Методическая разработка по теме: Простейшие тригонометрические уравнения

Министерство образования Иркутской области

Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение

Иркутской области

«АНГАРСКИЙ Промышленно-экономический ТЕХНИКУМ»

Авторская педагогическая разработка

(комбинаторная)

Простейшие тригонометрические уравнения

Методические указания и контрольные задания для студентов 1 курса дневного отделения по специальностям:

38.02.04 Коммерция (по отраслям)

38.02.01 Экономика и бухгалтерский учет (по отраслям)

54.02.01 Дизайн (по отраслям)

09.02.07 Информационные системы и программирование

Автор-составитель разработки:

Майборская Светлана Владимировна,

преподаватель ГБПОУ ИО «АПЭТ»

А
нгарск

2022 г.

ОДОБРЕНО цикловой комиссией математических и естественнонаучных дисциплин Протокол №__5__ от «_7___» _______12____2022 г. Председатель____________/Козырева В.С.

Автор-составитель:

Майборская Светлана Владимировна, преподаватель ГБПОУ ИО «АПЭТ»

Аннотация: Автор разработал учебно-методическое пособие с целью обеспечения реализации требований ФГОС СПО учебно-методическим комплексом. Пособие предназначено для студентов очной формы обучения. В нем представлена одна из важных тем в Тригонометрии.

Рассмотрено на заседании методического совета и рекомендовано к использованию в учебном процессе в ГБПОУ ИО «АПЭТ», протокол №_________ от _____________

СОДЕРЖАНИЕ

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА 4

Теоретический материал 5

Уравнение cos x = a 5

Уравнение sin x = a 6

Уравнение tg x = a 7

Задания для самостоятельной работы 10

Информационное обеспечение обучения 11

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Методические указания по дисциплине «Математика» составлены на основе профессиональной образовательной программы ФГОС СПО по специальностям:

38.02.04 Коммерция (по отраслям);

38.02.01 Экономика и бухгалтерский учет (по отраслям);

54.02.01 Дизайн (по отраслям)

09.02.07 Информационные системы и программирование,

и предназначены для реализации требований к результатам освоения изучаемой дисциплины.

Методические указания предназначены для студентов 1 курса дневного отделения по одному из разделов «Тригонометрия». Разговор пойдет о простейших тригонометрических уравнениях.

Студенты могут самостоятельно изучить данную тему, подробно ознакомиться с решением примеров и заданий, разобранных в методических указаниях.

Методические указания ориентированы на достижение следующих целей:

• формирование представлений о математике как универсальном языке науки, средстве моделирования явлений и процессов, об идеях и методах математики;

• развитие логического мышления, пространственного воображения, алгоритмической культуры, критичности мышления на уровне, необходимом для будущей профессиональной деятельности, для продолжения образования и самообразования;

• овладение математическими знаниями и умениями, необходимыми в повседневной жизни, для изучения смежных естественно – научных дисциплин на базовом уровне и дисциплин профессионального цикла, для получения образования в областях, не требующих углублённой математической подготовки;

• воспитание средствами математики культуры личности, понимания значимости математики для научно – технического прогресса, отношения к математике как к части общечеловеческой культуры через знакомство с историей развития математики, эволюцией математических идей.

Математика является фундаментальной общеобразовательной дисциплиной со сложившимся устойчивым содержанием и общими требованиями к подготовке обучающихся. Реализация общих целей изучения математики традиционно формируется в четырёх направлениях – методическое (общее представление об идеях и методах математики), интеллектуальное развитие, утилитарно – прагматическое направление (овладение необходимыми конкретными знаниями) и воспитательное воздействие.

В результате изучения предмета студенты должны усвоить, что математические понятия являются абстракцией свойств и отношений реального мира, обладают большой общностью, широкой сферой применимости, что сущность приложения математики к решению практических задач заключается в переводе задач на математический язык, решением их и интерпретации их результатов на язык исходных данных.

Теоретический материал

Простейшими называются тригонометрические уравнения следующих четырёх видов:

Решить простейшее тригонометрическое уравнение — это значит описать множество значений переменной x, для которых данная тригонометрическая функция принимает заданное значение a. Решение любого тригонометрического уравнения сводится, как правило, к решению одного или нескольких простейших тригонометрических уравнений. Простейшие тригонометрические уравнения мы будем решать с помощью тригонометрической окружности

Рассмотрим решение каждого из уравнений.

Уравнение cos x = a

Напомним, что по определению cos x — это абсцисса точки x тригонометрической окружности, которая отвечает углу x. Этого достаточно для рассмотрения данного уравнения. Если a 1 или a

Эта запись подразумевает, что в ней зашифрованы два ответа:

При решении простейших тригонометрических уравнений выделяют 3 частных случая:

1. cos x = 1.

Нас интересуют точки тригонометрической окружности, которые имеют абсциссу 1. Легко видеть, что имеется лишь одна такая точка:

точка: 0 Эта точка соответствует бесконечному множеству углов: 0, 2π, −2π, 4π, −4π, 6π, −6π, . . . Все перечисленные углы получаются из нулевого угла прибавлением целого числа полных углов 2π (то есть нескольких полных оборотов как в одну, так и в другую сторону). Следовательно, все эти углы могут быть записаны одной формулой:

x = 2πn, n ∈ Z. Это и есть множество решений уравнения cos x = 1

1. cos x = −1.

