Методическая разработка "Решение задач на проценты"
Методическая разработка "Решение задач на проценты"
Проценты – одно из математических понятий, которое часто встречается в повседневной жизни. В настоящее время понимание процентов и умение производить процентные расчеты, необходимы каждому человеку: прикладное значение этой темы очень велико и затрагивает финансовую, демографическую, экологическую, экономическую, социологическую и другие стороны нашей жизни. Данная тема сейчас весьма актуальна, так как понятие «кредит» (будь то ипотека, или авто-кредит) прочно вошло в жизнь современного человека. Люди берут банковские кредиты и, как правило, не могут правильно рассчитать процентные выплаты. Любой человек должен уметь свободно решать задачи, предлагаемые самой жизнью, уметь просчитать различные предложения магазинов, кредитных отделов и различных банков и выбрать наиболее выгодные.
В данной разработке отражена методика изучения процентов в математике, методика решения задач связных с такими понятиями как «концентрация» и «процентное содержание».
Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?
Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.
Быстро и объективно проверять знания учащихся.
Сделать изучение нового материала максимально понятным.
Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.
Просмотр содержимого документа
«Методическая разработка "Решение задач на проценты"»
Методическая разработка
по теме: «Решение задач на проценты»
Составила преподаватель
математики и информатики
Усова И.А.
Введение
Проценты в мире появились из практической необходимости, при решение определенных задач, в основном это экономические потребности. И поэтому надо отметить важность процентов в нашей жизни. Так как проценты проникли практически, во все отросли знаний. Мы не однократно видим, что проценты применяют даже там, где проценты на первый взгляд не применимы так, например человек на вопрос как у него здоровье? Может ответить, что здоров процентов на семьдесят, отсюда видно, что проценты можно применять при измерении не только точных величин, как килограммы, рубли и.т.д. Так как проценты являются универсальной величиной измерения разных величин и объектов. Проценты уже появились в древности, когда появилось понятие долга, так как нужны были для выплаты по закладным и займам и т. д. И по этому в математике стала, развивается новая область как проценты. Первая потребность процентов была экономическая, но после проценты стали, широко применятся в различных отраслях и науках ( математика, химия и т д. ) и в наше время проценты приобрели широкое распространение.
В данной разработке отражена методика изучения процентов в математике, методика решения задач связных с такими понятиями как «концентрация» и «процентное содержание».
Первичное знакомство с процентами Изначально, в школе усваиваются некоторые «эквиваленты»: 25 % величины – это 1/4 этой величины; половина некоторой величины – это ее 50 %; 30 % величины втрое больше, чем ее 10 % и т.п. Вы можете сравнивать доли величины, заданные разными способами: 1/3 больше, чем 25 %; 7/12 некоторой величины больше 50 % этой величины; 23 % меньше четверти; вся величина - это 100 %. И т. д. Пример: Заштрихуйте на рисунки указную часть круга: 25% 50% 75% 100% Пример: Весной цена товара была повышена на 10 %, а осенью – еще на 5 %. Сколько стал стоить товар, если его стоимость была 3000 руб.? Решение: Для начала найдем стоимость после первого повышения 3000 / 100 % или 1% = 30 отсюда 10 % = 300 рублей. 3000 + 300 = 3300 рублей. Найдем стоимость после второго повышения. 3300 / 100 % = 33 или 1 % = 33 рубля отсюда 5 % = 165 рублей 3300 + 165 = 3465 рублей. Ответ: 3465 рублей.
Методика введения сложных процентов
Один процент – это одна сотая доля. Здесь важно обратить внимание на математическую записьпроцентов " % ", и главное объяснить, что целая часть равна "100%" что, "100%" и есть целостность числа.
Также надо обязательно обратить внимание на свойства:
1)1% = А/100.
2)1%* 100 = А
Найти В процентов.
1% = А/100
В% = В*А/100
В*1% = В%
Пример найти 7% от числа 17.
7% от 17 будет 7*17/100 = 1.19 или одна целая девятнадцать
сотых это семь процентов от семнадцати.
Задача 1: При плановом задании 60 автомобилей в день завод выпустил 66 автомобилей. На сколько процентов завод выполнил план?
Задача 2. Бронза является сплавом олова и меди. Сколько процентов сплава составляет медь в куске бронзы, состоящем из 6 кг олова и 34 кг меди? Решение:
1) 6+ 34 =40 (кг) масса всего сплава.
2) (34 * 100%)/40 = 85% сплава составляет медь.
Ответ. 85%.
Задача 3: В библиотеке имеются книги на английскомги на английскомнемецком языках. Английские книги составляют 36 % всех книг, французские - 75 % английских книг, а остальные 185 книг – немецкие. Сколько всего книг в библиотеке?
