Нестандартные методы решения иррациональных неравенств и уравнений

26

Муниципальный конкурс исследовательских и творческих работ школьников

«Шаг в науку»

Секция МАТЕМАТИКИ

Тема: Нестандартные методы решения иррациональных

уравнений.

Нуждина Мария , МАОУ СОШ №2

10 класс, п. Карымское

Научный руководитель: Васильева Елена Валерьевна,

учитель математики

МАОУ СОШ №2, п. Карымское

п. Карымское, 2013

Содержание :

1. Аннотация………………………………………………………………….3

2. План исследования…………………………………………………….......4-5

3. Описание работы :

§1. Основные приемы решения иррациональных уравнений………………6-9

§2. Решение иррациональных уравнений методом замены неизвестного…10-14

§3. Иррациональные уравнения, сводимые к модулю ………….15-17

§4. Разложение на множители…………………………………………...…..18-19

§5. Уравнения вида ………………………………………20-22

§6. Теорема о среднем геометрическом в иррациональных уравнениях

; ……………………………23-24

4) Список литературы…………………………………………………….....25

Тема: «Нестандартные приемы решения иррациональных уравнений».

Нуждина М.П., Забайкальский край, п. Карымское, МАОУ СОШ №2, 10 класс.

Аннотация.

Тема нашей исследовательской работы: «Нестандартные приемы решения иррациональных уравнений».

Авторы многих учебных пособий предлагают различные методы и приемы решения иррациональных уравнений , поэтому целью нашего исследования было их изучение и систематизирование.

При выполнении работы было необходимо: сравнивать различные методы решения; переходить от общих методов к частным, и наоборот; аргументировать и доказывать выдвинутые утверждения; изучать и обобщать информацию, собранную из различных источников. В связи с этим можно выделить следующие методы исследовательской деятельности: эмпирическое; логическое и теоретическое (исследование); пошаговое; репродуктивное и эвристическое;

В результате проведенной работы получены следующие результаты и выводы:

1. Существует множество приемов для решения иррациональных уравнений;

2. Не все иррациональные уравнения решаются с помощью стандартных приемов;

3. Мы изучили часто встречающиеся замены, с помощью которых сложные иррациональные уравнения сводятся с простейшим;

4. Мы рассмотрели нестандартные приемы решения иррациональных уравнений

Тема: «Нестандартные приемы решения иррациональных уравнений»

Нуждина М.П., Забайкальский край, п. Карымское, МАОУ СОШ №2, 10 класс.

План исследования.

Объектной областью, в которой мы проводили исследование, является алгебра. Объект исследования - решение уравнений. Среди множества уравнений мы рассмотрели иррациональные уравнения - предмет нашего исследования.

В школьном курсе алгебры рассматриваются только стандартные методы и приемы решения (возведенные в степень и простые приемы замены). Но в процессе исследования выяснилось, что существуют иррациональные уравнения, для решения которых стандартных приемов и методов недостаточно. Такие уравнения решаются с помощью других, более рациональных, методов.

Поэтому считаем, что изучение таких приемов решения - нужная и интересная работа.

В процессе исследования выяснилось, что иррациональных уравнений великое множество и сгруппировать их по видам и методам проблематично.

Целью исследования является изучение и систематизирование методов решения иррациональных уравнений.

Гипотеза: Если знать нестандартные методы решения иррациональных уравнений, то это позволит повысить качество выполнения некоторых олимпиадных и тестовых заданий ЕГЭ.

Для достижения поставленных целей и проверки гипотезы необходимо решить следующие задачи:

-Охарактеризовать виды иррациональных уравнений.

-Установить связи между видами и методами решения.

-Оценить значение проверки и нахождения ОДЗ.

-Рассмотреть нестандартные случаи при решении иррациональных уравнений (теорема о средней геометрической, свойства монотонности функций).

В процессе исследования было изучено множество учебных пособий таких авторов как М.И.Сканави ,И.Ф.Шарыгина,О.Ю.Черкасова,А.Н.Рурукина ,И.Т.Бородуля , а так же статьи из научно-теоретического и методического журнала «Математика в школе».

