Методика изучения квадратных уравнений в 8 классе

Нарзиева Озада Хушвахтовна

Учитель математики

КГУ «Гимназия №18»

Алмалинский район

(Сейдахметова Мирваниям Махмуджановнаның апрельде шыққан макаласын жібердім қайтадан)

Методика изучения квадратных уравнений в 8 классе

Уравнения в школьном курсе алгебры занимают ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему школьного курса математики. Сила теории уравнений в том, что она не только имеет теоретическое значение для познания естественных законов, но и служит конкретным практическим целям. Большинство задач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира сводится к решению различных видов уравнений. Овладевая способами их решения, люди находят ответы на различные вопросы из науки и техники (транспорт, сельское хозяйство, промышленность, связь и т.д.). Так же для формирования умения решать уравнения большое значение имеет самостоятельная работа учащегося при обучении решения уравнений. При изучении любой темы уравнения могут быть использованы как эффективное средство закрепления, углубления, повторения и расширения теоретических знаний, для развития творческой математической деятельности учащихся

С началом изучения систематического курса алгебры основное внимание уделяется способам решения квадратных уравнений, которые становятся специальным объектом изучения. Основная цель - выработать умения решать квадратные уравнения и решать задачи, сводящиеся к ним.

Квадратным уравнением называется уравнение вида bx+ c = 0, где х - переменная, а, b и с - некоторые числа, причем а . Числа а, b и с - коэффициенты квадратного уравнения [1, 98].

Умение решать квадратные уравнения служит базой для решения других типов уравнений и их систем (дробных рациональных, иррациональных, высших степеней).

Для того чтобы решить любое квадратное уравнение, учащиеся должны знать:

· формулу нахождения дискриминанта;

· формулу нахождения корней квадратного уравнения;

· алгоритмы решения уравнений данного вида.

В результате изучения данной темы учащиеся должны уметь:

· решать неполные квадратные уравнения;

· решать полные квадратные уравнения;

· решать приведенные квадратные уравнения;

· находить ошибки в решенных уравнениях и исправлять их;

· делать проверку.

Решение каждого уравнения складывается из двух основных частей:

· преобразования данного уравнения к простейшим;

· решения уравнений по известным правилам, формулам или алгоритмам.

Обучение решению уравнений начинается с простейших их видов, и программа обусловливает постепенное накопление как их видов, так и "фонда" торжественных и равносильных преобразований, с помощью которых можно привести произвольное уравнение к простейшим. В этом направлении следует строить и процесс формирования обобщенных приемов решения уравнений в школьном курсе алгебры. В курсе математики старших классов учащиеся сталкиваются с новыми классами уравнений, систем или с углубленным изучением уже известных классов. Однако это мало влияет на уже сформированную систему знаний, умений и навыков; они дополняют ее новым фактическим содержанием.

Обобщение способов деятельности учащихся при решении квадратных уравнений происходит постепенно. Можно выделить следующие этапы при изучении темы "Квадратные уравнения":

Iэтап - "Решение неполных квадратных уравнений".

IIэтап - "Решение полных квадратных уравнений".

IIIэтап - "Решение приведенных квадратных уравнений".

На первом этапе рассматриваются неполные квадратные уравнения. Так как сначала математики научились решать неполные квадратные уравнения, поскольку для этого не пришлось, как говорится, ничего изобретать. Это уравнения вида: ах² = 0, ах² + с = 0, где а ≠ 0 и с≠ 0, ах² + bх = 0, где а ≠ 0 и

b≠ 0. Рассмотрим решение несколько таких уравнений:

1. Еслиах² = 0. Уравнения такого вида решаются по алгоритму:

1) найтих² ;

2) найти х.

Например, 5х² = 0. Разделив обе части уравнения на 5 получается: х² = 0, откуда х = 0.

2. Еслиах² +с = 0,с ≠ 0 Уравнения данного вида решаются поалгоритму:

1) перенести слагаемые в правую часть;

2) найти все числа, квадраты которых равны числу с.