Решение:
75 % = 3/4 значит 36 % * 3/4 = 27 % французские, книги от всего количества.
36 % + 27 % = 63 % это английские и французские книги вместе.
100 % – 63 % = 37 % всего немецких книг.
185 / 37 % = 5 книг это 1 %.
Всего книг в библиотеки 100 % * 5 = 500 книг.
Ответ: 500 книг.
Задача 4: За килограмм одного продукта и 10 кг другого заплачено 20 рублей. Если при сезоном изменении цен первый продукт подорожал на 15 %, а второй подешевел на 25 % , то за тоже количество этих продуктов будет заплачено 18,2 рублей. Сколько стоит 1 кг каждого продукта?
Решение:
Составим уравнение.
1 * Х + 10 * Y = 20
1 * X( 1 + 0,15 ) + 10 * Y ( 1 – 0,25 ) = 18,2
решив это систему уравнений получим .
Y = 1,2 X = 8 рублей
Ответ: 8 руб. и 1,2 руб.
Задача 5: Пшеницы и ржи колхоз собрал вместе 500 тонн. После того как была повышена урожайность пшеницы не 30 % и ржи на 20 %, колхоз собрал 630 тонн пшеницы и ржи. Сколько тон пшеницы и ржи собрал колхоз после повышения урожайности?
Решение:
Составим уравнение.
Х + Y = 500
X( 1 + 0,3 ) + Y ( 1 + 0,2 ) = 630
решив это систему уравнений получим .
Y = 240 X = 390 тон.
Ответ: 390 тон пшеницы, 240 тон ржи.
Задача 6: Вклад, положенный в сбербанк два года назад, достиг суммы, равной 1312,5 рублей. Каков был первоначальный вклад при 25 % годовых?
Решение:
Для решение этой задачи нужно понимать, что результат 1312,5 это сумма за первый год и плюс 25 % или 125 % или 100 % = 1050 рублей.
Тоже самое делаем суммой 1050, так как вклад был на два года 125% = 1050 рублей или 100 % = 840 рублей.
Можно решить вторым способом используя формулу для сложных процентов
1312,5 = Х * ( 1+ 0,25)2 Х = 840 рублей.
Ответ: 840 рублей.
Примеры задач на понятие, « концентрация » и « процентное содержание » которые могут встретиться на вступительных экзаменах.
Для решения задач такого уровня нужно определить некоторые переменные, для того чтобы у нас не возникли затруднения при использования формул.
Во-первых, все сплавы и смеси однородны, если объем смеси равен V0, а объем веществ содержащихся в нем равен V1 и V2 то тогда;
V1 / V0 – процентное содержания вещества в смеси,
V2 / V0 – процентное содержания второго вещества в смеси.
Во-вторых, d1 и d2 удельный вес компонентов в смеси.
В-третьих, вес смеси обозначим q и будем находить его по формуле
q = V1 * d1 + V2 * d2
Задача 1: В пустой резервуар по двум трубам одновременно начинают поступать чистая вода и раствор кислоты постоянной концентрации. После наполнения резервуара в нем получился 5 %-ный раствор кислоты. Если бы в тот момент, когда резервуар был наполнен до половины, подачу воды прекратили, то после наполнения резервуара получили бы 10 %-ный раствор кислоты. Определить, какая труба подает жидкость быстрее и во сколько раз?
Решение: Здесь необходимо использовать такую формулу.
V1 * d1 + V2 * d2
= d3
V1 + V2
Так как наполненный на половину резервуар имеет концентрацию 5 %. А, доливая вторую половину раствора кислоты, получим концентрацию 10 %. Подставим эти значения.
V1 * 0,05 + V1 * d2
= 0,1
V1 + V1
Объемы сокращаются и концентрация раствора кислоты равна 15 %, это значит, вода поступает быстрее. Так как смесь имеет концентрацию 5 %, а смесь половины резервуара с этой концентрацией с растворам кислоты равна 10 %, то вода поступает в два раза быстрее.
Ответ: Первая труба подает жидкости в два раза быстрее.
Задача 2: Смесь равных объемов двух веществ имеет массу 80/13 г. Масса второго вещества в смеси равна массе 52/7 см3 первого вещества, а плотность второго вещества равна 1 г/см3. найдите объем каждого вещества в смеси.
Решение: Здесь необходимо использовать такую формулу.
в этом квадратном уравнении существует один корень, который удовлетворяет условию это V2 = V1 = 4см3.
Ответ: Объем каждого из веществ равен 4см3.
Задача 3: В сосуде емкостью 6л. налито 4 л. 70%-ного раствора серной кислоты. Во второй сосуд той же емкостью налито 3 л. 90%-ного раствора серной кислоты. Сколько литров раствора нужно перелить из второго сосуда в первый, чтобы в нем получился r%-ный раствор серной кислоты? Найти все r, при которых задача имеет решение.