На тригонометрической окружности имеется лишь одна точка с абсциссой −1

Эта точка соответствует углу π и всем углам, отличающихся от π на несколько полных оборотов в обе стороны, то есть на целое число полных углов. Следовательно, все решения уравнения cos x = −1 записываются формулой:

x = π + 2πn, n ∈ Z.

1. cos x = 0.

Отмечаем на тригонометрической окружности точки с нулевой абсциссой. Их две. Эти точки образуют диаметральную пару (то есть служат концами диаметра тригонометрической окружности). Все углы, отвечающие точкам диаметральной пары, отличаются друг от друга на целое число углов π (то есть на целое число полуоборотов как в одну, так и в другую сторону).

Следовательно, все решения уравнения cos x = 0 описываются формулой:

x = π 2 + πn, n ∈ Z.

Рассмотрим несколько примеров.

• cos x = 1 /2

Имеем вертикальную пару точек с абсциссой 1/2:

Все углы, соответствующие верхней точке, описываются формулой:

x₁ = π /3 + 2πn, n ∈ Z.

Все углы, соответствующие нижней точке, описываются формулой:

x₂ = − π /3 + 2πn, n ∈ Z.

Обе серии решений можно описать одной формулой:

x = ± π/ 3 + 2πn, n ∈ Z.

• cos x = √ 2 /2 .

x = ± π /4 + 2πn, n ∈ Z

• cos x = √ 3/ 2 .

x = ± π /6 + 2πn, n ∈ Z.

Уравнение sin x = a

Для рассмотрения уравнения sin x = a достаточно определения синуса: sin x — это ордината точки x тригонометрической окружности, которая отвечает углу x. При a 1 или a

Удобнее же записывать решение обобщенной формулой:

Рассмотрим так же три частных случая решения данного уравнения.

1. sin x = 1.

На тригонометрической окружности имеется единственная точка с ординатой 1

x = π/ 2 + 2πn, n ∈ Z.

1. sin x = −1.

x = − π /2 + 2πn, n ∈ Z.

1. sin x = 0.

Решения данного уравнения описываются простой формулой:

x = πn, n ∈ Z.

Рассмотрим несколько примеров.

• sin x = 1 /2

Возникает горизонтальная пара точек с ординатой 1/2:

Правой точке соответствуют углы:

x₁ = π /6 + 2πn, n ∈ Z.

Левой точке соответствуют углы:

x₂ = 5π/ 6 + 2πn, n ∈ Z.

Обе серии решений x₁ и x₂ можно записать в виде:

x = (−1) ^k π/ 6 + πk, k ∈ Z.

• sin x = √ 2/ 2

x = (−1) ^k π /4 + πk, k ∈ Z.

Уравнение tg x = a

Вспомним, что тангенс может принимать любые значения (область значений функции y = tg x есть всё множество R). Стало быть, уравнение tg x = a имеет решения при любом a. И это решение будем записывать в виде:

Частных случаев при решении таких уравнений не выделяют. Рассмотрим несколько примеров.

Уравнение	Решение
tg x= – 1
tg x= 0
tg x = 1

Уравнение ctg x=a

Вспомним, что котангенс может принимать любые значения (область значений функции y = ctg x есть всё множество R). Стало быть, уравнение ctg x = a имеет решения при любом a. И это решение будем записывать в виде

Частных случаев при решении таких уравнений не выделяют. Рассмотрим несколько примеров

Уравнение	Решение
ctg x= – 1
ctg x= 0
ctgx= 1

Задания для самостоятельной работы Решить простейшие тригонометрические уравнения:

12. 2 sin x =

13. tg (2x+

14. tg

17. sin (x+ ) =

Информационное обеспечение обучения Перечень рекомендуемых учебных изданий, дополнительной литературы Основная литература:

1. Башмаков М.И. Математика: учебник для студ. учреждений сред. проф. образования/ М.И. Башмаков.-5-е изд., стер.-М.: Издательский центр «Академия», 2016.-256 с.

2. Башмаков М.И. Математика: Сборник задач профильной направленности: учебное пособие для студ. учреждений сред. проф. образования/ М.И. Башмаков.-2-е изд., стер.-М.: Издательский центр «Академия», 2016.- 208 с.

Дополнительные источники:

1. Письменный Д.Т., Шевченко Ю.А. «Сборник задач по высшей математике»/Учебник/ - М.: Айрис Пресс, 2007 г, 198 с.

2. Никифорова И. А., О. Н. Самсонюк. Варианты конкурсных задач по математике - БГУЭП, 2006 г., 157 с.

3. Дорофеев Г. В., Г. К.Муравин. Сборник заданий по математике: Дрофа, 2005 г.

4. Булдык . Г. М. Сборник задач и упражнений по высшей математике. Учебник [Текст]/Г.М. Булдык - Минск, Юнипресс, 2010 г

Интернет источники:

1. Математика в Открытом колледже [Электронный ресурс] – режим доступа http://www.mathematics.ru свободный (Дата обращения: 14.09.2022 г.)

2. Математика: уроки, тесты, презентации, конспекты [Электронный ресурс] / Электронные данные. – режим доступа: https://kopilkaurokov.ru/matematika свободный (Дата обращения: 14.09.2022 г.)

14