уроке;

3. эта работа должна проводиться систематически;

4. учащиеся готовятся к работе с учебником при постановке перед ними посильной задачи;

5. не только подготовка к чтению учебника, но и сам процесс работы с ним находятся под постоянным направляющим воздействием учителя.

Примеры заданий при работе с учебником:

• составление вопросов учителем, на которые учащиеся должны найти ответы в тексте и сформулировать ответ своими словами.

• Пересказ основной мысли изученного.

• Составление плана текста: простого, развёрнутого, устного, письменного (в виде вопросов, цитат, тезисов и т.д.).

• Выделение в тексте определённых признаков.

• Сравнение различных понятий и определений.

1. Методические рекомендации по выполнению самостоятельных работ учащимися

Как составить план текста Прочитайте текст, выясните значения непонятных терминов. Определите тему и основную мысль текста. Разделите текст на смысловые части, озаглавьте их. Напишите черновик плана. Сопоставьте его с текстом. Проследите, всё ли главное нашло отражение в плане, связаны ли пункты плана по смыслу. Проверьте, можно ли руководствуясь планом воспроизвести текст. Аккуратно перепишите план в тетрадь.

Как составить конспект Определить цель составления конспекта. Читая текст в первый раз, подразделяйте его на основные смысловые части, выделяйте главные мысли, выводы. Если составляется план-конспект, сформулируйте его пункты и определите, что следует включить в план-конспект. Наиболее существенные положения (тезисы) последовательно и кратко излагайте своими словами или приводите в виде цитат. В конспект включаются не только основные положения, но и обосновывающие их выводы, конкретные примеры. Составляя конспект, можно отдельные слова или предложения писать сокращённо, выписывать только ключевые слова, или делать ссылки. Применять условные обозначения и символы. Чтобы форма конспекта нагляднее отражала его содержание, располагайте абзацы «ступеньками» подобно пунктам и подпунктам плана, применяйте разнообразные способы подчеркивания, используйте ручки разного цвета.

Общие требования к разработке реферата Продумайте тему свой работы, определите её содержание, набросайте предварительный план. Составьте список литературы, который следует прочитать. Читая, делайте выписки. Во вступлении к работе раскройте значение темы. Последовательно раскройте предусмотренные планом вопросы, разъясните основные положения, подкрепите их примерами. Отразите в работе своё личное мнение. Пишите грамотно, точно, кратко; разделяйте текст на абзацы. Не допускайте повторений. В пронумерованных подстрочных сносках укажите, откуда взяты приведённые в тексте цитаты и факты. В конце работы сделайте обобщающий вывод. Самокритично прочитайте свою работу и зафиксируйте все отмеченные недостатки. Перепишите работу набело.

Как подготовить доклад Определить цель доклада. Подбор необходимого материала содержания доклада. Составление плана доклада, распределение собранного материала в необходимой логической последовательности. Композиционное оформление доклада. Заучивание, запоминание текста доклада, подготовка тезисов выступления. «Разыгрывание доклада», т.е. произнесение доклада с соответствующей интонацией, мимикой, жестами. Элементы доклада: вступление, определение предмета выступления, изложение, подтверждение (опровержение), заключение.

Как выполнить анализ контрольной работы? Найти в проверенной работе допущенные ошибки. Выяснить по какой теме раздела допущена ошибка. Прочитать материал по теме в учебном пособии. Разобрать в учебнике подобные примеры. Прорешать задания, в которых допущены ошибки. Выписать основные правила и алгоритмы по теме. Составить подобные примеры и прорешать их. Отчитаться по проделанной работе

2.5 Методические рекомендации преподавателям для организации и проведения самостоятельных работ

Как составить карточку – консультанта 1. Карточка-консультант используется при выполнении самостоятельной работы, выполнении домашней работы, при ответе у доски помогает решить задачу. 2. В карточке содержатся узловые моменты изучаемой темы, а так же алгоритмы решения задач. 3. Вначале карточки-консультанты составляются учителем, а затем к их составлению можно привлекать учащихся. В процессе работы обучаемые учатся выделять узловые вопросы в прочитанном тексте, составлять алгоритмы. 4. Работа по составлению карточек-информаторов прививает интерес к предмету, учит творческому подходу к учебному материалу.

Как научить отвечать на вопросы - преподаватель сам даёт ответ на поставленный вопрос, демонстрируя образец ответа. Просит повторить учащихся ответ. - составляется план ответа и вместе с учащимися подбирается и располагается материал. - в отдельных случаях разрешается при подготовке ответа пользоваться учебником, тетрадью, пособиями. - после ответа проводится тщательный его анализ, дополняются отдельные разделы, отмечаются ошибки в языке, логике изложения, аргументации, выводах. - время от времени пишутся краткие письменные ответы на те или иные вопросы. - преподаватель должен дать краткий анализ ответа ученика. - не допускайте односложных ответов, не вмешивайтесь в ход ответа, не задавайте бесконечных наводящих и подсказывающих вопросов.

Как провести тематический учет знаний Тематический контроль - проводится после каждой изученной темы для этого - подготовить специальные опросники, тренажёры, сборники заданий - обязательно в ходе учета фиксировать пробелы в знаниях студентов - систематически проверять домашние задания, фиксировать это - можно провести самостоятельную работу и оценить её в ходе взаимопроверки - использовать помощь ассистентов при проверке знаний

Как подготовить самостоятельную работу - установить цель самостоятельной работы - продумать последовательность действий, операций - подготовить материальную базу (дидактический материал, приборы, ТСО, литературу) - предварительно научить обучающихся навыкам самостоятельной работы * как читать и вычленять главное * писать конспекты, тезисы * составлять план * решать задачи, работать с перфокартами, тестами и др. материалами - продумать способы оформления результатов работы, итогового и промежуточного контроля, - спланировать своевременная помощь для тех, кто в этом нуждается - в отдельных случаях продумать инструктаж (например: работа на ПК)

Глава 3. Контроль знаний, умений и навыков по теме «Показательные и логарифмические уравнения и неравенства»

Контролирующие самостоятельные работы.

