О нестандартных задачах

О нестандартных задачах

Предисловие

В первые годы своей педагогической деятельности стоял вопрос: как доступно объяснить учащимся ту или иную тему? А вопрос возник из-за того, что школьные учебники сложны для учащихся. (Учителем математики работаю с1980 года.) Многие из них изложены научным, сложным языком, вследствие чего они не являются привлекательным для учащихся. Поэтому я сочла для себя в первую очередь привести всю школьную математическую теорию в систему через алгоритмизацию школьного курса математики. На это ещё подтолкнуло изучение передовых методик на то время. Для меня интересна была методика преподавания математики Р.Г.Хазанкина. По его методике большое место занимает решение ключевых задач. Эти ключевые задачи ученик должен запомнить. А их, сколько в школьном курсе математики? Очень много. В школьных учебниках задачи распределены по группам в соответствии с используемым для их решения математическим аппаратом. Такие задачи учащиеся, как правило, решают неплохо, потому что указана, какая теория должна использоваться. Если же учащиеся лишены такого ориентира, то испытывают затруднения даже при решении несложных задач. Отсюда вывод: надо привести школьную математику в стройную систему. А система такова: школьный курс алгебры состоит из 4 крупных блоков:

1.Числа.

2.Функции.

3.Уравнения и неравенства.

4.Тождества.

В каждом блоке всё взаимосвязано, алгоритмизировано и свои ключевые задачи, которые учащимися запоминаются легко. Например, блок «Функции»: схема изучения такова:

1. Определение функции.

2. График функции.

3. Свойства функции.

Эта схема хороша тем, что учащиеся в 7 классе, приступив к изучению функций, при изучении линейной функции уже запоминают схему изучения всего блока. К каждому пункту схемы разработан алгоритм изучения. Изучение всех элементарных и трансцендентных функций в школьном курсе математики происходит по этой схеме и алгоритму. В итоге на уроках экономится время, которое можно использовать для решения более трудных задач. А сколько сложных задач на применение свойств функции. Особенно это стало актуально после введения ЕГЭ.

А числа? Изучение теории чисел заканчивается в 8 классе. А сколько нестандартных задач в КИМ ЕГЭ? Алгоритмизация школьного курса математики, таким образом, высвобождает некоторое количество часов, отведённых на изучение той или иной темы. А освобождённые часы можно использовать на решение нестандартных задач на уроках же. Причём задачи решаются не только с отдельными, хорошо успевающими учениками, а со всем классом. Систематическое использование нестандартных задач способствует целенапрвленному развитию творческих способностей учащихся, их математическому развитию, формированию у них познавательного интереса и самостоятельности. Такие задачи требуют от школьников наблюдательности, творчества и оригинальности. А развитие эвристического мышления у учащихся всегда было актуально.

Что значит владение математикой? Это есть умение решать задачи, причём не только стандартные, но и требующие известной независимости мышления, здравого смысла, оригинальности и изобретательности. Следует хорошо осознавать тот факт, что любая математическая задача, решаемая на уроках, на внеклассных занятиях или дома, должна обязательно научить учащихся. Решение каждой задачи должно быть шагом вперёд в развитии математических знаний, умений навыков учащихся, должно обогащать их знания опыт, учить ориентироваться в различных задачных ситуациях.

Воспитание творческой активности учащихся в процессе изучения ими математики является одной из актуальных задач, стоящих перед учителем математики в современной школе. Основным средством такого воспитания и развития математических способностей учащихся является задачи. Умением решать задачи характеризуется в первую очередь состояние математической подготовленности учащихся, глубина усвоения учебного материала.

Поэтому вполне оправдано то повышенное внимание, которое уделяется решению задач при обучении математике. Функции задач очень разнообразны: обучающие развивающие, воспитывающие, контролирующие. Решение задач является важнейшим средством формирования у школьников системы основных математических знаний, умений, навыков, ведущей формой учебной деятельности учащихся в процессе изучения математики, одним из основных средств их математического развития. От эффективности использования задач в обучении математике в значительной мере зависит не только качество обучения, воспитания и развития учащихся, но и степень их практической подготовленности к последующей деятельности в любой сфере.

