Обучающие дидактические материалы по теме "Логарифмическая функция"

Обучающие дидактические материалы по теме

«Логарифмическая функция».

ПОНЯТИЕ ЛОГАРИФМА

Перед изучением этой темы повтори тему «Степени»

Вспомни названия: 3². Здесь 2-показатель степени, 3-основание.

2³. Здесь 3-показатель степени, 2-основание

Логарифмом числа b по основанию a называется показатель

степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить b.

Обозначение log_ab

b – может быть любым положительным числом, а может быть любым

положительным числом кроме единицы.

Пр.1: 2³=8.

3 – показатель степени, в которую надо возвести число 2, чтобы

получить число 8, значит число 3 называется логарифмом числа 8 по

основанию 2. 3 = loq₂8

Вернись к определению, прочитай его.

Не понятно – смотри следующий пример

Пр.2: 3² = 9.

2 – показатель степени, в которую надо возвести число 3, чтобы

получить 9, значит число 2 называется логарифмом числа 9 по

основанию 3. 2 = log₃9

Вернись к определению, прочитай его.

Не понятно – смотри следующий пример

Пр.3: 4² = 16

2 – показатель степени, в которую надо возвести число 4, чтобы получить 16,

значит число 2 называется логарифмом числа 16 по основанию 4.

2 = log₄16

Вернись к определению, прочитай его.

Не понятно – смотри следующий пример.

Пр.4: 5^-1=

-1 - показатель степени, в которую надо возвести число 5, чтобы получить,

значит число -1 называется логарифмом числа по основанию 5.

-1=log₅

Теперь от чисел перейдем к буквенным обозначениям

a^c = b

с – показатель степени, в которую надо возвести число а, чтобы

получить b, значит число c называется логарифмом числа b по основа-

нию а.

с = log_ab логарифмируемое число

логарифм основание

Вернись к определению, если не понятно – рассмотри еще раз примеры:

Уровень А

1. Вычислить loq₂16

Чтобы вычислить логарифм числа 16 по основанию 2, надо ответить

на вопрос: в какую степень нужно возвести число 2, чтобы получить 16

Ответ: в четвертую, т.к. 2⁴ = 2∙2∙2∙2 =16.

Следовательно логарифм числа 16 по основанию 2 равен 4.

Ответ: loq₂16=4

1. Вычислить loq

Чтобы вычислить логарифм числа по основанию надо ответить

на вопрос: в какую степень нужно возвести число чтобы получить .

Ответ: в третью, т.к. = ∙∙ = . Следовательно лога-

рифм по основанию равен 3.

Ответ: loq=3

3. Вычислить log₁₅1

Вопрос: в какую степень надо возвести число 15, чтобы получить 1

Ответ: в нулевую, т.к. 15⁰ = 1, следовательно логарифм числа 1 по

основанию 15 равен 0.

Ответ: log₁₅1 = 0

Вычисли самостоятельно:

4.log ₂64 5.log₃81 6.log_0,51 7.log ₃3

8.log₅125 9.log 10.log 11.log

12.log₄16 13.log₄64 14.log₃27 15.log₁₁121

16.log0,5 17.log2 18.log₃ 19.log_0,50,25

20.log₂(-4) 21.log_(-2)8 22.log₁4 23.log₀3

ЗАПОМНИ

Логарифм отрицательного числа не существует.

Логарифм нуля не существует.

Логарифм по отрицательному основанию не существует.

Логарифм по основанию равному нулю не существует.

Логарифм по основанию равному единице не существует.

24. Вычислить log₃27+log₂

Отдельно вычислим log₃27 и log₂, потом сложим их:

log₃27=3, log₂=-1, значит log₃27 + log₂=3+(-1)=3-1=2

Вычисли самостоятельно:

25. log_{5 +}log₄64

27. Запиши равенство 6²=36, применяя знак логарифма.

2 – это показатель степени, в которую надо возвести

число 6, чтобы получилось 36, значит 2 – это лога-

рифм числа 36 по основанию 6. Запишем ответ 2=log₆36.

Запиши следующие равенства, применяя знак логарифма:

28. 3⁴=81 29. 2⁵=32 30. 5³=125

31. Запиши равенство log₄16=2, не применяя знак

логарифма.