После того как материал хорошо усвоен, и учащиеся свободно справляются с работами по формированию знаний и навыков, необходимо проверить и оценить приобретённые ими знаниями. Контролирующие работы необходимо проводить после логически завершенных циклов учебного материала, что даёт возможность проверить степень усвоения материала учащимися в каждом из циклов. Очевидно, что форма контроля и структура заданий определяются целью и характером знаний, которые должны быть достигнуты учащимися.

Письменную проверку знаний и умений, учащихся необходимо проводить на различных этапах усвоения изученного, что даёт возможность несколько раз получить информацию об усвоении одного и того же материала. С этой целью целесообразно проводить различного рода контролирующие работы. Их можно разделить на следующие виды: проверочные, контрольные, обзорные и итоговые.

1. Различные виды заданий индивидуального контроля

Проверочные самостоятельные работы предназначены для проверки усвоения отдельного фрагмента курса в период изучения темы. Они рассчитаны на 10-15 минут. Такие работы необходимы как ученику, так и учителю. При их выполнении учитель своевременно получает информацию о том, как усваивается тема, что позволяет вовремя выявить ошибки, обнаружить пробелы в знаниях, и в зависимости от этого строить работу по дальнейшему изучению данной темы. Учащиеся получают дополнительную практику при самостоятельном решении задач и тем самым готовятся к контрольной работе.

Поскольку проверочные работы проводятся после отработки основных умений и навыков, то нет необходимости включать в эти работы задания репродуктивного характера.

Основа проверочных работ – задания реконструктивного характера. В то же время в проверочные работы не следует включать задания сложнее тех, которые выполнялись учащимися на уроках и дома.

Порядок расположения заданий в проверочных работах не играет такой роли, как в обучающих, так как проверяемые знания и навыки уже отработаны.

Покажем, например, как может быть построена система проверочных работ по теме «Показательные уравнения».

Разобьем эту тему на три логически законченных фрагмента:

1. Решение простейшего показательного уравнения

2. Решение показательных уравнений способом вынесения общего множителя

3. Решение показательного уравнения способом введения новой переменной.

К моменту проведения первой проверочной работы учащимся знакомы свойства показательной функции, основные теоремы, лежащие в основе простейших показательных уравнений и алгоритмы решения данных видов уравнений. Первое задание должно быть простым, но для его решения необходимо знание алгоритма решения простейшего уравнения. Второе задание может быть несколько сложнее, но его направленность та же – знание алгоритма решения простейшего показательного уравнения.

Применение карточек – заданий на уроке.

Перед каждым учителем математики стоит важная задача – добиться осознанного и глубокого усвоения учебного материала каждым школьником. Для этого нужно так организовать учебный процесс, чтобы получаемые учащимися на уроке знания и умения хорошо закреплялись, чтобы все ученики были вовлечены в самостоятельную работу.

Во – первых, необходимо организовать регулярную проверку знаний учащихся. Одна из интересных и оперативных форм опроса – текстовые карточки – задания, где сформирована совокупность взаимосвязанных вопросов, ответить на которые нужно в основном путём анализа, изученного материала. Вопросы составлены так, что исключаются однозначные ответы типа «да», «нет». Рассуждая, ученик должен обосновать своё мнение, опираясь на понятия, теоремы. Некоторые карточки можно снабдить таблицами, необходимыми для выполнения задания.

Карточки сделаны на плотном, перегнутом пополам листе бумаги. На верхнем листе написана тема, даются вопросы (рисунки по необходимости), в нём же вырезаны ровного размера прямоугольники, внутрь вставляется лист бумаги. На вкладыше ученик пишет ответы на вопросы, свою фамилию и класс.

Содержание карточек рассчитано на проверку умений учеников по трём уровням:

• воспроизводить материал учебника;

• применять знания в ситуациях, сходных с теми, что описаны в учебнике;

• применять знания творчески, в новых условиях.

Для выявления первого уровня усвоения ученики должны показать знания формулировок, формул, ряда понятий, умения чертить графики. Для выявления второго и третьего уровней в карточку включаются задания, требующие рассуждения, анализа и подведения выводов.

Типы карточек – заданий.

1. контроль теоретических знаний;

2. проверка формул;

3. разнообразные карточки – задачи (тренировочные; задачи, направленные на систематизацию изученного материала; контрольные работы);

4. карточки с пропущенными словами, (их необходимо заполнить) после заполнения получается небольшой связанный рассказ. Урок с применением карточек строится так, чтобы выделить время для их проверки. Проверка с помощью ранее заготовленной таблицы, время проверки – несколько минут. Затем непременно делается анализ выполненной работой, с разбором неправильных ответов. Необходимо провести рефлексию с учащимися – контроль обучающей функции карточки. (Что нового узнали при работе с карточкой?) При проверке сложных заданий и последующем анализе на доске можно вывешивать увеличенные копии карточек, а ответы на задания пишет у доски сильный ученик. Полезно организовать взаимопроверку.

Повторение терминов можно проводить с помощью карточек-заданий «Ликвидировать пропуски» в виде печатных раздаточных материалов с пропусками или с «окошечками» (на 1-м уроке), на втором уроке – письменный опрос, составленный по аналогии.

При неудовлетворительных ответах, после индивидуального дополнительного задания, учащиеся выполняют другой вариант этой же работы, на эту же тему.

Время урока используется рационально, карточки улучшают оперативный контроль усвоения знаний, помогают повышать качество обучения учащихся.

Карточки «Выбери задания»

Тема «Показательные уравнения»

Цель работы: оценка уровня знаний, умений и навыков, учащихся по теме в процессе самостоятельной работы учащихся по решению задач.

Ход работы: из шести данных задач учащийся выбирает любые три и решает их.

Критерии оценки работы:

Оценка «5» - правильно решены три задачи, решение задач с пояснениями;

Оценка «4» - правильно решены две задачи, решение задач с пояснениями, есть незначительные ошибки;

Оценка «3» - правильно решены две задачи, пояснений к решению нет.

Самостоятельная работа имеет два варианта

По каждой большой теме ведётся следующая таблица:

Тема: «………»

Список учащихся	Пробелы в знаниях	Индивидуальные классные задания	Домашние индивидуальные задания	Примечание: «+» - пробел устранён «- « -ошибка не устранена

Все графы таблицы заполняются карандашом, кроме первой.