В практике обучения математике воспитывающие функции задач редко выступают в качестве ведущих (в отличие от функций, обучающих и контролирующих). Однако тот или иной элемент воспитания может и должен быть осуществлён через каждую задачу. Либо в процессе её решения, либо в процессе изучения результатов решения. В процессе решения задач имеется возможность наиболее ярко продемонстрировать учащимся политехнический характер математики, её прикладную направленность. Иллюстрируя применение математики к решению практических задач, можно показать, что математика, отражая явления реальной действительности, является мощным средством её познания.

Ориентируя школьников на поиски красивых, изящных решений математических задач, учитель тем самым способствует эстетичскому воспитанию учащихся и повышению их математической культуры. И всё же главная цель задач – развить творческое и математическое мышление учащихся, заинтересовать их математикой, привести к «открытию» математических фактов. Достичь этой цели с помощью одних стандартных задач невозможно.

Осуществляя целенаправленное обучение школьников решению задач с помощью специально подобранных задач, следует учить наблюдать,

пользоваться аналогией, индукцией, сравнениями и делать соответствующие выводы. Необходимо прививать учащимся навыки не только логического рассуждения, но и прочные навыки эвристического мышления. Иногда для развития навыков эвристического мышления целесообразно несколько изменить условия задач. Так вместо задачи «Докажите, что сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел не может быть квадратом натурального числа » предложить учащимся следующее: «Может ли сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел быть квадратом натурального числа?» В этом случае учащиеся индуктивным путём должны сами сформулировать соответствующую гипотезу и только после этого её доказывать.

Отметим так же, что эффективное развитие математических способностей у учащихся невозможно без использования в учебном процессе задач на сообразительность, задач - шуток, математических ребусов, софизмов.

О литературе, рассматривающей нестандартные задачи.

Количество литературы, где рассматривается тема «Нестандартные задачи» очень большое. В первую очередь – это школьные учебники. В них во все времена в конце учебника был раздел, содержаший задачи повышенной трудности. Их решение требует от учащихся знаний, умений, навыков по какому- нибудь вопросу программного материала. Но мне хочется остановиться на комплекте учебников «Алгебра 7, 8, 9. Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, И.Е. Феоктистов» Эти учебники образуют линию учебных изданий для углубленного изучения алгебры. Учебники включают в себя широкий круг дополнительных вопросов, способствующих прочно отрабатывать приёмы решения различных нестандартных задач. Специфической особенностью учебников данной линии является введение избыточного количества задач и задач из далёкого прошлого, что даёт возможность учителю чаще обращать внимание учащихся на общекультурное значение математики. Эти учебники содержат самые разнообразные по степени сложности задачи. Зная возможности учащихся, учитель может какие-то задачи пропустить, а какие-то предложить только тем ученикам, которые идут опережением в классной работе. Тем самым реализуется учителем личностно ориентированный подход в обучении. Также можно вернуться со всем классом к этим задачам позже, во время итогового повторения. Много задач в этих учебниках на статистику, комбинаторику и теорию вероятностей, а новые стандарты математического образования требуют серьёзного подхода к этим разделам математики.

Для работы с учениками 7-9 классов по решению нестандартных задач имеет серьёзный вес сборник задач по алгебре для 7-9 классов. (Галицкий М. Л., Гольдман А. М., Звавич Л.И.)

Нельзя не упомянуть бессменное учебное пособие для многих поколений любителей математики «Сборник задач по математике для поступающих во втузы. Под редакцией М.И. Сканави.» В этом сборнике задачи части 1 разделены на 3 группы (А, Б, В.) по их нарастающей сложности. Такое деление имеет более или менее условный характер. Однако авторы полагают, что умение решать задачи из группы А должно определять минимально необходимый уровень подготовки учащихся к вступительным экзаменам во втузы. Успешное решение задач из группы Б более высокое качество усвоения школьной программы. К группе В отнесены задачи повышенной трудности. Это нестандартные задачи, практика решения которых полезна для развития и укрепления способности к самостоятельному логическому мышлению, для обогащения своей математической культуры. К части 2 «сборника» отнесены не разделённые на группы по степени трудности дополнительные задачи по алгебре и геометрии, задачи по началам математического анализа, а также задачи на применение координат и векторов. В этом сборнике есть слово к тем, кто готовится к вступительным зкзаменам (нынче надо подразумевать – к ЕГЭ). «Приступая к решению задач из намеченной главы, сначала попробуйте самостоятельно решить те задачи из этой главы, решение которых приведено в «Сборнике». В случае затруднения постарайтесь разобраться в изложенных решениях: уяснить теоретическую основу применённых методов и логику рассуждений.