Если число 4 возвести во вторую степень, то

получится 16, значит можно записать 4²=16.

Запиши следующие равенства, не применяя знак

логарифма:

32. log₂32=5 33. log₄64=3 34. log₄1=0

Уровень Б

35. Вычислить log₂

Т.к. 16=2^4, то вместо можно записать.

По формуле =х получим=2

Значит, чтобы получить 2 нужно возвести число 2 в

степень , следовательно искомый логарифм равен .

Решение можно оформить так:

log₂ = log₂=log₂2=

Ответ: log₂=

36. Вычислить log₃

Т.к. 243=3⁵, то ==3

значит ===3^-(по формуле =х),

следовательно искомый логарифм равен -.

Решение можно оформить так:

log₃₌ log₃= log₃= log₃3^-= -.

Ответ: log₃=-.

Вычисли самостоятельно:

37. log 38. log 39. log

40. log 41. log 42. log₄

43. log_0,52 44. log₆ 45. log

В более сложных случаях можно вычислять логарифмы

с помощью перехода к показательному уравнению.

Повтори решение показательных

уравнений способом приведения обеих частей

уравнения к степеням с одинаковым основанием

46. Вычислить log₄8

Трудно сразу ответить на вопрос: в какую степень нужно

возвести число 4, чтобы получилось 8. Показатель степени,

который будем вычислять, обозначим х. Получим

log₄8=х. Подобно тому, как вместо равенства log₃9=2 можно

записать 3²=9 , вместо равенства log₄8= х

запишем 4^х=8.

Приведем обе части уравнения к степеням с

одинаковыми оснаниями

4^х=8,

2^2х=2³.

Приравнивая показатели, получим

2х=3, х=. Значит 4=8,

следовательно log₄8=

Ответ: log₄8=

47. Вычислить log₁₆32

Трудно сразу ответить на вопрос: в какую степень надо воз-

вести число 16, чтобы получить 32. Поэтому искомый лога-

рифм обозначим через х, получим log₁₆32=х.

Подобно тому, как вместо равенства log₃9=2 можно запи-

сать3²=9 , вместо равенства log₁₆32=х запишем 16^х=32.

Решим это уравнение 16^х=32.

Приведем обе части уравнения к степеням с одинаковыми

основаниями, получим

(2⁴)^х=2⁵, 2^4х=2⁵, 4х=5, х=^, следовательно log₁₆32 =

Ответ: log₁₆32 =

С помощью показательного уравнения легко

вычислить любой логарифм.

Вычисли самостоятельно:

48. log₂₅125 49. log₈128 50. log₂₇81 51. log₆₄

52. Вычислить log₃log₂8

Cначала вычислим «внутренний» логарифм log₂8

log₂8=3

Теперь на месте log₂8 напишем число 3, получим

log₃ log₂8=log₃3=1

Ответ: 1.

53. Вычислить2log₄log_0,50,25

Сначала вычислим «внутренний» логарифм log_0,50,25

log_0,50,25=2

Теперь на месте log_0,50,25 напишем число 2, получим

2log₄log_0,50,25=2log₄2,

найдем log₄2=, т.к. 4=(2²) =2

Умножим 2 на, получим 2∙=1

Решение можно оформить так:

2log₄log_0,50,25=2log₄2=2∙=1

Ответ: 1.

Вычисли самостоятельно:

54. log₂log₃81 55. log₂₇log₁₀1000

56. loglog₅125 57. logloglogloglog

58. Выяснить, при каких значениях х имеет

смысл выражение log₇(х-3)

Если ты забыл, как решаются неравенства,

повтори эту тему самостоятельно

Число 7 в любой степени положительно, значит на

месте х-3 должно быть положительное число,

получим х-30, х3.

Ответ: х3.

59. Выяснить, при каких значениях х имеет смысл

выражение log_х (2х-4)

Логарифмируемое выражение должно быть поло-

жительным, значит 2х-40; основание логарифма

должно быть числом положительным и не равным

единице, значит х0, х≠1. Причем, все эти условия

должны выполняться одновременно, значит можно

записать систему неравенств

2х-40

х0

х≠1

Решим первое неравенство 2х-40, получим

2х4, x2.