Для устранения ошибок по каждой теме составляются карточки, в которой каждый пример сопровождается тем или иным правилом, сформулированным полностью или с пропусками.

Такие карточки составляются в соответствии с таблицей, где отмечены ошибки учащихся. Ценность таких индивидуальных заданий намного возрастет, если побеседовать с каждым учащимся индивидуально.

Самостоятельная работа с таблицами ответов.

Тема: « Решение логарифмических уравнений»

Данный вид самостоятельной работы значительно упрощает проверку заданий.

Самостоятельная работа включает в себя два вида карточек: карточка с заданиями и карточка с ответами, каждому заданию соответствует пять вариантов ответов, из которых только один верный.

В ходе решения учащиеся выбирают правильный ответ из таблицы и выписывают букву, которому этот ответ соответствует. При правильном выполнения решения – учащийся получает кодовое слово.

Самостоятельная работа, используемая как средство повышения интереса учащихся к математике.

К данному виду работ относятся математические кроссворды (использую как на уроках, так и во внеурочное время). Как самостоятельная домашняя работа используется составление кроссвордов и их оформление учащимися.

Спринт – викторина. Использую как один из видов зачета по большой теме, или как отчет учащегося о том, как он усвоил учебный материал.

(Спринт-викторина составлена по принципу теста)

«Математическое домино»

Использую во время проведения внеклассных мероприятий по математике, так как карточки включают в себя вопросы и по геометрии и по алгебре, кроме вопроса на карточке дан правильный ответ. Учащиеся работают в группах, не менее 5 человек в группе. Каждый учащийся в начале игры получает на руки по 5 карточек. Вопросы задают друг другу, если учащийся отвечает, то карточку убирают, если нет, то она переходит к тому, кто не ответил. Игра продолжается до тех пор, пока все карточки не будут обработаны.

Лабораторная работа «Расчет периода полураспада радиоактивного вещества».

(используется при проведении интегрированного занятия физика-математика)

Цель работы: 1) изучить физическое явление «Естественная радиоактивность»

2) сделать необходимые математические расчеты

3) повторить «Показательную функцию и решение показательного уравнения»

4) построить график периода полураспада радиоактивного вещества.

Теоретический материал:

Радиоактивный распад подчиняется статистическому закону. Для каждого радиоактивного вещества существует определённый интервал времени, на протяжении которого активность вещества убывает в два раза – это период полураспада.

Математическая форма закона радиоактивного распада вещества: пусть радиоактивных атомов в начальный момент времени t₀=0 равно N₀ тогда по истечении периода полураспада оно будет N₀/2, спустя ещё один такой же интервал это число станет равным: 1/2* N₀/2= N₀/2² и т.д.

Если момент времени t=nT, где n-периодов полураспада, число оставшихся атомов N=N₀* 1/2ⁿ, где n=t/T то N=N₀*2^-t/T – это основной закон радиоактивного распада.

Аналогично записывается закон и для оставшейся массы вещества (запишите его сами).

Ход работы:

1. Изучить теоретический материал и выписать необходимые формулы (использовать учебник «Физика -11 класс»)

2. Заполнить таблицу и сделать соответствующие вычисления:

Период полураспада для урана-238 Т=4*10⁹ лет

t (лет)	102	103	104	105	106	107	108
m (кг)

Все расчеты производить по формуле вычисления массы вещества.

1. Используя таблицу, построить график зависимости m(t).

2. Сделать выводы по работе

Ответить на вопросы:

1. как называется функция с помощью, которой изучается период полураспада вещества?

2. Монотонна ли функциональная зависимость? Каков характер монотонности?

3. Что можно сказать об основании степени, входящей в данную функциональную зависимость?

4. Какую тему по математике необходимо знать, чтобы провести исследование периода полураспада?

Перечень задач для разработки лабораторных работ по теме «Показательные уравнения»:

1. Однолетнее растение даёт 100 семян, из них прорастает половина, то за каждый год число растений увеличивается в ……раз? Построить график зависимости.

2. Сберкасса выплачивает вкладчикам проценты в размере 2% годовых, т.е. увеличение вклада в 1,02 раза. Каким будет вклад через 7 лет, при начальном взносе 100 рублей. Составить формулу.

3. Имеется колония клеток, f(0)= 1, число их увеличивается в 2 раза (длина митотического цикла), составить формулу и построить график. Сколько было клеток за сутки до начала эксперимента?

Методика проведения практических работ:

• разработать темы практических работ с их прагматическим выходом;

• согласовать с учащимися те работы, которые они хотели бы выполнять наряду с инвариантом и в продолжении его;

• составить карты продлённой деятельности по практическим работам.

Например: по физике: «Естественная радиоактивность», биология – «Размножение микроорганизмов» и по экономической теории – «Рост капиталовложений», все темы имеют один инструмент вычислений: «Решение показательного уравнения».

Практическая работа:

« Свойства функции»

1 часть: Построить график функции, имеющей следующие свойства

** область определения – множество всех действительных чисел

** возрастает по всей области определения

** положительна по всей области определения

** нулей функции нет

** график проходит через точку с координатами (0;1)

1. часть: Ответить на следующие вопросы

** даёт ли описание свойств точное определение функции?

** что ещё необходимо знать для точного построения графика?

1. часть: сформулируйте свои свойства и постройте график функции

Для повышения интереса к математике, развития навыка исследовательской работы, учащимся можно предложить выполнение реферативных работ с последующим выступлением перед группой или защитой.

Примерная тематика рефератов

по теме «Показательные и логарифмические уравнения и неравенства»

1. Предыстория логарифмов, или кто изобрел логарифмы.

2. Михаил Штифель и его вклад в математику.

3. Работа Дж. Непера «Описание удивительной таблицы логарифмов»

4. Генри Бригс и его десятичные логарифмы.

Считается, что основная форма контроля – это контрольная работа.

Цель контрольных работ – проверить усвоение темы по окончании её изучения. Они проводятся реже, чем проверочные, и охватывают больший материал. В отличие от проверочных контрольные работы предусматривают проверку совокупности навыков.