Не торопитесь решать задачи тем способом, который придёт к Вам в голову. Подумайте, не обнаружится ли лучший, например, менее трудоёмкий, подход к решению? При этом в ходе самого решения допустимо привлечение любых формул, теорем, правил алгебры векторов и преобразований к решению геометрических задач, лишь бы полученный Вами ответ был, в конечном счёте, строго обоснован. Иными словами, Вам разрешается в условиях экзамена переходить границы между разными разделами математики во всех направлениях». Фактически здесь расписана методика решения нестандартных задач.

С 2001 года с введением ЕГЭ федеральный центр тестирования Министерства образования и науки Российской Федерации каждый год выпускает сборники под названием «ЕДИНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭЗАМЕН математика ». Чтобы их отличить от множества книг под таким же названием цикл этих сборников печатаются в жёлтых обложках. В них 10 или 12 разных вариантов, здесь мало простых задач, здесь есть над чем подумать и самому учителю. Решение каждой задачи в этих книгах – это победа. Здесь нет задач где ученики сразу получат ответ, им приходится не только сильно задуматься над задачей С5, но и подумать и в задаче А1.

Те же слова можно сказать о сборниках под редакцией Ф.Ф. Лысенко «Математика ЕГЭ вступительные экзамены»

Очень много литературы по нестандартным задачам, где родственные по идее решения, сгруппированы вместе. Для первых задач каждой группы даётся более подробное решение, чем для последующих. Второстепенные моменты рассуждений и вычислений, как правило, опускаются. Чтобы не стеснить самодеятельности учащегося. Напротив, принципиальным вопросам, существенным для решения задач, уделяется много места. это Например, это относится к вопросам об утрате корней уравнения и появления посторонних корней, об арифметических корнях, о способах изображения пространственных фигур. Однажды сделанное разъяснение, как правило, не повторяется в последующих задачах. Однако всюду, где это требуется, дана ссылка на номер задачи, в которой помещено соответствующее разъяснение. В этом большая ценность в том, что ученик учится работать дополнительной литературой.

Конечно, нужно обратить внимание на сборники олимпиадных задач разных уровней, в том числе и на наши республиканские «Турнир юных математиков», олимпиада «Юные дарования». Здесь задачи расположены без какой-то видимой системы. Однако, именно в этом «беспорядке» заложена определённая система обучения решению задач. Разнообразные задачи не исключают необходимости их систематизации.

Как в спорте, тренировка юного математика требует затраты многого времени. По этому поводу замечательный советский математик Борис Николаевич Делоне сказал: «Большое научное открытие отличается от хорошей олимпиадной задачи тем, что для решения олимпиадной задачи требуется 5 часов, а получение крупного научного результата требует затраты 5000 часов». Здесь не надо понимать «5000 часов» слишком буквально. Но типичным для математика, который атакует трудную проблему, является способность напряжённого размышления целыми днями. Если задача упорно не выходит, то разумно взяться за другую. Но хорошо вернуться к первоначальной после некоторого перерыва.

О МЕТОДИКЕ ОБУЧЕНИЯ УЧАЩИХСЯ

РЕШЕНИЮ НЕСТАНДАРТНЫХ

ЗАДАЧ

Какая же задача называется нестандартной? «Нестандартные задачи – это такие, для которых в курсе математики не имеется общих правил и положений, определяющих общую программу их решения» (Фридман Л.М., Турецкий Е.Н. Как научиться решать задачи.) Однако следует заметить, что понятие «нестандартная задача» является относительным. Одна и та же задача может быть стандартной или нестандартной в зависимости от того, знаком решающий задачу со способами решения задач такого типа или нет. Например, задача «Представьте выражение 2х + 2у в виде суммы двух квадратов» является для учащихся нестандартной до тех пор, пока учащиеся не познакомились со способами решения таких задач. Но если после решения этой задачи учащимся предложить несколько аналогичных задач, такие задачи становятся для учащихся стандартными.

Таким образом, нестандартная задача– это задача, алгоритм решения которой учащимся неизвестен, т. е. учащиеся не знают заранее ни способа её решения, ни того, на какой учебный материл учебный опирается решение. Нельзя не согласиться с высказыванием известного математика и методиста Д. Пойа, что, если учитель математики «заполнит отведённое ему ученое время натаскиванием учащихся в шаблонных упражнениях, он убьёт их интерес, затормозит их умственное развитие и упустит свои возможности» (П о й а Д. Как решать задачу.)

