Методические указания к практическим работам по математике (1 курс)

Аннотация

Данные методические указания разработаны для выполнения практических занятий по дисциплине «Математика» для студентов специальностей 150412 Обработка металлов давлением, 151901 Технология машиностроения, 151031 Монтаж и техническая эксплуатация промышленного оборудования (по отраслям),151024 Техническая эксплуатация гидравлических машин, гидроприводов и гидропневмоавтоматики.

Методические указания содержат инструкции по выполнению 10 –ти

практических занятий предусмотренных рабочей программой дисциплины, выполнены в соответствии с государственными требованиями к уровню подготовки студентов. Каждая работа ориентирована на контроль знаний, развитие умений по изученной теме.

Методические указания разработаны для внутреннего пользования в учебном заведении.

Содержание

Введение

1. ПЗ 01 Показательная функция…………………………………………4

2. ПЗ 02 Логарифмическая функция …………………………………….6

3. ПЗ 03Тригонометрическая функция…………………………………..8

4. ПЗ 04 Предел функции…………………………………………… . . .10

5. ПЗ 05 Производная функции………………………………………….13

6. ПЗ 06 Приложения производной …………………………………….15

7. ПЗ 07 Интеграл ………………………………………………………..18

8. ПЗ 08 Приложения интеграла ……………………………………… 20

9. ПЗ 09 Площадь поверхности и объём геометрического тела………23

10. ПЗ 10Векторы и их координаты…………………………………… . 25

Литература … ……………………………………………………………26

Введение

Математика – самая древняя наука, она развивается вместе с человечеством. Она интенсивно проникает в другие науки. Это происходит благодаря дифференциации математики на ряд самостоятельных областей. Изучение математики позволит будущему специалисту сформировать необходимые компоненты мышления: кругозор, культуру, логику, которые ему понадобятся для успешной ориентации в будущей профессиональной деятельности. Важной составной частью повышения качества учебного процесса является совершенствование математического образования, обеспечивающего глубокое и прочное усвоение знаний и умений. Важнейшим видом учебной деятельности является выполнение математических упражнений. Этому важному моменту посвящена данная работа.

Практические занятия развивают математическое мышление, воспитывают познавательный интерес, вырабатывают умения, навыки и настойчивость в достижении цели. Практические занятия проводятся систематически согласно календарно-тематическому плану. Важным моментом является их проведение после прохождения теоретического материала для его усвоения и построения на этой базе дальнейшего изучения учебного материала.

При составлении комплекта практических работ были переработаны задания из учебных и справочных пособий, сборников задач и дидактических заданий по математике. Содержание охватывает все темы предусмотренные рабочей программой дисциплины. Комплект предназначен для проведения практических занятий по дисциплине «Математика» для всех специальностей первого курса Белебеевского машиностроительного техникума.

Практическая работа 01

Тема: Показательная функция.

Цель работы: Закрепить умение построения графика показательной функции, решения показательных уравнений и неравенств.

Вариант 1:

1. Постройте график функций и перечислите их свойства.

а)

б)

в)

1. Решите уравнения:

а)

б)

в)

г)

д)

3. Решите неравенства:

а)

б)

______________________________________________________________

1. Решите уравнение и неравенство:

а)

б) 3**=0.2

_______________________________________________________________

_______________________________________________________________

1. Решите уравнения:

а)

б)

Вариант 2:

1.Постройте график функций и перечислите их свойства.

а)

б)

в)

2.Решите уравнения:

а)

б)

в)

г)

д)

3. Решите неравенства:

а)

б)

_________________________________________________________________

4.Решите уравнение и неравенство:

а)

б) 8*=0.5

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

5.Решите уравнения:

а)

б)

Контрольные вопросы

1.Перечислите свойства степени с целым показателем.

2.Перечислите свойства показательной функции.

3.Имеет ли смысл запись

Практическая работа 02

Тема: Логарифмическая функция.

Цель работы: Закрепить уменияпостроения графика логарифмической функции, решения логарифмических уравнений и неравенств.