Например, х^{2 -} 5 = 0, Это уравнение равносильно уравнению х² = 5. Следовательно, надо найти все числа, квадраты которых равны числу 5. Таких чисел только два  и - . Таким образом, уравнение х^{2 -} 5 = 0 имеет два действительных корня: x₁ =, x₂ = -  и других действительных корней не имеет.

3. Если ах² + bх = 0, b≠ 0. Уравнения такого вида решаются по алгоритму:

1) вынести общий множитель за скобки;

2) найти x₁ , x₂ .

Например, х^2 - 3х = 0. Перепишем уравнение х^{2 -} 3х = 0 в виде х (х - 3) = 0. Это уравнение имеет, очевидно, корни x₁ = 0, x₂ = 3. Других корней оно не имеет, ибо если в него подставить вместо х любое число, отличное от нуля и 3, то в левой части уравнения х (х - 3) = 0 получится число, не равное нулю.

Итак, данные примеры показывают, как решаются неполные квадратные уравнения:

1) если уравнение имеет вид ах² = 0 , то оно имеет один корень х = 0;

2) если уравнение имеет видах² + bх = 0 , то используется метод разложения на множители: х (ах +b) = 0; значит, либо х = 0, либо ах + b= 0. В итоге получается два корня: x₁ = 0; x₂ = - ;

3) если уравнение имеет вид ах² + с = 0 , то его преобразуют к виду

ах² = - с и далее х² . = -  В случае, когда - х² = -  не имеет действительных корней (значит, не имеет корней и исходное уравнение ах² + с = 0). В случае, когда -   0, т.е. -  = m, где m0, уравнение х² = mимеет два корня  = ,  = - , в этом случае допускается более короткая запись = . Таким образом, неполное квадратное уравнение может иметь два корня, один корень, ни одного корня.

На втором этапе осуществляется переход к решению полного квадратного уравнения. Это уравнения вида ах²+ bx+ c= 0, где a , b , c - заданные числа, а ≠ 0, х - неизвестное.

Любое полное квадратное уравнение можно преобразовать к виду, для того, чтобы определять число корней квадратного уравнения и находить эти корни. Дискриминант уравнения равен: D= p² - 4q. Рассматриваются следующие случаи решения полных квадратных уравнений: D 0.

1. Если D² + bx+ c= 0, где а ≠ 0 не имеет действительных корней. Например, 2х² + 4х + 7 = 0. Решение: здесь а = 2, b= 4, с = 7. D= b^{2 -} 4ас = 4² -  = 16 - 56 = - 40. Так как D

2. Если D= 0, то квадратное уравнение ах² + bx+ c= 0, где а ≠ 0, имеет два равных корня, которые находятся по формуле.

Например, 4х - 20х + 25 = 0. Решение: а = 4, b= - 20, с = 25. D= b^{2 -} 4ас = (-20) ² - = 400 - 400 = 0. Так как D= 0, то данное уравнение имеет два равных корня, которые находятся по формуле . Значит, 

3. Если D 0, то квадратное уравнение ах² + bx+ c= 0, где а ≠ 0 имеет два корня, которые находятся по формулам: ; (1)

Например, 3х² + 8х - 11 = 0. Решение: а = 3,b= 8, с = - 11. D= b^{2 -} 4ас = 8² -  (-11) = 64 + 132 = 196. Так как D 0, то данное квадратное уравнение имеет два корня. Эти корни находятся по формулам:

.

Составляется алгоритм решения уравнения вида ах² + bx+ c= 0.

1. Вычислить дискриминант Dпо формуле D= b^{2 -} 4ас.

2. Если D² + bx+ c= 0 не имеет корней.

3. Если D= 0, то квадратное уравнение имеет два равных корня, который находятся по формуле 

4. Если D 0, то квадратное уравнение ах² + bx+ c= 0 имеет два корня:

; .