Как же помочь учащимся научиться решать нестандартные задачи?

Универсального метода, позволяющего решить любую нестандартную задачу, к сожалению нет, так как нестандартные задачи в какой-то степени неповторимы. Однако опыт многих передовых учителей, добивающихся хороших результатов в математическом развитии учащихся как у нас в стране, так и за рубежом, позволяет сформулировать некоторые методические приёмы обучения учащихся способам решения нестандартных задач.

Прежде всего нужно отметить, что научить решать задачи можно научить только в том случае, если у учащихся будет желание решать задачи, т. е. если задачи будут содержательными и интересными с точки зрения учащихся. Поэтому проблема первостепенной важности, стоящая перед учителем,– вызвать у учащихся интерес к решению той или иной задачи. Необходимо тщательно отбирать интересные задачи и делать их привлекательными для учащихся. Учитель должен уметь находить интересные задачи для учащихся и своевременно предложить ученикам. Наибольший интерес у учащихся вызывают те задачи, взятые из окружающей среды, задачи естественным образом связанные со знакомым учащимся вещами, служащие понятной ученику цели. Например, задача «В комнате стоят стулья и табуретки. У каждой табуретки три ножки, у каждого стула четыре ножки. Когда на всех стульях и табуретках сидят люди, в комнате 39 «ног». Сколько стульев и табуреток в комнате?» Эта задача ещё вызывает у учащихся стимул для приобретения умений и навыков решения неопределённых уравнений первой степени с двумя неизвестными в натуральных и целых числах у учащихся 5- 6 классов.

Конечно, нельзя приучать учащихся решать только те задачи, которые вызывает у них интерес. Но нельзя и забывать, что такие задачи ученик решает легче и свой интерес к решению одной или нескольких задач он может в дальнейшем перенести и на «скучные» разделы.

Таким образом, учитель, желающий научить школьников решать нестандартные задачи, должен вызвать у них интерес к задаче, убедит, что от решения задачи можно получить такое же удовольствие, как от разгадывания кроссвордов.

Далее, задачи не должны быть не слишком лёгкими, но и не должны быть слишком трудными, так как учащиеся, не решив задачу или не разобравшись в решении, предложенном учителем, могут потерять веру в свои силы. Поэтому не следует предлагать учащимся задачу, если нет уверенности, что они смогут её решить.

Ну а как же помочь учащемуся научиться решать задачи, если интерес к решению задач у него есть, и трудности решения его не пугают? В чём должна заключаться помощь учителя ученику, не сумевшему решить интересную для него задачу? Как эффективным образом направить усилия ученика, затруднявшегося самостоятельно начать или продолжить решение задачи?

Прежде всего, не следует идти по самому лёгкому в этом случае пути – познакомить ученика с готовым решением. Не следует и подсказывать, к какому разделу школьного курса математики относится предложенная задача, какие известные учащимся свойства и теоремы нужно применить при решении.

Решение нестандартной задачи – очень сложный процесс, для успешного осуществления которого учащийся должен уметь думать, догадываться. Необходимо также хорошее знание фактического материала, владение общими подходами к решению задач, опыт в решении нестандартных задач.

В процессе решения каждой задачи и ученику, и учителю, обучающему решение задач, целесообразно чётко различать четыре ступени:

1. Изучение условия задачи;

2. Поиск плана решения и его составление;

3 Осуществление плана, т. е. оформление найденного решения;

4. Изучение найденного решения – критический анализ результата решения и отбор полезной информации.

Наблюдения показывают, что даже при решении несложной задачи учащиеся очень много времени тратят на рассуждение о том, за что взяться, с чего начать. Чтобы помочь учащимся найти путь к решению задач, Учитель должен поставить себя на место решающего задачу, попытаться увидеть и понять источник его возможных затруднений. Направить его усилия в наиболее естественное русло. Умелая помощь ученику, оставляющая ему разумную долю самостоятельной работы, позволит учащемуся развить математические способности, накопить опыт, который в дальнейшем поможет находить путь к решению новых задач.

В чём должна заключаться помощь учителя, чтобы обеспечить максимальную самостоятельность учащегося при решении им задачи?