Решение: Здесь необходимо использовать такую формулу.
X * P/100 + Y * q/100
= r/100
X + Y
или
X * P+ Y * q
= r ( * )
X + Y
теперь выражаем Y
Y = ( P * X – X * r )/( r –q ) или ( X * r – P * X)/( q – r )
Подставим значение
Y = ( 4r – 280 )/( 90 – r )
Так как сосуд емкостью шесть литров то долить в него можно только два литра 90% кислоты. Подставим эти значения в формулу ( * ) получим. 70 ≤ r ≤ 230/3.
Ответ: ( 4r – 280 )/( 90 – r ), 70 ≤ r ≤ 230/3.
Задача 4: Из двух жидкостей, плотности которых равны 2 г/см3 и 3 г/см3 соответственно, составлена смесь. Сколько граммов каждой жидкости взято и какова плотность смеси, если 4 см3 смеси весят в десять раз меньше, чем вся первая жидкость, а 50 см3 смеси весят столько же, сколько вся вторая жидкость, входящая в ту смесь?
Решение: Здесь необходимо использовать такую формулу.
q = V1 * d1 + V2 * d2
где q вес полученной смеси или q = V3 * d3нам известно что
Задача 5: Имеются два раствора одной той же соли в воде. Для получения смеси, содержащей 10 г. соли и 90 г. воды, берут первого раствора вдвое больше по массе, чем второго раствора. Через неделю из каждого килограмма первого и второго раствора испарилась по 200 г. воды и для получения такой же смеси, как раньше, требуется первого раствора уже вчетверо больше по массе, чем второго раствора. Сколько граммов соли содержалось первоначально в 100 г. каждого раствора?
Решение: Воспользуемся формулой
V1* d1+V2*d2
= d3
V1 +V2
Известно, что первой смеси нужно в два раза больше значит можно записать.
2*V2* d1+V2*d2
= d3
2 *V2 +V2
через неделю с литра испарится по 200 г. воды значит, концентрация в растворах возрастет в 5/4 и для того же раствора нужно четыре части первого раствора и одна второго раствора.
4*V2*5/4*d1+V2*5/4*d2
= d3
4 * V2 +V2
можно записать систему:
2d1+ d2=3 d3
известно d3=0,1
20d1+ 5d2=20d3
2d1+ d2=0,3
20d1+ 5d2=2
отсюда можно выразить
d2= 0,2 а d1=0,05
Ответ: 5 г. 20 г.
Задача 6: Три одинаковых сосуда наполнены спиртом. Из второго и третьего сосудов отливают по А л. ( строго больше половины ) спирта и доливают водой. Затем из третьего сосуда отливают А л. смеси и доливают его водой. После того объем спирта в первом и втором сосудах, вместе взятых, в 6/5 раза больше, чем объем спирта в первом и третьем сосудах, вместе взятых. Какую часть объема сосуда составляет величина А ?
Решение: Нам известна формула.
Cn = ( p/100 ) * ( 1 – A/V0 )n
Где Cnконцентрация после N переливаний, а начальная концентрация спирта ( p/100 ) равна 1.
По условию можно составить выражение.
( 1 + ( 1 – A/V0 )) /( 1 + ( 1 – A/V0 )2) = 6/5
или
6(A/V0)2 – 7(A/V0) + 2 = 0
корни
A/V0 = 1/2и A/V0 = 2/3
По условию задачи удовлетворяет только 2/3.
Ответ: A/V0 = 2/3.
Задача 7: Имеются три смеси, составленные из трех элементов А, В и С. В первую смесь входят только элементы А и В в весовом отношении 3:5, во вторую смесь входят только элементы В и С в весовом отношении 1:2, в третью смесь входят только элементы А и С в весовом отношении 2:3. В каком отношении нужно взять эти смеси, чтобы во вновь полученной смеси элементы А, В и С содержались в весовом отношении 3:5:2?
Решение: при решение этой задачи нужно подойти как к системе уравнений .
X * 3 * A + Z * 5 * A = 3
Y * B + X * 5 * B = 5
Z * 2 * C + 3 * Z * C = 2
Решаем систему из трех неизвестных только надо понимать, что все части равны по объему.
получаем X = 25, Y = 20, Z = 6.
Ответ: 25:20:6.
Задача 8: Выработка продукции за первый год работы предприятия возросла на Р %, а за следующий год по сравнению с первоначальной она выросла на 10 % больше, чем за первый год. Определите, на сколько процентов увеличилась выработка за первый год, если известно, что за два года она увеличилась в общей сложности на 24 %.