По времени рассчитаны, как правило, на 45 минут. При составлении контрольных работ необходимо помнить, что в результате работы должен быть проверен обязательный для усвоения материал, причём на том уровне сложности, которого требует программа.

В проверочные и контрольные работы должны войти в основном задания реконструктивного, а не репродуктивного характера. Содержание контрольных работ становится богаче, появляются упражнения, предусматривающие проверку нескольких навыков. Тем не менее, задания в контрольных работах не должны быть сложными.

Все задания контрольной работы уже подготовлены проверочными работами, на контрольном занятии учащиеся встречаются с теми же заданиями, но в новой ситуации. Подготовка к контрольной работе с помощью системы проверочных работ нисколько не похожа на «репетицию», которую ещё нередко проводят перед контрольной работой, прорешивая демонстрационный вариант. В этом случае работает только память учащихся, а математическая сущность вопроса ими не осознаётся. Знания и навыки, проверяемые в работе, не становятся достоянием ученика и быстро утрачиваются.

Включение в контрольную работу (в качестве последнего) задания повышенной трудности, требующего от ученика сообразительности, очень полезно. Это приучает к творческому подходу, воспитывает умение применять знания в нестандартной ситуации, вызывает интерес к предмету, даёт возможность проявить ученику математические способности, а учителю получить информацию о возможностях ученика.

Что же должно войти в контрольную работу, например по теме «Логарифмические уравнения и неравенства»? При этом предполагаем, что по данной теме уже проведена серия проверочных работ.

Свойства логарифмической функции – один из навыков. Значит, задание на нахождение области определения логарифмической функции должно быть включено обязательно. Методы решения логарифмических уравнений уже изучены, поэтому следует включить в работу 2-3 метода.

Приведём пример такой контрольной работы:

Первые три задания данной работы проверяют основные умения и навыки, которые должны приобрести учащиеся в процессе изучения темы. Последнее задание – решение уравнения, содержащее параметр – требует сообразительности.

Контрольная работа по теме «Показательные уравнения и неравенства».

	Задание 1	Задание 2		Задание 3		Задание 4
Вариант 1	22х -3*2х+2=0	23cos2x= 4/2		31/х 1/9		3х*23/х=24
Вариант 2	9х+2+4*32х+2=13/3	3х-12 = 1/81		(1/5)1/х25		(1,5)х*(2/3)2х-1=1
Вариант 3	8х-2+3*23х-2=49/2	12sinx = 1/12		23/х-1 2		(0,4)х*(5/2)2х+3=1
Вариант 4	9х-10*3х+9=0	22+x + 2x=5		32/х+1 3		(1/3)2x-1-10*3-x+3=0
Вариант 5	43х-5-9*23х-5+8=0	54x-7 = 1		3х-2/х+31/27		(2/3)x+(2/3)x-1=2.5
Вариант 6	94х-3-10*34х-3+9=0	5x+2 – 5x=24		22х 16		x - 2x = 0

Один из дидактических принципов обучения – принцип прочности знаний – требует, чтобы у учащихся сохранились на длительное время систематизированные знания и умения. В соответствии с этим принципом необходимо не однажды возвращаться к изученному материалу.

После завершения изучения раздела в целом целесообразно провести обзорную проверочную работу. Такая работа позволяет учащимся повторить материал, систематизировать знания, установить связи между изученными вопросами.

Для проведения такой работы необходимо определить основные понятия, которые должен был усвоить ученик при прохождении этого раздела, какие умения, и навыки должен был приобрести, какие задания уметь выполнять, каков уровень сложности этих заданий. При этом не должно быть заданий, отягощенных сложными тождественными преобразованиями, трудоёмкой вычислительной работой, требующих на выполнение много времени. Задания должны быть четкими, конкретными, понятными. Сюда входят вопросы по проверке изученных определений, теорем, правил, задания на решение несложных задач и т.д. Основу обзорных работ составляют задания репродуктивного характера.

Составленная таким образом работа даёт возможность преподавателю проверить усвоение узловых вопросов всего раздела.

Завершающим моментом повторения в конце учебного года может явиться проведение итоговой самостоятельной работы. Такие работы целесообразно составлять по основным линиям изученного материала.

Тема «Показательные и логарифмические уравнения и неравенств» входят в линию «Уравнения и неравенства».

В итоговые работы следует включать задания репродуктивного и реконструктивного характера, при этом задания должны проверять основные умения и навыки. Необходимым компонентом этих работ служат задания на повторение основных теоретических вопросов: воспроизведение определений, свойств математических объектов, доказательства и т.д.

Итоговые работы, составленные по линиям курса, дают возможность ученику сосредоточиться на одном вопросе, например, связанном с решением уравнений и неравенств.

Нередко приходиться дополнять существующие материалы для проведения самостоятельных работ или составлять самому. При этом необходимо руководствоваться следующими положениями:

1. Система самостоятельных работ должна обеспечивать усвоение необходимых знаний и навыков и в тоже время их проверку.

2. Система заданий должна быть полной.

3. Задания в работах должны быть различными по характеру воспроизводящей деятельности ученика.

4. Работа должна формировать приёмы учебной работы, приводить к самостоятельному нахождению приёмов.

5. Система самостоятельных работ должна обеспечивать повторяемость одних и тех же вопросов в различных ситуациях. Задания должны быть прямыми и обратными.

6. Введение опорных слов, способствующих формированию знаний, умения и навыков, умений делать выводы и заключения, является необходимым условием выработки правильного математического языка.

7. Формулировки заданий должны быть четкими, определёнными, понятными, не допускающими двоякого истолкования.

Рассмотрим еще один вид индивидуального контроля – зачет.

1 вид зачета. Перед зачетом проводится самостоятельная работа, в которую включены типичные вопросы изученного материала и более сложные, требующие использования теории в нестандартных ситуациях. Затем проводится контрольная работа по теме. Зачет состоит из двух частей: теории и практики.

