Методическая разработка урока математики на тему «Решение уравнений вида sin=a»

Государственное областное бюджетное

профессиональное образовательное учреждение

«ЛИПЕЦКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ТЕХНИКУМ»

Методическая разработка

урока математики

на тему

«Решение уравнений вида sinx=a».

Выполнил:

преподаватель математики

первой квалификационной категории

Заварзина В.Г.

Липецк 2015 г.

Тема урока:

” Решение уравнений вида sinx = a. “

Цели урока:

1. Образовательные:

а) Повторить с учащимися определение и свойства функции у = sinx и ее график.

б) Закрепить навыки решения простейших тригонометрические уравнений, а также уравнении, сводящихся к простейшим в результате преобразования тригонометрических выражений.

2. Развивающие:

а) развитие профессиональных качеств обучающихся (умений применять полученные знания на практике);

б) развитие познавательных умений и мышления (выделять главное, анализировать, сравнивать, определять и объяснять понятия).

3. Воспитательные:

а) воспитание навыков самостоятельной работы;

б) воспитание дисциплинированности;

в) воспитание эстетических взглядов.

Тип урока: повторение

Методические приемы: -практический- решение задач

Межпредметные связи: химия-физика- производственное обучение.

Оборудование и наглядные средства обучения: мультимедийный проектор, интерактивная доска, презентация, задачник “Алгебра и начала математического анализа” (профильный уровень часть 1) под редакцией А. Г. Мордковича .

Методическая цель: активизировать мыслительную деятельность обучающихся.

Ход урока.

1. Организационный момент:

Подготовка учащихся к уроку (проверка отсутствующих на уроке, наличие тетрадей)

Сообщение темы и целей урока.(слайд 1,2)

Эпиграф к уроку : ”Изучать что-либо и не задумываться над выученным - абсолютно бесполезно.

Задумываться над чем-либо, не изучив

предварительно предмет раздумий-

опасно.” Конфуций.(слайд 3)

В наших домах, в транспорте, на заводах - всюду работает электрический ток.

Под электрическим током понимают направленное движение свободных электрически заряженных частиц.

Количественной характеристикой электрического тока является сила тока.

Тригонометрические уравнения имеют применение во многих науках: химии, физики, биологии….

Этот урок- первый шаг к изучению тригонометрических уравнений.

2. Проверить домашнее задание по вопросам.(даны подробные ответы)

a) Дайте определение функции sinx.

Q(a; b)

Для любого действительного числа х можно провести радиус OQ этого круга, образующий с осью абсцисс угол, радианная мера которого равна числу х (положительным считается направление поворота против хода часовой стрелки).

Рис.1

Пусть конец единичного радиуса OQ, соответствующего углу х,

совпадает с точкой Q(a;b) окружности; тогда координаты (a;b) точки Q называют координатами конца радиуса, соответствующего углу х.

Определение. Число, равное ординате конца единичного радиуса, соответствующего углу х, называется синусом угла х и обозначается sinx.

Поскольку каждому значению величины угла х на тригонометрическом круге соответствует единственная точка Q(a;b) такая, что радиус OQ образует угол х с осью абсцисс, то введенное отображение y = sinx является функцией.

б) Какая область определения функции?

Область определения функции y = sinx – множество действительных чисел. Пишут D(sin) = R.

в)Какая область значений функции?

E(sin) = [-1;1]. Значение ординаты b будет синусом угла, образованного положительным направлением оси абсцисс и радиусом, соединяющим центр окружности и построенную точку.

г) Назовите периодичность функции.

Наименьший положительный период функции равен 2π . Докажем, что это наименьший положительный период. Рассмотрим значение функции y = sinx, равное единице. Оно достигается, только если х = π/2 + 2πn, n є Ζ. Следовательно, никакое число, меньшее 2π не может быть периодом.

д) Что мы имеем: четность или нечетность?

M(a,b)

Рассмотрим (рис.2) точки M и N, соответствующие на тригонометрическом круге углам х и –х. Поскольку всякий круг симметричен относительно любой прямой, проходящей через его центр (а ось Оx является такой прямой), и равные по величине углы при симметрии переходят в равные углы, то точки M и N симметричны относительно оси Оx, следовательно, их ординаты противоположны. Это означает, что для любого значения х выполнено

sin(-x) = -sinx, т. е. функция y = sinx является нечетной.

е) Какие точки пересечения графика с осями координат?

N(a;-b)

График пересекает ось Ох в точках с абсциссами, определяемыми уравнением sinx=0, т. е.

Рис.2

х = πn, n є Ζ; график пересекает ось Оу в точке с ординатой,

определяемой равенством y = sin0, т.е. у = 0.

ж) Назовите промежутки знакопостоянства функции.