Вариант1

1. Пстройте график функций:

1. Вычислите:

1. Решить уравнения:

_____________________________________________________________

1. Решите неравенства:

а)

б)

_____________________________________________________________

5.Решите систему уравнений:

1. Решите систему уравнений:

Вариант 2

1. Постройте график функций:

а)

б)

в)

2. Вычислите:

а)

б)

в)

г)

1. Решите уравнения:

а) =0

б)

в)

г)

__________________________________________________________________

4.Решите неравенства:

а)

б)

__________________________________________________________________

5. Решите систему уравнений:

6. Решите систему уравнений:

Контрольные вопросы

1.Запишите основное логарифмическое тождество.

2.Дайте определение логарифма.

3.Запишите основные свойства логарифмов.

Практическая работа 03

Тема: Тригонометрические функции.

Цель работы: Закрепить умения работы с тригонометрическими функциями, решения тригонометрических уравнений и неравенств.

Вариант 1

1.Постройте график функций:

а)

б)

2.Вычислите:

а)

б)

в)

г)

д) ctg(-3.5

3. Исследуйте функцию на четность-нечетность:

а)

б)

4. Решите уравнения и неравенства:

а)

б)

в)

г)

5. Решите уравнения:

а)

б) +

6. Решите уравнения:

а)

б) =4

в)

Вариант 2

1.Постройте график функций:

а)

б)

2. Вычислите:

а) а)

б)

в)

г)

д) ctg(13,5

3. Исследуйте функцию на четность-нечетность:

а)

б)

4. Решите уравнения и неравенства:

а)

б)

в)

г)

5. Решите уравнения:

а)

б) +

6. Решите уравнения:

а)

б) =1

в)

Контрольные вопросы

1.Какой знак имеет выражение ?

2.Найдите область значений функции y=5

3.В какой четверти и ?

Практическая работа 04

Тема. Предел функции.

Цель работы: Отработать умения вычислять пределы.

Вариант 1

1. Вычислите предел:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10) ___________________________________________________

11)

12)

13)

14)

15) )

Вариант 2

1. Вычислите предел:

1. ^x

Контрольные вопросы

1.Перечислите основные методы нахождения предела функции в точке.

2.Сформулируйте правило нахождения предела функции на бесконечности.

3.Запишите формулы замечательных пределов.

Практическая работа 05

Тема:Производная функции.

Цель работы: Отработать умения вычисления производной.

Вариант 1

1Найти производную в точке:

а) f(x)=5 +3 в точке =2

б) f(x)=2+4в точке =-1

в) в точке =4

2Найдите производные функций

а) f(x)=

б) f(x)=

в) f(x)=

г) f(x)=

д) f(x)=

_________________________________________________________________

е)f(x)=

ж)f(x)=

з) f(x)=

и)f(x)=

к)f(x)=

__________________________________________________________________

3Вычислите значения производной функцииf(x)в данных точках

а) f(x)=, x=9

б) f(x)=, x=3

в)f(x)=, x=6

Вариант 2

1Найти производную в точке:

а) f(x)=2-4в точке =3

б) f(x)=3+5xв точке =-2

в) в точке =1

2Найдите производные функций

а) f(x)=

б) f(x)=

в) f(x)=

г) f(x)=

д) f(x)=

________________________________________________________________

е)f(x)=

ж)f(x)=

з) f(x)=

и)f(x)=

к)f(x)=

_________________________________________________________________

3Вычислите значения производной функцииf(x)в данных точках

а) f(x)=, x=16

б) f(x)=, x=2

в)f(x)=, x=3

Контрольные вопросы

1. Перечислите основные правила дифференцирования.

2. Как найти значение производной в точке

3. Запишите формулу для нахождения производной сложной функции.

Практическая работа 06

Тема: Приложения производной.

Цель работы: Развить навыки в нахождении производной и ее применении при решении прикладных задач.