Решение: Здесь необходимо использовать такую формулу.
так как по условию у нас тольк4о два года то это значит N = 2
q/100 =√(( 1 + Р1/100 ) * ( 1 + Р2/100 )) – 1
где q = 24 %, Р2= 10 %.
Нужно найти Р1выразим его
Р1 = (( 1 + 0,24 )2 – 1,1 )/1,1 ≈ 0,3978
Ответ:Выработка за первый год увеличилась на 39,78 %.
Задача 9: В оленеводческом совхозе стадо увеличивается в результате естественного прироста и приобретения новых олений. В начале первого года стадо составляло 3000 голов, в конце года совхоз купил 700 голов. В конце второго года стадо составляло 4400 голов. Определите процент естественного прироста.
Решение: Здесь необходимо использовать такую формулу.
в этом квадратном уравнении существует один корень, который удовлетворяет условию это Р = 10.
Ответ:Процент естественного прироста равен 10 %.
Задача 10: В течение года завод дважды увеличивал выпуск продукции на одно и то же число процентов. Найти это число, если известно, что в начале года завод ежемесячно выпускал 600 изделий, а в конце стал выпускать ежемесячно 726 изделий.
Решение: Здесь необходимо использовать такую формулу.
Аn= А0* ( 1 + Р/100)n.
Где Аn = 726, А0 =600 , n = 2
Нам нужно найти Р для этого выразим,
Р = ( 726/600 ) – 1 или Р ( 1,21 ) – 1 или Р = 1,1 – 1
Р = 0,1 в процентах Р = 10 %.
Ответ: Процент увеличения выпуска равен 10 %.
Методика решения задач, связные с понятиями «концентрация » и « процентноесодержания »
Рассматривая задачи на проценты нужно обратить внимание на задачи где нужно составлять уравнения, остановимся, прежде всего, на задачах, решение которых связано с использованием понятий «концентрация» и «процентное содержания». Обычно в условиях таких задач речь идет о составлений сплавов, растворов или смесей двух или нескольких веществ.
Основное допущения, которые принимаются в задачах подобного рода, состоят в следующем:
A) все получающиеся сплавы или смеси однородные;
B) при слиянии двух растворов, имеющих объемы V1 и V2 , получается смесь, объем которой равен V1 + V2, т.е.
V0 = V1 + V2.
Заметим, что такое допущение не представляет собой закон физики и не всегда выполняется в действительности. На самом деле при слиянии двух растворов не объем, а масса или вес смеси равняется сумме масс или весов составляющих ее компонент.
Рассмотрим для определенности смесь трех компонент А, В и С. объем смеси Vo складывается из объемов чистых компонент:
V0 = VA+ VB+ VC ,
а три отношения:
CA = VA/V0 , CB = VB/V0 , CC = VC/V0.
показывают, какую долю полного объема смеси составляют объемы отдельных компонент:
VA = CA * V0 , VB = CB * V0 , VC = CC * V0.
Отношение объема чистой компоненты ( VA ) а растворе ко всему объему смеси ( V0 ).
CA = VA/V0 = VA/( VA + VB+ VC )(*)
называется объемной концентрацией этой компоненты.
Концентрация – это безразмерные величины; сумма концентрации всех компонент, составляющих смесь очевидно, равна единицы:
CA+ CB + CC = 1.
Поэтому, для того чтобы структура раствора, состоящего из n компонент, была определена, достаточно
Vo
СМЕСЬ А : В : С
VA = CA * V0
VC = CC * V0
VB = CB * V0
Рис. 1.
знать концентрацию ( n – 1 ) – й компоненты. Если известны концентрации CA, CB и CC компоненты, составляющих данную смесь, то ее объем можно разделить на объемы отдельных компонент ( рис. 1 ):
V0 =CA * V0 + CB * V0 + CC * V0 .
( 1 )
Объемным процентным содержанием компоненты А называется величина
PA = CA * 100% ,
т.е. концентрация этого вещества, выраженная в процентах.
Если известно процентное содержание вещества А, то его концентрация находится по формуле
CA = PA/ 100 .
Так, например, если процентное содержание составляет 70%, то соответствующая концентрация равна 0,7. Процентному содержанию 10% соответствует концентрация 0,1 и т.д.
Таким же способом определяются и весовые (массовые) концентрация и процентное содержание, а именно как отношение веса (массы) чистого вещества А в сплаве к весу (массе) всего сплава. О какой концентрации, объемной или весовой, идет речь в конкретной задаче, всегда ясно из ее условия.