2-й вид зачета. Вначале проводится контрольная работа, успешно справившиеся с ней учащиеся освобождаются от сдачи зачета. С теми, кто выполнил контрольную работу не очень успешно (а их не так много) появляется дополнительное время для беседы и ликвидации пробелов. Для тех, кто успешно выполнил контрольную работу, составляется «пакет нестандартных задач»

Зачет – это специальный этап в контроле, цель которого – проверить, достигнут ли уровень обязательной подготовки. Зачеты отличаются по их месту в учебном процессе, по характеру предъявления учащимся (текущие и тематические, открытые и закрытые). Таким образом, выделим четыре основных вида зачета: открытый тематический, открытый текущий, закрытый тематический и закрытый текущий.

Опишем организацию открытого тематического зачета. Он проводится как завершающая проверка в конце изучения темы. Приступая к теме, необходимо вывесить или раздать учащимся список основных задач, отвечающих уровню обязательной подготовки. Они знают, что когда материал будет изучен, состоится зачёт по проверке умения решать задачи, аналогичные данным. Необходимо и указать примерный срок зачета. Зачетная работа содержит две части: обязательную и дополнительную. В обязательную часть включаются задания, аналогичные тем, которые приведены в списке обязательных результатов обучения. В дополнительную часть входят задачи, требующие показать более высокий уровень сформированности тех или иных умений или продемонстрировать глубокое понимание материала, умение применить знания в изменённых ситуациях. Наличие двух частей позволяет учащимся работать в индивидуальном темпе. Те ученики, которые уверенно справляются с задачами обязательного уровня, как правило, уже к середине урока приступают к дополнительным заданиям. Более слабые учащиеся имеют резерв времени для решения задач, включенных в зачет, для исправления ошибок. Преподавателю рекомендуется указывать в ходе выполнения работы на неверно выполненные задания.

Текущие зачеты, как открытые, так и закрытые, проводят систематически в ходе изучения темы по небольшим, законченным по смыслу порциям материала. Каждый такой зачет направлен на проверку одного или двух умений, формируемых в течение нескольких уроков. В целом они охватывают все обязательные результаты по данной теме. Такой зачет по своему объёму рассчитан на 10-20 минут. Приведём (по одному варианту) задания обязательного уровня для нескольких текущих зачетов по теме «Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств»:

Результаты применения данной системы зачетов показали, что она даёт положительный эффект. В ходе проведения такой системы зачета выявилась стойкая тенденция к улучшению математической подготовки учащихся. Динамика изменений в математической подготовке наблюдается при прохождении итоговой аттестации.

1. Использование персонального компьютера для контроля и оценки знаний, для систематизированного повторения пройденного материала.

Сфера применения персонального компьютера практически безгранична. Особое место занимает ПК в учебном процессе, в обучении студентов в колледже и дома. Компьютер меняет характер мышления, заставляет проникать в самую суть явлений, вырабатывает внимание. В процессе обучения математике ПК может быть использован как средство обобщающего повторения, он может вести контрольную «беседу», в тоже время возможно проведение тестирования. Самое главное, что в данном виде контроля отсутствует посторонняя помощь, списывание, а оценка за знания ставится мгновенно. Машина может бесконечно варьировать вопросы, усложнять задачи, ограничивать время на обдумывание ответа. Кроме этого использование ПК повышает интерес к математике, как к предмету.

В данном случае использование компьютерного класса на занятиях по математике крайне ограничено, но 2 часа для самостоятельного повторения темы и тестирования программой предусмотрено.

Для повторения темы «Показательные и логарифмические уравнения и неравенства» можно использовать презентации, а для промежуточного контроля – тесты.

Важнейшая задача при анализе итогов – умение студентов анализировать свою работу, находить и исправлять допущенные ошибки. Работая над ошибками – учиться видеть их и исправлять – не менее важно, чем отрабатывать тот или иной учебный навык. Данный вид самостоятельной работы способствует совершенствованию учебных умений и навыков.

Для этого необходимо дать работу, в которой заранее, специально сделаны ошибки. Работа студента заключается в том, чтобы эти ошибки найти, прорешать правильно задания и объяснить, почему была сделана ошибка. Всё это активизирует сознательную деятельность, не допускает неосознанного списывания. Следует отметить, что данный вид работы выполняется с большим желанием и интересом. В ходе выполнения работы учащиеся задают вопросы, если они сомневаются в ходе проверки работы.

Глава 4. Исследование и анализ результативности применения самостоятельной работы при изучении темы «Показательные и логарифмические уравнения и неравенства»

Методы исследования:

В ходе исследовательской работы применялось понятие «Обучаемость учащихся», которая подразделяется на следующие виды:

* общая;

* специальная;

* уровень развития познавательных способностей, где учитывались индивидуальные показатели.

Технология обработки полученных данных:

• Основные данные систематизируются в сводные таблицы, структура и содержание которых соответствует программе наблюдения, анкет, тестированию и т.д.,

• Анализ сводных материалов осуществляется по вертикали для сбора индивидуальных затруднений, положительно решаемые вопросы,

• В сводные таблицы вносятся все показатели

• Обязательна наглядная (графическая) интерпретация данных, занесённых в сводную таблицу:

- построение графика (показатели по горизонтали, измерители по вертикали);

- возможно использование в области графика дополнительных линий, условных обозначений.

• Для лучшего восприятия аналитического материала представление одних и тех же результатов и в виде графика, и в виде диаграммы.

4.1 Выявление уровня обученности.

В зависимости от уровня требований преподавателя к знаниям учащихся при выставлении балльных оценок вводится три уровня:

На первом (высшем) уровне требований, когда «5» ставится ученику за умение делать «перенос» знаний, а «3» - за понимание, уровень обученности в этом случае измеряется по формуле:

К₅ + 0,64 * К₄ +0,36 * К₃

Эф₁ = ---------------------------------,

N

где К₅ – количество «5» по предмету;

К₄ – количество «4» по предмету;

К₃ – количество «3» по предмету;

N - количество аттестованных учащихся

На втором (среднем) уровне требований, когда оценка «5» ставится за умение осуществлять простейшие умения и навыки, а «3» - за «запоминание», уровень обученности можно измерить по формуле:

0,64*К₅ + 0,36*К₄ + 0,16*К₃

Эф₂ = ---------------------------------------

N

На третьем (низшем) уровне требований, когда «5» ставится за «понимание», а «3» - за умение осуществлять «различение» (распознавание), уровень обученности:

0,36*К₅ + 0,16*К₄ + 0,04*К₃

Эф₃ = ----------------------------------

N

Группа	Оценка по аттестату	Эф1	Эф2	Эф3
№ 25 29 человек	«5»- 2 «4»- 13 «3»- 6	0,63	0,36	0,16
№ 22 21 человек	«5»- 5 «4»- 12 «3»- 12	0,55	0,30	0,13

Уровень обученности по оценке аттестата у группы № 25 выше, чем у группы № 22.