Вариант 1:

1. Найдите производную функции:

а)

б)

в)

г)

д)+3

е)

ж)

з)

1. Составьте уравнение касательной к графику функции в точке:

а)

x=4

б)

x=1

1. Прямолинейное движение точки описывается законом S(t). Найдите ее скорость и ускорение в момент времени t.

а) S(t)=

t=2c

б) S(t)=+2

t=3c

1. Дана функция f(x). Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [a;b].

f(x)=

[-1;4]

1. Постройте график функции по результатам исследования:

1. Вычислите f `()если:

f(x)=2

1. Найдите все значения x, при которых выполняется неравенство:

f `(x)

f(x)=

1. * Решите задачу:

Площадь прямоугольного треугольника 8. Каким должны быть длины сторон треугольника, чтобы сумма площадей квадратов, построенных на его сторонах, была наименьшей?

Вариант 2:

1.Найдите производную функции:

а)

б)

в)

г)

д)-4

е)

ж)

з)

1. Составьте уравнение касательной к графику функции в точке:

а)

x=3

б)

x=2

1. Прямолинейное движение точки описывается законом S(t). Найдите ее скорость и ускорение в момент времени t.

а) S(t)=

t=3c

б) S(t)=-3

t=2c

1. Дана функция f(x). Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [a;b].

f(x)=

[-1;3]

1. Постройте график функции по результатам исследования:

1. Вычислите f `()если:

f(x)=1,5

1. Найдите все значения x, при которых выполняется неравенство:

f `(x)0

f(x)=6

1. * Решите задачу:

Площадь прямоугольного треугольника 6. Найдите наименьшее значение площади квадрата, построенного на гипотенузе треугольника.

Контрольные вопросы

1. В чем заключается геометрический смысл производной?

2. В чем заключается механический смысл производной?

3. Как найти экстремум функции?

Практическая работа 07

Тема: Интеграл

Цель работы: Закрепить определение неопределенного интеграла, свойства определенного неопределенного интеграла, методы вычисления интегралов.

Вариант 1

1Найти интегралы и проверить результаты дифференцированием.

а)

б)

в)

2Найти интегралы.

а)

б)

в)

3Найти интегралы метолом подстановки

а)

б)

в)

________________________________________________________________

4Вычислить определенные интегралы

а)

б)

в)

__________________________________________________________________

5Вычислить определенные интегралы методом подстановки

а)

б)

в)

Вариант 2

1Найти интегралы и проверить результаты дифференцированием.

а)

б)

в)

2Найти интегралы.

а)

б)

в)

3Найти интегралы метолом подстановки

а)

б)

в)

4Вычислить определенные интегралы

а)

б)

в)

5Вычислить определенные интегралы методом подстановки

а)

б)

в)

Контрольные вопросы

1. Что такое первообразная функции?

2. Запишите основные формулы интегрирования.

3. В чем заключается метод замены переменной?

Практическая работа 08

Тема:Приложения интеграла.

Цель работы: Развить навыки вычисления первообразной и интеграла.

Вариант1.

1. Докажите что F(x) является первообразной для f(x). По определению:

1. 

1. 

1. Вычислите интегралы:

1. 

2. 

3. 

4. 

1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

1. 

2. 

3. 

1. Для функции y=f(x) найдите какую-нибудь первообразную, значение которой в точке

1. Отрицательное число

1. 

1. Положительное число

1. 

1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции y=f(x), касательной к этому графику в точке и прямой x=0.

1. а)

3. б) y=

5. Фигура расположена в правой полуплоскости

7. Вариант 2.

   1. Докажите, что F(x) является первообразной для f(x). По определению:

8. а) F(x)=

9. f(x)=3

11. б) а) F(x)=

12. f(x)=6

13. 1. Вычислите интегралы:

15. б)

16. в)

17. г)

18. 1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

19. а)

20. б)

21. в) , y=x+7

22. 1. Для функции y=f(x) найдите какую-нибудь первообразную, значение которой в точке

23. а) отрицательное число

24. y=

27. б) положительное число

31. 1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции y=f(x), касательной к этому графику в точке и прямой x=0.