0 1 2 х

Выясни, при кaких значениях x имеет смысл выраже-

ние:

60. log₁₃(x²+x-6)

Уровень В

Выясни, при кaких значениях x имеет смысл выраже-

ние:

61. log_0,7(x³+x²-2x) 62. log_x-2(2x-1).

Вычисли:

63. log₆₂₅0,625 64. log0,75 65. log

66. logsin45º

ОСНОВНОЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЕ ТОЖДЕСТВО

Пр1: Рассмотрим равенство 2³=8

Т.к. 3=log₂8, то в равенстве 2³=8 на месте числа 3

напишем log₂8. Получим

2 ^log8=8.

2³=8 и 2 ^log8=8 одно и то же.

Пр2: Рассмотрим равенство 4²=16

Т.к. 2= log₄16, то в равенстве 4²=16 на месте числа 2

напишем log₄16. Получим

4 ^log₄¹⁶=16.

Видим, что 4²=16 и 4 ^log₄¹⁶=16 одно и то же.

Перейдем к буквенным обозначениям .

Рассмотрим равенство a^c=b

Т.к. c=log_ab, то на месте с в равенстве a^c=b

напишем log_ab, получим

а ^logb=b

это основное логарифмическое тождество. С его

помощью можно упрощать логарифмические выра-

жения и находить их значения.

Вычислить 3^log17

На месте а, число 3, на месте b, под знаком логарифма

число 17, значит и после знака равенства, используя фор-

мулу а ^logb=b, напишем число 17, получим

3^log17=17

1. Вычислить 0,7^log44

На месте а, число 0,7 , на месте b, под знаком логариф-

ма, число 44, значит и после знака равенства, используя фор-

мулу а ^logb=b, напишем число 44, получим

0,7^log44=44.

3. Вычислить самостоятельно:

7 ^log3 4. 13 ^log11 5. 39 ^log27 6. 27^log

7. Вычислить 8 ^log3

Сразу воспользоваться формулой а ^logb=b нельзя.

Сначала вместо числа 8 напишем 2³, получим

8 ^log3=2^{3 log3}

Т.к. показатели перемножаются при возведении

степени в степень (формула (х^m)ⁿ=x^m∙n), то можно

записать 2^{3 log3}=(2 ^log3)³.

В скобке, по формуле а ^logb=b, получим 2 ^log3=3.

Т.к. «скобка была в третьей степени», то полученное

число 3 возведем в третью степень, получим 27.

Решение можно оформить так:

8 ^log3= 2^{3 log3}=( )³=3³=27.

Ответ: 27

Вычисли самостоятельно:

8. 9 ^log7 9. 4^log5 10. 81^log2 11. ^log27

Уровень Б

12. Вычислить 0,5^log9

Сначала число 0,5 представим как 4 в степени,

получим 0,5==2^-1=()^-1=(4)^-1=4.Теперь на месте числа 0,5 напишем 4, получим

0,5^log9=4=(4)=9=== Ответ: .

13. Вычислить 10^log7+3

Т.к. показатели складываются при умножении степеней

с одинаковым основанием (формула х^mxⁿ=x^m+n ) , то получим

10^log7+3=10^log7∙10³ =7∙ 1000=7000

Ответ: 7000.

Вычисли самостоятельно:

14. 7^log16 15. ^log16 16. 9^log5

17. ^-log14 18. 9^-2log5 19. ^log₃⁵

20. 0,027 ^log4 21. 163 ^log21 22. 12

23. 24. 25 25. 3

ПРОВЕРЬ СЕБЯ

Уровень А

Запиши следующие равенства, применяя знак лога-

рифма .

1. 6³=36 2. 4⁵=1024 3. 0,1⁴=0,0001

4. ³= 5. 2^-5=

Запиши следующие равенства , не используя знак

логарифм:

6. log₂8=3. 7. log₂=-3 8. log8=-3

9. log₂1024=10 10. log625=3

Вычисли

11. log81 12. log36 13. log216

14. lg100 15. log₇49 16. log₄64

17. log₃243+lg1000 18. log₉81+log₅125

19. 11 20. 39 21. 4

22. 9 23. 25 24. 3+15

Вместо знака «?» поставь число

Например: 25. log_х4=2

На месте х должно стоять число, которое

возводится во вторую степень и получается 4,

это число 2, т.к. 2²=4, запишем ответ log₂4=2.