группа	Оценка по аттестату	Эф1	Эф2	Эф3
№ 25 29 человек	«5»- 7 «4»- 12 «3»- 4	0,70	0,41	0,20
№ 22 21 человек	«5»- 5 «4»- 15 «3»- 5	0,66	0,38	0,18

4.2 Анализ результатов анкетирования по исследованию общеучебных умений и навыков учащихся.

Цель исследования: выявление уровня работы обучающихся с учебной и справочной литературой, умение выделять главное и составлять конспект.

Форма исследования: анкетирование

Получены следующие результаты:

Умения и навыки	№ 22	№ 25
Читать бегло текст	12 человек	15 человек
Понимать смысл при беглом чтении	10 человек	9 человек
Умение составлять конспект	17 человек	17 человек
Умение составлять план	20 человек	23 человека
Нахождение ответов на вопросы в тексте	10 человек	15 человек
Составлять схемы и таблицы	23 человека	23 человека
Умение работать с графиками	23 человека	25 человек

Данный опрос даёт возможность спланировать работу на занятиях с обязательным включением заданий на отработку общеуучебных умений и навыков, а так же возникает необходимость разработки рекомендаций-памяток по развитию умений и навыков.

4.2 Анализ результатов выполнения самостоятельной работы по материалу математического курса основной школы (входной контроль)

Цель контроля: изучение уровня знаний, умений и навыков обязательного уровня.

Вид самостоятельной работы: контрольная работа по двум вариантам.

Участники контроля: группы № 22 и № 25

Текст контрольной работы:

1 вариант	2 вариант
1. Упростить выражение: а - ((а2-5)/(а+1)*1/(а-5))	1. Упростить выражение: (а+4)*((а+6)/(а2-16)-(а-6)/(а-4)).
2.Решить уравнение: 4х-5,5=5х-3(2х-1,5)	2.Решить уравнение: 4-5(3х+2,5)=3х+9,5
Найти значения выражения: а – б2 при а=0,4 и б=0,2	3. Найти значения выражения: а +б2 при а=0,4 и б=0,3
4. Решить систему неравенств: 1-х  7х+2 11х+13 х+3	Решить систему неравенств: 3-х х+2 3х-1 1-2х
5. Найти координаты точек пересечения графиков: у=0 и у=-2х2+4х+6	Найти координаты точек пересечения графиков: У=0 и у=-2х2+8х-6
6. Решить задачу: Два печника, работая вместе, могут сложить печь за 12 часов. Если первый будет работать 2 часа, а второй 3 часа, то они выполнят только 20% работы. За сколько часов может сложить печь каждый печник, работая раздельно?	6. Решить задачу: Две бригады, работая вместе, закончат уборку урожая за 8 дней. Если первая бригада будет работать 3 дня, а вторая 12 дней, то они выполнят 75% всей работы. За сколько дней может закончить уборку каждая бригада, работая по отдельности?
7. Построить график функции: у = - 2х2 +4	7. Построить график функции: у = 2х2 -16х

№ группы, количество человек	№ задания самостоятельной работы	Выполнили верно, без ошибок	Допустили ошибки
			В знании теории	Вычислительные ошибки
Группа № 25 Всего-29 чел.	1 2 3 4 5 6 7	20 23 21 18 18 20 15	2 - 2 3 4 2 5	1 - 2 2 1 1 3
Группа № 22 Всего-21 чел.	1 2 3 4 5 6 7	20 21 17 15 22 20 19	1 3 7 7 2 3 5	4 1 1 3 3 3 2

Результаты самостоятельной работы (входной контроль):

Для сравнения стартовых возможностей обеих групп составим сравнительную таблицу и построим график:

№ п/п	Описание задания	% выполнения
		№ 25		№ 22
1	Упрощение алгебраического выражения	86,9		80
2	Решение линейного уравнения	100		84
3	Действия с корнями	91,3		68
4	Решение системы линейных неравенств	78,2		60
5	Работа с графиками функций	78,2		88
6	Решение текстовой задачи	86,9		80
7	Построение графика квадрат. функции	65,2		76

Как видно из графика группа № 22 (красный цвет графика) имеет более низкие стартовые возможности, поэтому после анализа типичных ошибок с учащимися данной группы, имеющих пробелы в знаниях была проведена индивидуальная беседа. В группе была проведена консультация, где был проведен анализ допущенных ошибок и сделана работа над ошибками, с использованием карточек-информаторов.

Протокол беседы с учащимися группы № 22:

- Наибольшее количество ошибок сделано в задании № 5, что в этом задании необходимо было сделать?

Ответ: приравнять правые части функций и найти общее решение, или составить систему двух уравнений с двумя неизвестными и решить её одним из методов: подстановкой или сложением. Еще можно применить и графический метод решения.

- Внимательно посмотри на свою работу, где допущены ошибки? Почему они допущены?

Ответ: в задании № 2 неправильно раскрыты скобки, неправильно поставлены знаки перед слагаемыми при переносе их из части в часть, в задании № 6 неправильно составлено уравнение. Ошибки допущены потому, что не вспомнила правила, из-за невнимательности. А уравнение в задаче неверно составлено, т.к. неправильно записано условие и нет перевода % в число.

Выводы: Целью данной беседы было выявление причин допущенных ошибок, неточностей при вычислении и преобразовании выражений. Выявление пробелов в знаниях, полученных детьми в школе. Было выявлено, учащиеся допускают неточности в рассуждениях, или совсем не рассуждают при выполнении заданий. При собеседовании выясняется, что правила они знают, но не применяют при выполнении самостоятельной работы.