32. а)

34. б) y=

36. Фигура расположена в правой полуплоскости

37. Контрольные вопросы

1. Что называют определенным интегралом?

2. Запишите формулу Ньютона – Лейбница.

3. Что такое криволинейная трапеция?

1. Практическое занятие 09

2. Тема: Вычисление площади полной поверхности и объема геометрического тела.

3. Цель работы: Отработать умениявычисления площади полной поверхности и объема стереометрического тела.

4. Вариант 1

1. Основанием прямого параллелепипеда служит ромб, площадь которого равна 60. Площадь диагональных сечений параллелепипеда 72 и 60. Найти объем параллелепипеда.

1. Чугунный постамент имеет вид правильной четырехугольной усеченной пирамиды высотой 1.5 м. Стороны оснований 3м и 2м. Найти вес постамента.

1. Сколько шаров диаметром в 12мм можно отлить из 50кг свинца?

1. Равнобедренная трапеция вращается около оси, проходящей через вершину острого угла перпендикулярно основанию (ось вращения лежит в плоскости). Определить объем тела, если его поверхность равна 220П. Высота трапеции 3дм и периметр 22дм.

1. Через точку касания двух внешне касающихся шаров проведена плоскость так, что площади полученных сечений равны 144П и 81П. Разность между площадями поверхности этих шаров 700П. Найти радиусы шаров.

13. Вариант 2

1. Основанием прямого параллелепипеда служит параллелограмм, один из углов которого . Площадь основания равна . Площади боковых граней и . Найдите объем параллелограмма.

1. Найти объем усеченной пирамиды, если площади ее оснований , а высота соответствующей полной пирамиды 14см.

1. Какое число шариков диаметром в 3см получится, если перелить в них свинцовый шар диаметром в 30см?

1. Параллелограмм вращается около оси, проходящей через вершину острого угла перпендикулярно большей стороне (ось вращения в плоскости). Определите объем тела вращения, если его поверхность равна , большая диагональ параллелограмма 39см, а его периметр 90см.

1. Два шара внутренне касаются в точке A. АВ- диаметр большего шара, ВС- касательная к меньшему. Определить радиусы шаров, если ВС=20, а разность поверхностей шаров равна .

4. Контрольные вопросы

1. Сформулируйте аксиомы стереометрии.

2. Какие правильные многогранники вы знаете?

3. Дайте определение понятию «тело вращения

14. Практическое занятие10

15. Тема: Векторы и их координаты.

16. Цель работы: Отработать уменияработать с векторами в координатной форме.

17. Задание к работе

18. Даны координаты вершин треугольника АВС. Составить уравнения сторон треугольника, медиан, высот. Найти длину любой высоты, периметр и площадь треугольника. Сделайте чертеж.

20. Таблица вариантов:

21. Номер варианта	Координаты точки А	Координаты точки В	Координаты точки С
    1
    2
    3
    4
    5
    6
    7
    8
    9
    10

24. Контрольные вопросы

25. 1. Запишите формулу для нахождения координат вектора.

26. 2. Запишите формулу для нахождения длины вектора.

27. 3. Запишите формулу для нахождения угла между векторами в координатной форме.

39. ЛИТЕРАТУРА

1. Богомолов Н.В. Математика.–М., Дрофа, 2006

2. Богомолов Н.В. Сборник задач по математике. - М., Дрофа, 2007

3. Колмогоров А.Н. Алгебра и начало анализа. –М., Просвещение, 1990

4. Алимов Ш.А. и др. Алгебра и начала анализа. 10 (11) кл. – М., 2000.

5. Атанасян Л.С. и др. Геометрия. 10 (11) кл. – М., 2000.

6. Афанасьева О.Н., Бродский Я.С. Математика для техникумов, М., Высшая школа, 1997.

7. Валуцэ И.И., Дилигул Т.Д. Математика для техникумов, М., Высшая школа, 1987.

33