Встречаются сравнительно немного задач, в которых приходится пересчитывать объемную концентрацию на весовую или наоборот. Для того чтобы это сделать, необходимо знать удельные веса компонент, составляющих раствор или сплав. Рассмотрим для примера двухкомпонентную смесь с объемными концентрациями компонент C1 и С2 (С1 + С2 = 1 ) и удельными весами компонент d1 и d2. Вес смеси может быть найден по формуле
q = V1 * d1 + V2 * d2 ,
в которой V1 и V2 – объемы составляющих смесь компонент. Весовые концентрации компонент находятся из равенства
которое определяют связь этих величин с объемными концентрациями.
Как правило, в условиях задач рассматриваемого типа встречаются один и тот же повторяющийся элемент: из двух или нескольких смесей, содержащих компоненты A1, A2, A3, ..., An, составляется новая смесь путем перемешивания исходных смесей, взятых в определенной пропорции. При этом требуется найти, в каком отношении компоненты A1, A2, A3, ..., An, войдут в получившуюся смесь.
Для решения этой задачи удобно ввести в рассмотрение объемное или весовое количество каждой смеси, а так же концентрации составляющих их компонент A1, A2, A3, ..., An. С помощью концентрации нужно « расщепить » каждую смесь на отдельные компоненты, как это сделано в формуле ( 1 ), а затем указанным в условии задачи способом составить новую смесь. При этом легко подсчитать, какое количество каждой компоненты входит в получившуюся смесь, а также полное количество этой смеси. После этого определяются концентрации компонент A1, A2, A3, ..., An, в новой смеси.
Задача 1: Имеются два куска сплава меди и цинка с процентным содержанием меди р % и q % соответственно. В каком отношении нужно взять эти сплавы, чтобы, переплавив взятые куски вмести, получить сплав, содержащий r % меди?
Cu + Zn
P%
Cu + Zn
q%
Y кг
Х кг
X * P/100
Cu
X * (1 - P/100)
Zn
Y * P/100
Cu
Y * (1 - P/100)
Zn
X * P/100 + Y* q/100
Cu
X*(1-P/100) + Y*(1-q/100)
Zn
Рис. 2.
Решение. Составим иллюстративный рисунок к этой задаче ( рис. 2 ). Концентрация меди в первом сплаве равна Р/100, во втором q/100. Если первого сплава взять Х кг, a второго Y кг, то с помощью концентраций ( ясно, что речь идет о весовых концентрациях ) можно « расщепить » эти количества на отдельные составляющие:
X = X* Р/100 (кг меди) + Х * ( 1 - Р/100) (кг цинка)
и
У = У * q/100 ( кг меди ) + У * ( 1- q/100) (кг цинка).
Количество меди в получившемся сплаве равно
X* Р/100 + У * q/100(кг меди),
а масса этого сплава составит X + У кг. Поэтому новая концентрация меди в сплаве, согласно определению, ровна.
X * Р/100 + У * q/100
Х+У
По условию задачи эта концентрация должна равняться
X * Р/100+ У* q/100
= r/100
Х+У
или
Р*Х+q*Y
= r
Х+У
Решим полученное уравнение. Прежде всего заметим, что уравнение содержит два неизвестных Х и Y. Нетрудно понять, что оба неизвестных однозначно не находится. Концентрация получившегося сплава определяется не массой взятых кусков, а отношением этих масс. Поэтому в задаче и требуется определить не сами величины Х и Y, а только их отношения.
Отметим попутно, что выражение вида
A*X+B*Y
F(X,Y) = ——————————
C*X + d*Y
называемое дробно-линейной функцией, часто встречаются в задачах на составление уравнений. В числители и знаменателе этой дроби стоят линейно однородные выражения, зависящие от Х и Y. Если не рассматривать случай Y =0, функция r( х, у ) зависят фактически только от одной переменой, а именно от отношения Х/Y:
А*(Х/Y)+В
F(X,Y)= —————————— =φ(X/Y)
С*(Х/Y)+d
При этом уравнение F ( X ,Y ) = С позволяет найти это отношение.
Запишем уравнение задачи в следующем виде:
Х*(р – r )= У*(r –q).
Рассмотрим возможные случаи:
1) р = г = q.
В этом случае концентрации всех сплавов одинаковые и уравнение показывает, что имеется бесчисленное множество решений. Можно взять сколько угодно первого сплава и сколько угодно второго сплава.
2) р = г ≠ q.
В этом случае уравнение приобретает вид
X * 0 = Y * ( r – q ),
Откуда находим: Х – любое, Y = 0. Физический смысл этого решения понятен: если концентрация сплава, который требуется получить, совпадает с концентрацией первого сплава, но не равна концентрации второго сплава, то первого сплава можно взять сколько угодно, а второго сплава не брать вовсе.
3) р ≠ г = q.
Получаем уравнение
X *( p – r )= Y * 0,откуда находим: Y – любое, X = 0.