Лучшее, что может сделать учитель для учащегося, состоит в том, что путём неназойливой помощи подсказать ему блестящую идею. Хорошие идеи имеют своим источником прошлый опыт и заранее приобретённые знания. Часто уместным является начать работу с вопроса: «Известна ли вам какая-нибудь родственная задача?» Таким образом, хорошим средством обучения решению задач, средством для нахождения плана решения являются вспомогательные задачи. Умение подбирать вспомогательные задачи свидетельствует о том, что ученик уже владеет определённым запасом различных приёмов решения задач. Если этот запас невелик, то учитель, видя затруднения ученика, должен сам предложить вспомогательные задачи. Умело поставленные наводящие вопросы, вспомогательная задача или система вспомогательных задач помогут понять идею решения. Необходимо стремиться к тому, чтобы ученик испытал радость от решения для него трудной задачи, полученного с помощью вспомогательных задач, наводящих вопросов, предложенных учителем.

Так, если учащиеся затрудняются в решении задачи «Найдите все решения уравнения х+5у²+4ху+2у+1=0», то можно предложить следующие вспомогательные задачи:

Решить уравнения:

а) (х+1)²+у²=0 (х=-1, у=0)

б) х²-10х+25+у²=0 (х=5, у=0)

в) х²-4х+у²+2у+5=0 (х=2, у=-1)

Учитель, подсказав какой формулой надо воспользоваться для решения задачи, на долю ученика оставляет очень мало. И всё же подсказка гораздо полезнее для ученика. Чем ознакомление с готовым решением: она может создать иллюзию того, что он сам решил предложенную учителем задачу; это даст возможность поверить в свои силы, укрепит его желание решать задачи.

Умение находить вспомогательные задачи, как и вообще умение решить задачи, приобретается практикой. Предлагая ученикам задачу, следует посоветовать выяснить, нельзя ли найти связь между данной задачей и какой-нибудь задачей с известным решением, решающейся проще.

Для приобретения навыков решения довольно сложных задач следует приучать школьников больше внимания уделять изучения полученного решения. Для этого полезно предлагать учащимся видоизменять условие задачи, чтобы закрепить способ её решения, придумывать задачи, аналогичные решённым, более или менее трудные, с использованием найденного при решении основной задачи способа решения.

Проиллюстрируем сказанное примерами. Решив задачу «Докажите, что значение выражения 11+14-13 кратно 10», можно для закрепления способа решения предложить учащимся следующие задачи:

1. В выражении а +в - с вместо а, в, с подберите трёхзначные числа, чтобы значение полученного выражения было: а) кратно 2; б) кратно 5; в) кратно10. Можно ли, основываясь на применяемом способе решения, подобрать а, в, с так, чтобы получилось выражение кратное 3? Почему?

2. В выражении 215 +342 -113 подберите х, у, z такие. Чтобы значение полученного выражения было: а) кратно 2; б) кратно 5; в) кратно10.

Решив задачу «В двух бочках воды было поровну. Количество воды в первой бочке сначала уменьшилось на 10%, а затем увеличилось на10%. Количество воды во второй бочке сначала увеличилось на10%, а затем уменьшилось на 10%. В какой бочке воды стало больше?», целесообразно задать детям вопросы: как изменится ответ задачи, если вместо 10% взять 20%, 30%, а%? Какой вывод можно сделать?

Решив задачу: «Имеется лист бумаги. Его разрезают на 4 части, затем некоторые (или все) полученные куски снова разрезают на 4 части и. т. д. Докажите, что при этом Нельзя получить 50 частей листа», полезно изменить её условие так: «Лист бумаги разрезали на 5 частей, на 7 часте й, …, на n частей. Можно ли при этом получить 50 частей? листа? 100 частей листа?...k частей?»

Систематическая работа по изучения способов решения задач поможет учащимся не только решать задачи, но и самим составлять их составлять, анализировать решения. Конструирование задач- интересное занятие, один из верных способов научиться решать задачи.

Умение учащихся составлять нестандартные задачи, решаемые нестандартными способами, свидетельствует о культуре их мышления, хорошо развитых математических способностях.

При анализе решения задачи полезно сопоставить решение данной задачи с раннее решёнными, установить возможность её обобщения.