После проведения анализа входного контроля и установления стартового уровня группа № 25 занималась по традиционной, классно-урочной системе, с обязательным проведением самостоятельных и контрольных работ (срезовых, тематических, итоговых и т.д.). А группа № 22 (имеющая несколько ниже стартовые возможности) занималась по системе постоянного включения в ход занятий различных видов самостоятельной работы. В ходе такого обучения проводился систематический контроль в обеих группах, делался сравнительный анализ результатов. Были разработаны рекомендации по методике проведения конкретных видов самостоятельной работы.

4.3 Анализ результатов при проведении самостоятельной работы по теме « Решение показательных уравнений и неравенств».

Цель: сравнение результатов усвоения знаний и применение алгоритмов решения по теме «Решение показательных уравнений и неравенств».

Группа № 25 занималась по традиционной классно-урочной системе, формы занятий были различными, но самостоятельного добывания знаний не было. В группе № 22 занятия строились так, чтобы почти каждое занятие по теме проходило, либо с элементами самостоятельной работы, либо полностью самостоятельное изучение темы, с привлечением консультантов или проведения индивидуальных консультаций.

Самостоятельная итоговая работа (контрольная работа) носила вариативный характер и дифференцированный подход.

Описание хода работы:

На изучение, закрепление и контроль на тему «Показательные уравнения и неравенства» по данной специальности учебным планом отведено 8 часов / 6 – на изучение уравнений, 2- на изучение неравенств/.

При изучении темы были рассмотрены следующие темы: обобщение понятия степени, показательная функция и её свойства, различные методы решения показательных уравнений и решение показательных неравенств. В группе

№ 25 теоретический материал дан в форме лекции, а методы решения показательных уравнений и неравенств рассмотрены на занятиях-практикумах. В конце каждого занятия учащиеся выполняли проверочные работы, которые давали возможность оценить знания и выявить типичные ошибки и пробелы в знаниях.

Совсем иначе изучалась данная тема в группе № 22, а именно тема «Обобщение понятия степени» проведено в форме семинарского занятия, за неделю до занятия обучающимся был дан список вопросов, которые они должны были подготовить, используя учебную и справочную литературу, оформить опорные конспекты по теме.

Тема «Показательная функция и её свойства», рассмотренная ранее была обобщена, учащимися изготовлены таблицы-классификаторы.

Тема «Различные методы решения показательных уравнений» изучалась с использованием обучающих карточек-информаторов и закреплялась с помощью разноуровневых тренировочных заданий.

Тема «Показательные неравенства» изучалась учащимися самостоятельно по учебному пособию и созданными методическими рекомендациями.

Итоговая контрольная работа по теме проводилась в обеих группах по одному тексту, количество вариантов – 6.

Контрольная работа по теме «Показательные уравнения и неравенства».

	Задание 1	Задание 2		Задание 3		Задание 4
Вариант 1	22х -3*2х+2=0	23cos2x= 4/2		31/х 1/9		3х*23/х=24
Вариант 2	9х+2+4*32х+2=13/3	3х-12 = 1/81		(1/5)1/х25		(1,5)х*(2/3)2х-1=1
Вариант 3	8х-2+3*23х-2=49/2	12sinx = 1/12		23/х-1 2		(0,4)х*(5/2)2х+3=1
Вариант 4	9х-10*3х+9=0	22+x + 2x=5		32/х+1 3		(1/3)2x-1-10*3-x+3=0
Вариант 5	43х-5-9*23х-5+8=0	54x-7 = 1		3х-2/х+31/27		(2/3)x+(2/3)x-1=2.5
Вариант 6	94х-3-10*34х-3+9=0	5x+2 – 5x=24		22х 16		x - 2x = 0

Результаты контрольной работы по теме «Решение показательных уравнений и неравенств»:

группа		Кол-во учащихся		№ задания		Выполнили правильно			Допустили ошибки
№ 25		29		1.		15			8
				2.		11			12
				3.		11			12
				4.*		3			20
№ 22		21		1.		18			7
				2.		22			3
				3.		24			1
				4.*		18			7

В процентном отношении качество усвоенных знаний составило:

группа		Задание № 1		Задание № 2		Задание № 3		Задание № 4
№ 25		62,2		47,8		47,8		13
№ 22		72		88		96		72

Кроме того, учащимися группы № 22 в ходе изучения темы были подготовлены творческие работы по темам: «Из истории развития решения показательных уравнений», «Применение показательных уравнений при решении задач по физике, химии, биологии».

Выводы:

В начале учебного года стартовые возможности обеих групп были практически одинаковыми, но при изучении данной темы, где использовалась в одной из групп целенаправленно организованная самостоятельная работа, стало видно, что группа № 22 более хорошо усвоила данный материал, допустила меньше ошибок, практически нет пробелов в знаниях. Изучая вопросы самостоятельно, обучающиеся их осмыслили, поняли суть. Навыки практического применения у них более прочные. Данный результат еще и достигнут тем, что каждый этап работы постоянно контролировался и оценивался, что немаловажно. При решении итоговой контрольной работы каждый из учащихся сам для себя определял степень трудности, зная свои возможности. В группе, где занятия велись по традиционной системе, учащиеся выбирали задания, которые оценивались более высокой оценкой и в результате не правились с работой, так как не смогли соотнести свои возможности с тем уровнем, который они выбрали. Результат этого виден из таблиц и графиков.

В группе № 22 было выявлено, что дифференцированный подход активизирует работу студентов и повышает качество знаний.

4.3 Анализ результатов при проведении открытого тематического зачета по теме « Решение показательных уравнений и неравенств».

В ходе эксперимента требовалось:

Установить, уровень усвоенных знаний, приобретённых умений и навыков по теме;

оценить влияние зачета на обучение студентов;

выяснить, удовлетворяет ли студентов, какая форма проведения зачета.

Итоги проделанной работы:

Группа Количество студентов получили «отлично» Получили «хорошо» Получили «удовлетв» Получили «неуд» № 22 21 5 23,8 % 15 71,4 % 1 4,7 % - 0% № 25 29 3 10,3 % 15 51,7 % 11 37,9 % - 0 %

Опишем ход проведения зачета: каждый учащийся получил карточку с заданиями для письменной работы, задания – обязательная часть зачетной работы. Эти задания должны быть решены в первую очередь. Работа была составлена в четырёх вариантах.