4) p≠ r,p≠ q,q≠ r.
В этом случае можно написать
Х = Y * ( r – q )/(р – r ).
Поскольку Y ≠ 0, то
Х/Y = ( r – q )/( p – r ).
Это значение будет давать решение задачи, если выполняется неравенство
( r – q )/( p – r )0,
которое, как нетрудно показать, имеет место, если значение r заключено между значениями р и q. Таким образом, если p≠ q, то можно получить сплав с любым процентным содержанием меди между р и q.
Несмотря на то, что этот пример весьма простой, он достаточно хорошо иллюстрирует основной метод решения задач, связанных со смеся смесями.
Задача 2: В каждом из двух сосудов находится по V0 л. кислоты одинаковой концентрации. Из первого сосуда отлил долили А л. раствора и долили А л. воды. Потом эту процедуру повторили еще раз. Из второго сосуда отлили 2А л. раствора и добавили 2А л. воды. Потом эту процедуру повторили еще раз. Известно, что концентрация кислоты в первом сосуде оказалось в 25/16 раз больше, чем концентрация кислоты во втором сосуде. Какую часть от объема сосуда составляет А л?
Решение. Используя полуученые выше результаты, имеем
Из этого уравнения находим отношение A/V0. Извлекая из обеих частей уравнения арифметический корень, получаем
[ 1 – A/Vo ] = ( 5/4 ) * [ 1 – 2 *A/Vo ].
ПосколькуA/Vo и 2 * A/Vo ,то
1 – A/Vo=(5/4)*( l – 2 *A/Vo ).
Отсюда находим решение задачи:
A/Vo=1/6.
Замечание:При извлечении арифметического корня из обеих частей уравнения используется формула
√Х = [X].
Приведем обобщение формулы ( 2 ) на случай, когда каждый раз в сосуд доливается не вода, а раствор той же соли с постоянной концентрацией q/100. Эта формула имеет вид
Для доказательства этой формулы обозначим концентрацию раствора соли, который содержится в сосуде после n переливаний, через Сn. Тогда после очередной ( n + 1) -ной процедуру, которая состоит в том, что выливают А л. раствора с концентрацией Cn и доливают А л. q% -ного раствора, концентрация соли становится равной Сn + 1:
При сложение правых частей рассматриваемых равенств использовалась формула для суммы членов геометрической прогрессии.
Подставляя вместо Со ее значение Р/100, получим формулу ( 3 ). Заметим, что при q = 0 эта формула переходит в ранее полученную формулу ( 2 ).
Формула ( 2 ) тесно связана с известным в теории процентов правилом начисления « сложных процентов ».
Мы говорим, что имеем дело со « сложных процентов », в том случае, когда некоторая величина подвержена поэтапному изменению. При этом каждый раз ее изменения составляет определенное число процентов от значение, которое имела эта величина на предыдущем этапе.
Рассмотрим сначала случай, когда в конце каждого этапа величина, изменяется на одно и то же постоянное количество – Р%.
Некоторая величина А, исходное значение которой равно А0, в конце первого этапа будет равна
Здесь множитель 1 + Р/100 показывает, во сколько раз величина А увеличилась за один этап. В предыдущих задачах о концентрациях эту роль играл множить 1 – A/Vo.
В конце третьего этапа
А3= А2 + ( Р/100 ) * А2 = А0* ( 1 + Р/100)3.
и т. д.
Нетрудно понять, что в конце n-го этапа значения величины А определяется формулой
Аn = А0* ( 1 + Р/100)n.
( 4 )
Эта формула показывает, что величина А растет ( или убывает, если р А0, а знаменателем прогрессии служит величина
1 + Р/100.
Формула ( 4 ) является исходной формулой при решении многих задач на проценты.
Решение некоторых задач на сложные проценты
Задача 1:У Алисы было 2000 рублей, а ей нужно 2500 рублей. Она положила их в банк по 3 % годовых, сколько ей нужно ждать, чтобы у ней получилась нужная сумма.
Решение:
Воспользуемся формулой для сложных процентов
Аn = А0* ( 1 + Р/100)n
Подставим значения
2500 = 2000 *( 1 + 3/100 )n
выразим n ( количество лет )
n = log1,03 1,25 ≈ 8 ( ответ только в натуральных числах )
Ответ: 8 лет.
Задача 2: Прирост продукции на заводе по сравнению с предыдущим годом за первый год составляет 5 %, а за второй по сравнению с первым – 3 %. Каким оказался процент прироста продукции за три года, если процент прироста продукции за третий год по сравнению со вторым был равен 2 %?