26. log_х8=3 27. log_х16=4 28. log_х27=3

29. log_х25=2 30. log_х49=2 31. log₃х=3

1. log₄х=2 33. log₆х=1

Уровень Б

Вычисли:

34. log₄ 35. log₅ 36. log27

37. log4 38. log₅0,008 39. log

40. log_0,58 41. log₃₂128 42. log₂₇243

43. log₁₂₈ 46. log 45. log

46. log 47. 16 48. 5

49. 50. 51. 7

52. 0,125 53. 54. 6∙20,25

55. 56. 10 57. 7:9

58. log₃log₂8 59. 2log₂₇log₁₀₀₀10

60. log₄log₁₆256+log₄8

61. log₉log₂8+3log₂log₄16+log4

Выясни, при каких значениях х существует

логарифм:

62. log₃(5-x) 63. log₃(x-5) 64. log₁₁(-x)

65. log₇(49-x²) 66. log₄(x²+4) 67. log₆

Уровень В

Вычисли:

68. 32 69. 125 70. 27

71. (tg60º) 72.

Выясни, при каких значениях х существует

логарифм:

73. log₁₃(1-x³) 74. log_x-1(x²-1)

ДЕСЯТИЧНЫЕ И НАТУРАЛЬНЫЕ ЛОГАРИФМЫ

Десятичный логарифм – это логарифм числа по

основанию 10.

Обозначение: вместо log₁₀b пишут lgb, т.е. log₁₀b= lgb

Например: вместо log₁₀3 пишут lg3, т.е. log₁₀3=lg3,

вместо log₁₀0,5 пишут lg0,5, т.е. log₁₀0,5=lg0,5

Натуральный логарифм – это логарифм числа по

основанию e, e≈2,7.

Обозначение: вместо log _eb пишут lnb, т.е. log _eb= lnb,

Например: вместо log _e3 пишут ln3, т.е. log _e3 =ln3,

вместо log _e0,5 пишут ln0,5, т.е. log _e0,5 =ln0,5.

Существует формула, которая позволяет перейти от

логарифма по одному основанию к логарифму по другому

основанию log_ab=

1. Выразить log₅3 через логарифм по основанию 7.

Задание следует понимать так: нужно перейти от

логарифма по основанию 5 к логарифму по основанию 7.

Для этого подставим в формулу log_ab= на

место a число 5, на место b число 3, на место d число 7,

получим log₅3=

Ответ: log₅3 =

2. Выразить log₅17 через натуральный логарифм.

Для этого подставим в формулу log_ab= на

место a число 5, на место b число 17, на место d число e,

получим log₅17=

Ответ: log₅17=

Уровень А

Вырази следующие логарифмы через

десятичные логарифмы:

3. log₁₅12 4. log₁₂100 5. log₃25

Вырази следующие логарифмы через

натуральные логарифмы:

6. log₃18 7. lg8 8. lg11

Уровень Б

9. Дано: log₇2=m. Найти: log₄₉28

log₄₉28 выразим через логарифм по основанию 7,

получим log₄₉28=. Отдельно вычислим

числитель и знаменатель этой дроби:

1) числитель: log₇28= log₇(7∙4)= log₇7+ log₇4=1+ log₇2²=

=1+2log₇2=1+2m;

2) знаменатель: log₇49=2

3) разделим числитель на знаменатель, получим

Ответ:

Самостоятельная работа

Вариант 1

Решите уравнения:

1. log ₃ (2x – 1) = 2;

2. log_0,2(12x + 8) = log_0,2(11x + 7);

3. lg²x² + lgx² – 6 = 0;

4. X^log_0,5^x = ;

5. log₁₀x + logx + log x + … + log x = 5,5.

Ответы: 1. 5;

2. решений нет;

3. ;10;

4. 0,25; 4;

5.

Вариант 2

Решите уравнения:

1. ln(3x – 5 ) = 0;

2. log ₆ (2x² – x) = 1 – log ₆ 2;

3. X^log₂^x = 16;

4. 3log²₂x + 2log₂x = 5;

5. log₁₀x + logx + log x + … + log x = 5,5.

Ответы: 1. 2; 3. 0,25; 4;

1. 1,5; - 1; 4. 2; ; 5.