Тема: «Нестандартные приемы решения иррациональных уравнений»

Нуждина М.П., Забайкальский край, п. Карымское, МАОУ СОШ №2, 10 класс.

Описание работы.

§1 Основные приемы решения иррациональных уравнений

Уравнение y(x)=0 является иррациональным, если функция y(x) содержит корни из неизвестной величины x или выражений, зависящих от x.

Многие иррациональные уравнения могут быть решены, основываясь только на понятиях корня и области допустимых значений уравнения (ОДЗ), но встречаются и другие методы, некоторые из них будут рассмотрены в работе.

Основным приемом решения иррациональных уравнений считается уединение в одной части уравнения радикала, последующее возведение обоих частей уравнения в соответствующую степень. Если таких радикалов несколько, то уравнение необходимо возводить в исходную степень неоднократно, кстати, при этом нет нужды заботиться о том, чтобы выражение, стоящее под знаком уединенного радикала, было бы неотрицательно.

Однако при возведении в четную степень могут возникнуть посторонние корни, то есть корни, не являющиеся решением исходного уравнения.

Поэтому при использовании такого приема решения, корни должны быть обязательно проверены и посторонние отброшены, в этом случае проверка является элементом решения и необходима даже в тех случаях, когда лишние корни не появились, но ход решения был таков, что они могли появиться. С другой стороны, иногда легче сделать проверку, чем доказывать, что она необходима.

Рассмотрим несколько примеров:

Пример 1.

(4=-4)

Пример 2.

Ответ: корней нет

Пример 3.

–посторонний корень

В этих примерах мы рассмотрели стандартные методы решения иррациональных уравнений(возведение обеих частей в степень и проверка корней ).

Однако, многие иррациональные уравнения могут быть решены,

основываясь только на понятиях корня и ОДЗ уравнения.

Пример 4.

Так как в уравнение входят радикалы только четных степеней, то достаточно решить систему неравенств.

х-2,5≥0

3х -2х² +5 ≥0 ( условия ОДЗ уравнения)

4х² -26х +40 ≥0

Решая эту систему неравенств получим :

х € [2,5 ;+∞ )

х € [-1; 2,5] Откуда х = 2,5.

х € ( -∞ ; 2,5] ᴗ [4 ; +∞ )

При проверке выясняется , что это и есть единственный корень уравнения.

Пример 5 .

+ + = 0

Левая часть уравнения представляет собой сумму трех корней четной степени , поэтому их сумма неотрицательная, т.е :

Второе уравнение линейное и его корень x=1, при проверке видно, что это корень и для первого, и для третьего уравнения

Ответ: x=1

Выводы по главе :

Приведем еще два примера, показывающих, что в одних случаях нахождение ОДЗ полезно при решении уравнений, в других задача определения ОДЗ оказывается сложной и абсолютно ненужной

Пример 6.

= + 2

Нахождение ОДЗ в этом случае затруднительно ,Возведя обе части в квадрат получим :

При проверке видно, что x=0-посторонний корень

Ответ : х= 1.

Пример 7.

В этом случае ОДЗ просто необходимо

Решением системы является корень x=1.

§2 Решение иррациональных уравнений методом замены неизвестного.

Введение новой неизвестной, относительно которой уравнение имеет более простой, легко приводимый к стандартному виду или даже просто украшающее вид уравнения - важнейший метод решения уравнений любых видов, включая и иррациональные уравнения.

Часто встречаются замены:

1) решаются как биквадратные уравнения

2)

Частая замена

3) , P(x) и А(x) многочлены

С помощью замены: решаются возвратные уравнения 4 степени (т.е. уравнения вида ) делятся на .

Пример 1.

Замена:

Возвращаемся к x:

После проверки ответ:

Пример 2.

Тогда:

Вернемся к x:

или

Пример 3.

С помощью замены получим простейшее квадратное уравнение:

Пример 4.

( разделим обе части уравнения на х² ) , получим :

=

замена: ,

получим:

Вернемся к x:

после проверки, записываем ответ:

Пример 5.

Доведем левую часть уравнения до полного квадрата, т.к. имеем сумму двух квадратов

Теперь видно замену: ,

Получим простое квадратное уравнение:

Ответ:

Пример 6.