Решение:
В конце первого года продукции выпускалось 105%, в конце второго года процент прироста стал равен 105 % + 105 % * 0,03 = 108,15 % в конце третьего года стал равен 108,15 % + 108,15 % * 0,02 = 110,313 %. Отсюда следует, что процент прироста за три года равен 10,313 %.
Ответ: 10,313 %
Задача 3: В двух банках в конце года на каждый счет начисляется прибыль: в первом банке – 50 % к текущей сумме на счете, во втором – 75 % к текущей сумме на счете. Бил и Боб в начале года часть имеющихся у них денег положили в первый банк, а остальные деньги – во второй банк, с таким расчетом, чтобы через два года суммарное количество денег на обоих счетах утроилось. Какую долю денег они положил в первый банк?
А0 = 1/12 А1 или А1 = 12 * А0 подставим в А1 + А0 = Х
12 * А0 + А0 = Х или 13 * А0 = Х или А0 = 1/13 * Х
отсюда следует, что в первый банк нужно положить 1/13 часть суммы.
Ответ: 1/13.
Задача 4: Объем конуса увеличился на 11,91 % , а его высота увеличилась на 24 %. На сколько процентов уменьшился радиус основания конуса?
Решение:
Объем конуса равен V = 1/3 * π *R2 *h
Подставим наши значения
V*( 1 + 0,1191 ) = 1/3 * ( R * ( 1 – X ))2 * h * ( 1 + 0,24 )
или
( 1 + 0,1191 ) = (1 – X)2 * ( 1 + 0,24 )
или
(1 – X)2 = ( 1 + 0,1191 )/( 1 + 0,24 )
(1 – X)2 = 0,9025
(1 – X) = 0,95
Х = 1 – 0,95
Х = 0,05
Х = 5 %
Ответ: R увеличился на 5 %.
Задача 5: Высота прямоугольного цилиндра увеличилась на 25 %, а объем цилиндра уменьшилась на 20 %. На сколько процентов уменьшился радиус цилиндра?
Решение:
Объем цилиндра V = π * R2 * h . Так как высота увеличилась на 25 % или на 1/4 и стала равна 5/4*h значит, радиус должен уменьшится на 1/5 и стать 4/5*R . А так как R в квадрате то √4/5*R . Но также и объем уменьшился на 20 % или на 1/5 и стал 4/5*V значит радиус должен уменьшится на 1/5, то есть на √4/5*R . Так как уменьшение произошло дважды на одно и тоже число √4/5*R или в результате на 4/5* R . То радиус уменьшился на 1/4 или на 25 %.
Ответ: R уменьшился на 25 %.
Задача 6: Длина двух противоположных сторон правильного прямоугольного параллелепипеда уменьшилась на 5 % , а двух других увеличилась на 10 %. На сколько процентов увеличился объем параллелепипеда, если его высоту увеличили на 4 %.
Решение:
Объем прямоугольного параллелепипеда равен V = a3 по условию длина двух противоположных сторон правильного прямоугольного параллелепипеда уменьшилась на 5 % или на 1/20, а двух других увеличилась на 10 % или на 1/10 также известно, что высоту увеличили на 4 % или на 1/25. Теперь запишем это все формулой.
Объем увеличится в 1,0868 или на 0,0868 или на 8,68 %
Ответ: Объем увеличится на 8,68 %.
Задача 7: В коробки было 25 % белых кубиков, и 75 % черных. В коробку добавили 10 черных кубиков, соотношение белых и черных стало 20 % к 80 %, сколько было черных кубиков в коробке в начале?
Решение:
Первоначально в коробки было 25 % белых и 75 % черных кубиков, и соотношение было 1/3, в коробку положили 10 черных кубиков, и в коробки стало 20 % белых и 80 % черных кубиков, и соотношение стало 1/4. От сюда следует пусть Х это белые кубики, а Y черные.
х/у = 1/3
или
х/( у + 10 ) = 1/4
от сюда следует
у = 3х
и
у + 10 = 4х
подставим
3х + 10 = 4х или 10 = х или у = 30.
Ответ: 30 черных кубиков было в начале.
Задача 8: Задуманы два числа, одно из которых на 18 больше другого. Известно, что 25 % одного из этих чисел равно 35 % другого числа. Найдите эти числа.
Решение:
Пусть А это большее число, а В меньшее. Тогда справедливо равенство А = В + 18 . Известно, что 25 % = 0,25 , а 35 % = 0,35. Из условия следует
А * 0,25 = В * 0,35
А = В +18
( В + 18 ) * 0,25 = В * 0,35
В * 0,1 = 4,5
В = 45
А = 63
Ответ: А = 63, В = 45.
Задача 9: Из сорока тон руды выплавляют двадцать тон металла, содержащего 6 % примесей. Каков процент примесей в руде?