Приложение 3

Задание по вариантам

В1 В4

1.log₂(3x-6)=log₂(2x-3); 1.log₄(x + 3) = 4;

2.logx=-1; 2.2log₃²x – 5log₃x = 7;

3.log₂²x – 4log₂x + 3 = 0; 3.lg(x² – 6) = lg(8 + 5x);

4.log₂x = log₂3 + log₂5; 4.log4 + logx = log18;

5.x^log₃^x = 9. 5. .x^log₃^x = 3.

В 2. В5

1.log_0,5²x + 3log_0,5x + 2 = 0; 1.log_0,2(12x + 8) = log_0,2(11x + 7);

2.log₇4 = log₇x – log₇9; 2.log₅x = 2;

3.log₆(14 – 4x) = log₆(2x + 2); 3.3log₄²x – 7log₄x + 2 = 0;

4.log₃x = ; 4.log₂x = log₂3 + log₂5;

5.x^log₃^x = 81. 5.x^log₃^x = 143.

в 3

1.lg²x² + lgx² = 6;

2.log₃(x² + 6) = log₃5x;

3.log₂x = -0,5;

4.log= 1;

5. .x^log₃^x = 27.

Приложение 4

Задание 1

Решите уравнение

1. . 2. .

3. . 4. .

5. . 6. .

7. . 8. .

9. . 10. .

11. .

2. Задание 2

Решите уравнение

12. . 13. .

14. .

1. 15. . 16 .

1. Задание 3

Решите уравнение

17. 18.

19. 20. .

21. .

22.

23. .

Задание 4

Решите уравнение

24. . 25.

26. . 27. .

28. . 29. .

30. .

1. Ответы к заданиям по теме "Логарифмические уравнения"

1. К заданию 1

1. 19. 2. 1. 3. 2. 4. . 5. .

6. 1. 7. . 8. 3. 9. 0; 2. 10. 0; 3. 11. 2; 4.

1. К заданию 2

12. 2. 13. . 14. -1. 15. 36. 16. 48.

1. К заданию 3

17. 64. 18. 1,5. 19. 4. 22. 3. 23. .

1. К заданию 4

1. -1; 2. 25. . 26. 0,1; 1000. 27. 2. 28. 29. ; 10. 30. 5.

1. Приложение 5

1. Упражнения

Решите уравнения:

62. . 63. .

64. . 65. .

66. . 67. .

68. . 69. .

70. . . 71. .

72. . 73. .

74. .

75. .

76. .

77. . 78. .

79. .

1. Ответы

62. . 63. -3. 64. . 65. . 66. 8. 67. . 68. -4. 69. . 70. ; 4.

71. . 72. 9. 73. 8. 74. . 75. ; 1. 76. 3. 77. 16. 78. . 79. .

Литература

1. Багманов А. Т., Иванов Л. А., Толстых И. В. Математика. Избранные задачи. Абитуриенту - 2002 для самостоятельной работы. - СПб. Из-во СПбГТУ, 2002. 150 с.

1. Болтянский В. Г., Ю. В. Сидоров, М. И. Шабунин «Лекции и задачи по элементарной математике», Москва «Наука», 1971 г.

1. Гальперин Г. А., А. К. Толпыго «Московские математические материалы», под ред. А. Н. Колмогорова, Москва «Просвещение», 1986 г.

2. Доброва О. Н. «Задания по алгебре и математическому анализу», Москва «Просвещение», 1996 г.

3. Егорова А. А. «Практикум абитуриента». Алгебра и тригонометрия. Приложение к журналу «Квант» 3, 1995 г., Москва, 1995 г., бюро «Квантум».

4. Зорин В. В. «Пособие по математике для поступающих в вузы», Москва «Высшая школа», 1965 г.

5. Новые педагогические и информационные технологии в системе образования: Учеб. пособие для студ. педагогических ВУЗов и системы повыш.квалификации пед. кадров /Е.С. Полат, М.Ю. Бухаркина и др.; Под ред. Е.С. Полат. – М.: Издательский центр «Академия», 2000.

9. Селевко Г.К. Современные образовательные технологии: Уч. пособие. – М.:

Народное образование, 1998.

10. Колмогоров А. Н. Алгебра и начала анализа. Уучебник для 10-11 классов, общеобразовательных учреждений. Москва «Просвещение»2003.

11. Тишин В. И. Математика для учитилей и учащихся 2002.