Учитель постоянно должен помнить, что решение задач не является не самоцелью, а средством обучения. Обсуждение найденного решения, поиск других решений, закрепление в памяти тех приёмов, которые были использованы, выявление условий возможности применения этих приёмов, обобщение данной задачи – всё это даёт возможность школьникам учиться на задаче. При решении задач следует уделить должное внимание оформлению записи найденного решения . Запись решения должна быть четкой и достаточно полной, чтобы, заглянув в нее, можно было восстановить то, что может ученику пригодится при дальнейшем обучении математике

В заключении отметим, что решение задачи крайне сложный процесс, при описании которого невозможно все многообразие его сторон. Дать учащимся правила, позволяющую решить любую нестандартную задачу, невозможно, ибо нестандартные задачи в какой-то степени неповторимы, а универсального метода, позволяющую решить любую задачу, к сожалению нет. Даже строгое выполнение всех указаний и следование советам учителя не сможет творческий процесс отыскания решений нестандартных задач определенные схемы.

Вся совокупность изложенных здесь рекомендаций имеет целью облегчить поиски того пути, который приведет к решению задачи, уменьшив число бесплодных блужданий, неизбежных для каждого учащегося, опыт которого в решении задач невелик.

НАХОЖДЕНИЕ СПОСОБОВ РЕШЕНИЯ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ

Общеизвестна роль, которая отводится индукции и наблюдениям при обучении математике учащихся младших классов. Позднее индуктивный метод уступает место дедуктивному. При этом чисто индуктивный поиск способа решения задачи не проводится, решение выполняется дедуктивным способом. В результате от учащихся ускользают пути поиска решения задачи что отрицательно сказывается на их математическом развитии.

Изучение опыта работы учителей убеждает, что при обучении учащихся математике (в частности при обучении учащихся способам решения нестандартных задач) наблюдение и индукция (в том числе и полная) не заняли его должного места. А между тем учитель должен знать и по возможности довести до сознания учащихся тот факт, что математика является экспериментальной, индуктивной наукой. Что наблюдения и индукция играли и играют большую роль при открытии многих математических фактов. Еще Л. Эйлер писал, что свойства чисел, известные сегодня, по большей части были открыты путем наблюдения и открыты задолго до того, как их истинность была подтверждена строгими доказательствами.

Поэтому уже в младших классах школы при обучении математике (да и другим предметам) надо учить школьников наблюдениям, прививать им навыки исследовательской работы, которые могут пригодится в дальнейшем, какой бы вид деятельности они не избрали после окончания школы.

Подчеркивая роль дедуктивных доказательств (доказательств в общем виде), учитель должен обратить внимание учащихся на роль наблюдений и неполной индукции при «открытии» математических закономерностей, при нахождении способа решений самых разнообразных математических задач, на роль полной индукции при обосновании найденных индуктивным путем закономерностей.

Поясним сказанное примерами. Рассмотрим задачу:

«Может ли: а) сумма пяти последовательных натуральных чисел быть простым числом; б) сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел быть простым числом?».

Прежде чем решить эту задачу в общем виде, целесообразно на нескольких частных примерах выяснить , каким числом (простым или составным) могут быть указанные в задаче суммы. С помощью примеров можно получить гипотезы: а) сумма пяти последовательных натуральных чисел - число составное; б) сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел - число составное.

Полученные на примерах (с помощью неполной индукции) гипотезы легко доказываются в общем виде.

Другая задача: «Может ли разность двух трехзначных чисел, из которых второе записано теми же цифрами, что и первое, но в обратном порядке, быть квадратом натурального числа?»

Прежде чем решать эту задачу в общем виде, учащийся должен на частных примерах, с помощью неполной индукции, получить предполагаемый ответ (высказать гипотезу): рассматриваемая разность не может быть равна квадрату какого-либо натурального числа. Дедуктивное обоснование этой гипотезы, как правило, не вызывает у учащихся затруднений.

Учащиеся должны понимать. Что на частных примерах никакого утверждения доказать нельзя. Частный пример ничего не доказывает в математике, но он может подвести к правильному выводу.

Так, прежде чем предлагать учащимся задачу «Докажите, что из всех прямоугольников, имеющих данный периметр квадрат имеет наибольшую площадь», целесообразно рекомендовать им установить, как в зависимости от длин сторон изменяется площадь прямоугольника данного периметра. Пусть, например, периметр прямоугольника 40 см, длина одной из его сторон принимает (последовательно) значения 18. 16, 14, 10 см. Тогда длина другой стороны равна соответственно 2, 4, 6, 10 см, а его площадь – 36, 64, 84, 100 см². Таким образом, из всех рассмотренных прямоугольников наибольшую площадь имеет прямоугольник с равными сторонами, т.е. квадрат со стороной 10 см.