Решение:
Сначала нужно найти, сколько чистого метала,
20/100 % = 0,2 тонны это один процент
100 % – 6 % = 94 % чистого металла в процентах
94 % * 0,2 = 18,8 тон чистого металла
40 – 18,8 = 21,2 примеси в тоннах
( 21,2/40 ) * 100 % = 53 % примеси в процентах
Ответ: 53 %.
Задача 10: Имеется три слитка. Первый слиток имеет массу 5 кг, второй 3 кг, и каждый из этих двух слитков содержит 30 % меди. Если первый слиток сплавить с третьим, то получится слиток, содержащий 56 % меди, а если второй слиток сплавить с третьим, то получится слиток, содержащий 60 % меди. Найти массу третьего слитка и процентное содержание меди в нем.
Решение:
Нам известна формула.
Р*Х+q*Y
= r
Х +У
Подставим значения и получим два уравнения:
5 * 0,3 + Y*q = 5 * 0,56 + Y*0,56
3 * 0,3 + Y*q = 3 * 0,6 + Y*0,6
если от второго отнимем первое, то получим:
Y*0,04=0,4
Y=10кг это вес третьего слитка.
Теперь возьмем формулу для нахождения концентрации.
V1* d1+V2*d2
= d3
V1 +V2
Подставим наши значения:
3*0,3+ 10 *d2
= 0,6
3 + 10
выразим d2
0,9 + 10*d2 = 1,8 + 6или d2= 0,69
d2=69% концентрация меди в третьем слитке.
Ответ : 10 кг; 69 %.
Задача 11:
Имеются два раствора серной кислоты в воде: первый – 40 %, второй – 60 %. Эти два раствора смешали, после чего добавили 5 кг чистой воды и получили 20 % раствор. Если бы вместо чистой воды добавили 5 кг 80 % раствора, то получили бы 70 % раствор. Сколько было 40 % и 60 % растворов?
Решение:
Обозначим массу первого раствора Х, а массу второго раствора Y.отсюда следуя условию можно написать систему уравнений.
( 0,4 * Х + 0,6 * Y )/ ( Х + Y + 5 ) = 20 %
( 0,4 * Х + 0,6 * Y + 4 )/ ( Х + Y + 5 ) = 70 %
или
2 * Х + 3 * Y = Х + Y + 5
4 * Х + 6 * Y + 40 = 7 * Х + 7 * Y + 35
или
Х + 2 * Y = 5
3 * Х + Y = 5
или
Х = 5 – 2 * Y отсюда следует Y = 2 и Х = 1 кг.
Ответ: X = 1кг, Y = 2 кг.
Задача 12: Один раствор содержит 30 % по объему азотной кислоты, а второй 55 %. Сколько нужно взять первого и второго растворов, чтобы получить 100 л. 50 % раствора азотной кислоты?
Решение:
Обозначим массу первого раствора Х, а массу второго раствора Y.отсюда следуя условию можно написать систему уравнений.
0,3 * Х + 0,55 * Y = 0,5 * 100
X + Y = 100
Вторую строчку помножим на 0,3 и отнимем от первой то получим,
0,25 * Y = 20 или Y = 80 л. Отсюда следует 100 – 80 = 20 л.
или X = 20 л.
Ответ: X = 20 л, Y = 80 л.
Литература.
М.В. Лурье, Б.И. Александров. « Задачи на составление уравнений».
Г.В. Королькова. «Методическое пособие по математике» Волгоград 1996 г.
И.Я. Депмана и Н.Я. Виленкина « За страницами учебника математики» М., Просвещение, 1989 г.
Ю.Н. Владимиров «Вступительные испытания по математике в 1998 – 2000 годах » Новосибирск 2000 г.
% = А/100 
оставим уравнение.
= d3 
= 0,1 
= r/100 
= ( V1 * d1 )/40 
= d3
= d3
ешение: при решение этой задачи нужно подойти как к системе уравнений .
Х+У
= r
√Х = [X]. 
Сn + 1 = 
Сn - Сn – 1 = (( q – р )/100 ) * ( A/Vo ) * (1 -A/Vo)n – 1
бъем цилиндра V = π * R2 * h . Так как высота увеличилась на 25 % или на 1/4 и стала равна 5/4*h значит, радиус должен уменьшится на 1/5 и стать 4/5*R . А так как R в квадрате то √4/5*R . Но также и объем уменьшился на 20 % или на 1/5 и стал 4/5*V значит радиус должен уменьшится на 1/5, то есть на √4/5*R . Так как уменьшение произошло дважды на одно и тоже число √4/5*R или в результате на 4/5* R . То радиус уменьшился на 1/4 или на 25 %.
бозначим массу первого раствора Х, а массу второго раствора Y.отсюда следуя условию можно написать систему уравнений.