В ходе выполнения работы со стороны преподавателя идёт постоянный контроль, некоторые задания устного характера можно заслушать сразу в процессе выполнения работы. Учащиеся, выполнившие первую часть задания и слишком «забежавшие» вперёд могут приступить к выполнению «дополнительной части» (при условии, что не допустили ошибки в обязательной части). Отчет о проделанной работе каждый из них делает на занятии, так к концу занятия известна оценка его знаний по данной теме.

После проведения зачета сделаны следующие выводы:

1. Некоторым учащимся можно полностью доверить самоподготовку, но с предоставлением консультаций по отдельным вопросам.

2. Для учащихся допускающих ошибки из-за невнимательности, организовать взаимопроверку.

3. С некоторыми из учащихся необходимо вести индивидуальную работу: предлагать решать задания типа «по образцу» или дать в помощь карточку-подсказку, с указанием алгоритма решения.

Приведённое выше описание показывает, что зачетная система, как одна из форм самостоятельной работы может служить в определённых условиях основой для организации индивидуальной работы. Учет пробелов в обязательных результатах обучения, выяснение причин его ошибок и оказание своевременной помощи, настрой ученика на безусловное овладение всеми обязательными результатами – вот важные особенности правильной подготовки к зачету.

Зачетную систему необходимо использовать в учебном процессе, так как она приносить в него только положительные результаты: повышение качества обучения, возрастает интерес к предмету, возрастает и активная деятельность при изучении математики. Стремление всех учащихся группы к своевременной сдаче зачета повышает общий уровень успеваемости. Здесь широко применяется и дифференцированная работа. Учащиеся довольно быстро овладевают материалом на уровне обязательной подготовки, поэтому появляется реальная возможность предлагать им более сложные задания самого разного содержания. Стимулом для этого служит дополнительная часть к каждому зачету. Число учащихся, занимающихся на «4» и «5», по каждой группе не уменьшается, но отношение к учебе становится серьёзнее, а уровень подготовки стабильнее.

Дополнительная часть тематического зачета состояла из перечня заданий среднего и повышенного уровня сложности, всего 10 заданий. Для сдачи зачета необходимо было выбрать не менее трёх заданий. Исследования показали, что почти каждый из них выбрал из этой части задания. Но справились с заданиями не все.

Анализ результатов решения дополнительной части зачетной работы:

группа	Качество обучения	Выбрали задания	Справились с заданием
№ 22	На «5» - 3 На «4»-15 На «3»- 3	21 чел. – 100 %	18 чел.- 85,7 %
БЭ-14	На «5»- 2 На «4»-18 На «3»- 9	25 чел.- 86,2 %	20 чел.- 68,9 %

Из таблицы видно, что экспериментальная группа (№ 22), справилась с данной работой намного лучше, чем группа, которая занимается традиционно.

Библиографический список

1. «Возрастная педагогическая психология» (под ред. Петровского, уч. пособие для студентов пединститутов) М., Просвещение 1973 г.

2. Гайдучок К.М. «Управление самостоятельной работой школьников»

3. Качура Л.Ф. «Опыт активизации контроля знаний и самостоятельные работы учащихся с помощью карточек-заданий» М., Просвещение 1986 г.

4. Шилов В.А. «Организация самостоятельной работы учащихся с учебником» Ж.-л. «Физика в школе» №4 1994 г.

5. Пидкасистый П.И. «Самостоятельная познавательная деятельность школьников в обучении» М., Просвещение 1980 г.

6. Коротяев Б.И. «Учение – процесс творческий» М., Просвещение 1980 г.

7. Есипов Б.П. «Самостоятельная работа учащихся на уроке» М., Учпедгиз 1981 г.

8. Гиренович Г.И. «Виды самостоятельных работ» Ж.-л. «Математика в школе» №3 1998 г.

9. Демидова С.И., Денищева А.О. «Самостоятельная деятельность учащихся при обучении математики» М., Просвещение 1985 г.

10. Стратилатов П.В. «О системе работы учителя математики» М., Просвещение 1984 г.

11. Стойлова Л.П., Пышкало А.М. «Основы начального курса математики» М., Просвещение 1988 г.

12. «Повышение эффективности обучения математике в школе (под ред. Глейзера Г.В. из опыта работы) М., Просвещение 1989 г.

13. Груденов Я.И. « Совершенствование методики работы учителя математики» М., Просвещение 1989 г.

14. Зотов Ю.Г. «Организация современного урока» (книга для учителя) М., Просвещение 1984 г.

15. Справочник администрации школы по организации учебно-воспитательного процесса (часть 1) (под ред. Лизинского В.М.) М., Центр «Педагогический поиск» 2000 г.

16. Малыгин К.А. Элементы историзма в преподавании математики, М., Просвещение, 1963 г.

17. Галицкий М.Л., Углубленное изучение алгебры и математического анализа, М., Просвещение, 1997 г.

18. Кожарин А.Ф., Алгебра и геометрия (методика и практика преподавания в 9 – 11 классах), Феникс, Ростов – на – Дону, 2002 г.

19. Аносов Д.В., Проблемы модернизации школьного курса математики, ж-л «Математика в школе» № 1, 2000 г.

20. Островская Г.И., Сборник методических материалов (в помощь учителю), Ростов – на – Дону, НМЦО, 1995 г.

21. Кириллова Г.Д., Теория и практика урока в условиях развивающего обучения, М., Просвещение, 1980 г.

22. Онищук В.А., Пути совершенствования урока, Киев, 1976 г.

23. Математика в понятиях, определениях, терминах (под ред. Сабинина), М., 1982 г., Ч. 1, 2

24. Валуцэ И.И., Математика для техникумов, М., Просвещение, 1980 г.

Пешкова Ольга Алексеевна

преподаватель математики

ГБОУ СПО «Строгановский колледж»

Филиал г. Оханск

Методическое пособие для преподавателей математики

НПО и СПО

72