При отыскании различных способов решения задач у школьников формируется познавательный интерес, развиваются творческие способности, вырабатываются исследовательские навыки. После нахождения очередного метода решения задачи ученик, как правило, получает большое моральное удовлетворение. Поэтому учителю важно поощрять поиск различных способов решения задач, а не стремиться навязывать своё решение. Общие методы решения задач должны стать прочным достоянием учащихся, но наряду с этим надо воспитывать у них умение использовать индивидуальные особенности каждой задачи, позволяющие решить её проще. Именно отход от шаблона, конкретный анализ условий задачи являются залогом успешного её решения.

Особое внимание следует обращать на решение задач арифметическим способом, так как именно решение задач арифметическим способом способствует развитию оригинальности мышления, изобретательности.

Наблюдения показывают, что учащиеся, ознакомившись со способом решения задач с помощью уравнения, не обременяют себя глубоким анализом условия задачи, стараются побыстрее составить уравнение и перейти к её решению. При этом и введение обозначений, и схема решений, как правило, соответствует шаблону.

В этом случае задача учителя – показать учащимся на примерах, что решение задач по шаблону часто приводит к значительному увеличению объёма работы, а иногда и к усложнению решения, в результате чего увеличивается возможность появления ошибок. Поэтому учащимся полезно предложить, прежде чем, составлять уравнение для решения задачи, внимательно изучить условие задачи, подумать над тем, какой способ решения наиболее соответствует её условию, попытаться решить задачу без использования уравнений, арифметическим способом.

К сожалению, довольно широко распростраенено мнение, что решение задачи повышенной трудности арифметическим методом излишне, ввиду существования более сильного метода решения задачи с помощью составления уравнения.

Существует и другое мнение, опирающееся на наблюдения за учащимися, согласно которому решение задач только алгебраическим методом ведёт к одностороннему математическому развитию учащихся. Следует учитывать и то, что для составления уравнения требуются определённые арифметические навыки, понимание зависимостей между величинами. Кроме того, существует ряд задач, решение которых часто арифметическими методами изящнее и проще, чем с помощью уравнений.

Например, следующая задача: «Два мотоциклиста выехали одновременно из пунктов А и В навстречу друг другу и встретились в 50 км от В. Прибыв в пункт А и В, мотоциклисты повернули сразу же назад и встретились вновь в 25 км от А. Сколько километров от А до В?» Гораздо легче решить эту задачу, не составляя уравнения, а рассуждая так. От начала движения до первой встречи оба мотоциклиста проехали расстояние вместе, равное АВ, а к моменту второй встречи проехали вместе втрое большее расстояние. Таким образом, каждый из них до второй встречи проехал втрое больше, чем до первой. Мотоциклист, выехавший из пункта В, до первой встречи проехал 50 км. Следовательно, до второй встречи он проехал 150 км. Поэтому расстояние от А до В равно125 км.

Арифметический способ решения задач является одним из лучших средств самостоятельного творческого мышления учащихся. С помощью специально подобранных задач, которые способны заинтересовать учащихся своей кажущейся простотой и тем, что их решение не сразу даётся в руки, можно показать учащимся красоту, простоту и изящество логического рассуждения, приводящего к решению задачи.

Рассматривая решение задач несколькими способами, учитель на уроке и во внеклассной работе должен ориентировать учащихся на поиски красивых, изящных решений. Тем самым учитель будет способствовать эстетическому воспитанию учащихся и повышению их математической культуры.

Решая с учениками ту или иную задачу, учитель должен стремиться к достижению двух целей. Первая - помочь ученику решать им5нно данную задачу, научить его решать задачи, аналогичные рассматриваемой; вторая – так развить способности ученика, чтобы он в будущем смог решить любую задачу.

Поэтому, преследуя вторую цель, при решении задач несколькими способами следует обращать внимание учащихся не только на наиболее рациональный способ решения данной задачи, но и на те способы, которые широко применяются при решении других задач и в некоторых случаях являются единственными. Также частое применение одного и того же метода при решении задач иногда приводит к привычке, которая становится вредной. У решающего задачу вырабатывается склонность к так называемой психологической инерции. Поэтому, как бы не казался ученику простым найденный способ решения, всегда полезно попытаться найти другой способ решения, который обогатит опыт решающего задачу. Кроме того, в некоторых случаях получение того же результата другим способом служит лучшей проверкой правильности результата.