Это алгоритм универсален, он применим как к неполным, так и к полным квадратным уравнениям. Однако неполные квадратные уравнения обычно по этому алгоритму не решают.

Математики - люди практичные, экономные, поэтому пользуются формулой:

. (2)

Итак, можно сделать вывод, что квадратные уравнения можно решать подробно, используя сформулированное выше правило; можно - записать сразу формулу (2) и с ее помощью делать необходимые выводы [1,98].

На третьем этапе рассматриваются приведенные квадратные уравнения, которые имеют вид х² +px+ q= 0 (3), где pи q - данные числа. Число p - коэффициент при х, а q - свободный член.

Дискриминант уравнения равен: D= p² - 4q. Приведенные квадратные уравнения получаются из полного квадратного уравнения следующим образом:

Где  и .

Рассматривают 3 случая:

1. D 0, тогда уравнение (3) имеет два корня, вычисляемые по формуле

.

(Приложение 1) (4)

2. D= 0, тогда уравнение (3) имеет единственный корень, или, как говорят, два совпадающих корня: 

3. D, имеющее тот же знак, что и D. При этом формулу корней приведенного квадратного уравнения (4) записывают так: 

Отсюда следует, что:

1) если  то уравнение (3) имеет два корня;

2) если  то уравнение имеет два совпадающих корня;

3) если  то уравнение не имеет корней.

Важным моментом в изучении квадратных уравнений является рассмотрение теоремы Виета, которая утверждает наличие зависимости между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения [23,17].

Теорема Виета. Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. (Приложение 2)

Иначе говоря, если x₁ и x₂ - корни уравнения х² +px+ q= 0, то

x₁ + x₂ = - p,

x₁ x₂ = q. (5)

Данные формулы называют формулами Виета в честь французского математика Ф. Виета (1540-1603), (Приложение 3) который ввел систему алгебраических символов, разработал основы элементарной алгебры. Он был одним из первых, кто числа стал обозначать буквами, что существенно развило теорию уравнений.

Например, приведенное уравнение х^{2 -} 7х +10 = 0 имеет корни 2 и 5. Сумма корней равна 7, а произведение равно 10. Видно, что сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Справедлива также теорема, обратная теореме Виета.

Теорема, обратная теореме Виета. Если для чисел x₁ , x_2, p, qсправедливы формулы (5), то x₁ и x₂ - корни уравнения х² + px+ q= 0 [2,49].

Теорема Виета и теорема, обратная ей, часто применяются при решении различных задач.

Например. Напишем приведенное квадратное уравнение, корнями которого являются числа 1 и - 3.

По формулам Виета

p= x₁ + x₂ = - 2, q= x₁ x₂ = - 3.

Следовательно, искомое уравнение имеет вид х² + 2х - 3 = 0.

Сложность освоения теоремы Виета связана с несколькими обстоятельствами. Прежде всего, требуется учитывать различие прямой и обратной теоремы. В прямой теореме Виета даны квадратное уравнение и его корни; в обратной - только два числа, а квадратное уравнение появляется в заключении теоремы. Учащиеся часто совершают ошибку, обосновывая свои рассуждения неверной ссылкой на прямую или обратную теорему Виета.

Например, при нахождении корней квадратного уравнения подбором ссылаться нужно на обратную теорему Виета, а не на прямую, как часто делают учащиеся. Для того чтобы распространить теоремы Виета на случай нулевого дискриминанта, приходится условиться, что в этом случае квадратное уравнение имеет два равных корня. Удобство такого соглашения проявляется при разложении квадратного трехчлена на множители

Таким образом, неполные и приведенные квадратные уравнения имеют разные алгоритмы решения, при изучении данной темы необходимо показать, что общая формула корней применима и для этих случаев. Обычно они изучаются перед выводом корней общего квадратного уравнения. В целом можно сказать, что освоение темы "Квадратные уравнения" поднимает учащихся на качественно новую ступень овладения содержанием школьной математики.