(:1+x)

Теперь видно замену: ,

получим:

Ответ:

Иррациональные уравнения, приводимые к однородным уравнениям.

Пример 7.

Введем замену:

, , получим

-однородное уравнение

1) a=b или 2) a=2b

Решений нет

§3 Иррациональные уравнения, сводимые к модулю.

Основное правило, которое легло в основу таких уравнений.

Пример 1.

, тогда получим

или

Если

, т.е.

Если

Ответ:

Пример 2.

Сначала введем новую переменную

=1

- - +

- + +

1. 3

1. –t + 2 – t + 3=1; 2) t-2+3=1 3) t -2 + t-3=1

t=2 1=1 t= 3

Ответ:

Пример 3.

Замена:

=1

, решая простое уравнение , содержащие абсолютную величину получим корни уравнения : у₁=2 , у₂=3. При переходе к нашей переменной х получим корни х₁=5 , х₂= 10 , после проверки выписываем ответ : 5; 10

§4 Разложение на множители

Решение уравнений с помощью разложения левой части на множители - часто встречающийся метод, включающий и иррациональные уравнения. Рассмотрим несколько примеров:

Пример 1.

или

решается возведением в квадрат обоих частей два раза

Пример 2.

=0 или =0 в этом случае, при проверке ОДЗ,

х=1 получим:

x € Ø

Ответ: x=1

Пример 3.

или 0

х=0 пусть

2)

Ответ:

§5 Уравнения вида

Если функция y=f(x) строго монотонна(возрастает или убывает) на R, тогда уравнение вида f(α(x)=f(β(x)) равносильно уравнению

Пример 1.

Так как функция строго возрастает, то уравнение равносильно уравнению

=1

Если функция составлена из строго возрастающих (или убывающих функций), то теорема так же работает

Пример 2.

Область существования функции есть множество R, f(x) строго возрастает(как сумма строго возрастающих функций). Тогда, получим равносильное уравнение:

Ответ:

Пример 3.

Перепишем в виде:

Функция имеет область существования R, функция строго возрастает(так как, )

Значит, получим равносильное уравнение:

Пример 4.

Область существования функции: есть промежуток и функция строго возрастает на этом промежутке( как сумма строго возрастающих функций), значит, уравнение равносильно следующему:

, учитывая, что

,

Ответ:

Пример 5.

Перепишем в виде:

получим функцию

3

Функция f(u) строго возрастает, так как

При , поэтому получим новое уравнение 1

Ответ: x=2

§6 Теорема о среднем геометрическом в иррациональных уравнения.

Рассмотрим интересный случай решения иррационального уравнения:

Пример.

2)

Сложим полученные неравенства:

Рассуждая, можем утверждать, что и правая часть тоже должна обладать этим свойством:

Рассмотрим еще одно уравнение, которое решается тем же способом:

1) ≤

2) ≤

2х²-4х+2 ≤ 0

(≤ 0 один корень х=1

Список литературы:

1) О. Ю. Черкасов, А. Г. Якушев: Математика. Интенсивный курс подготовки к экзамену. 2003г/ АЙРИС РОЛЬФ/ Москва.

2) И. Шарыгин: Математика. Для поступающих в ВУЗы. 2003г/ Дрофа/ Москва.

3) А. Н. Рурукин: Математика. Выпускные экзамены. ЕГЭ на «5». 2006г/ ВАКО/ Москва.

4) И. С. Ганенкова: Математика. Решение заданий ЕГЭ высокой степени сложности: методы и приемы. 2010г/ УЧИТЕЛЬ/ Волгоград.

5) И. Т. Бородуля: Тригонометрические уравнения и неравенства. 2006г/ Просвещение/ Москва.

6) Научно-теоретический методический журнал «Математика в школе»: 2003г №8 / Школьная пресса/ Москва. ст. М. К. Потапова: О решении уравнений вида f(a(x))=f(b(x)) стр. 40

7) Научно-теоретический методический журнал «Математика в школе»: 2003г №9/ Школьная пресса/ Москва. ст. В. А. Далингера: Как сделать теорему о среднем арифметическом и среднем геометрическом средством познания стр. 54

8)М.И.Сканави: Сборник задач по математике /ОНИКС/Москва 2000 г.