Так как ординаты точек, лежащих в верхней полуплоскости, положительны, а точек, расположенных в нижней полуплоскости, отрицательны, то sinx 0 при

х є (2πk; π + 2πk), k є Ζ; sin x

з) Назовите наибольшее и наименьшее значение.

Наибольшее значение, равное 1, достигается при х = π/2 + 2πn, n є Ζ ; наименьшее значение, равное -1, достигается при х = - π/2 + 2πn, n є Ζ ;

и) Назовите интервалы возрастания и убывания.

Функция не является монотонной на всей области определения; она является монотонной на отрезках: возрастает при х є ( - π /2 +2πk; π /2 + 2πk), k є Ζ; убывает при

х є (π /2+ 2πk; 3π /2 + 2πk ), k є Ζ .

к) Есть ли асимптоты. График функции асимптот не имеет.

3. Повторение.

Решение уравнения sin х = а.

Поскольку по определению синусом угла называется ордината точки, лежащей на окружности единичного радиуса, то для решения уравнения

sin x =a надо найти на окружности все точки имеющие ординату a, т.е. лежащие на прямой y = a. По теореме о взаимном расположении прямой и окружности на плоскости заключаем, что при |a| 1 прямая и окружность общих точек не имеют, следовательно и рассматриваемое уравнение не имеет решений. Если |a| = 1, то прямая y = a касается окружности, т.е. имеет с ней ровно одну общую точку C. Наконец, если |a| sin x = a вводят понятие арксинуса числа a. Чтобы однозначно определить угол, соответствующий числу а, приходится требовать выполнения дополнительного условия, например, чтобы этот угол принадлежал интервалу [-π /2; π /2].

Определение. Арксинусом числа а, а є [-1;1], называется такое число х, принадлежащее отрезку [-π /2; π /2], синус которого равен а. Это число обозначается arcsin a.

Учитывая периодичность функции y = sin x, получим серию решений

x = arcsin a + 2πk, k є Ζ .

Точка В, как отмечалось, симметрична точке А относительно оси Оу, поэтому ей соответствует угол х2 = π − arcsin a, поэтому можно записать вторую серию решений

x = π − arcsin a + 2πk, k є Ζ .

Других решений рассматриваемое уравнение иметь не может, поскольку противное означало бы, что окружность и прямая пересекаются более чем в двух точках.

Для сокращения записи две полученные серии решений обычно объединяют в одну

x = (-1) arcsin a + πk, k є Ζ .

При четных значениях k эта формула соответствует первой серии решений; при нечетных — второй.

4. Решение нескольких примеров на доске.(слайд 4)

Пример 1

Решить уравнение:

Sin x =-

Применяя формулу получим:

Знак минус можно внести в степень. Тогда получится следующая формула:

Ответ:

Пример 2

Решить уравнение:

Sin x - =0

Приведем уравнение к простому виду.

Sin x =

Применяя фомулу получим:

Ответ:

Пример 3

Решить уравнение:

Sin2x -=0

Приведем уравнение к виду:

Sin2x =

Применяя фомулу получим:

Разделим все уравнение на 2.

Ответ:

Пример 4

Решить уравнение:

Sin2x= 5

Данное уравнение решений не имеет.

Ответ: решений нет.

Пример 5.

Решить уравнение sin(π /6 – 2x) = √3 /2.

Имеем π /6 – 2x = ( - 1) arcsin √3 /2 + πk.

Так как arcsin √3 /2 = π /3,

то

π /6 – 2x = ( - 1) π /3 + πk,

откуда х = - ( - 1) π /6 + π /12 + πk /2,

или

х = (-1) π /6 + π /12 (6k + 1), k є Ζ.

Пример 6. Решить уравнение (1-sinx)(tg x-3) = 0.

Найдем значения х, удовлетворяющие каждому из уравнений 1-sinx = 0 и tg x-3 = 0; если sinx = 1,то получим

x = π /2 + 2πk, k є Ζ; (1)

если tg x = 3, т. е. tgx = ±√3, то

x = ±π /3 + πn, n є Ζ. (2)

Однако было бы ошибочным считать ответом объединение решений (1) и (2).

Ответом является только второе решение x = ±π /3 + πn, n є Ζ.

Пример 7

sinx = 0,3

Решение: х = (-1)ⁿarcsin 0,3 + πn,    n ∈ Z

Самостоятельная работа.(слайд 5)

I Вариант.

1. Sin x =

2. Sin 2x =

3. Sin x =

4. 2Sin =

II Вариант.

1. Sin x = 1

2. Sin x =- 1

3. Sin =-2

4. 2Sin =

(Обучающиеся делают работу на листочках и сдают на проверку)_

1. Заключение урока.

Итог урока. Рефлексия. Оценки за урок. Вы сегодня решали тригонометрические уравнения. Что это за уравнения? Какой вид тригонометрических уравнений вы изучили?

Объявление отметок.

6. Домашнее задание из задачника № 22.8 (а,б)

Спасибо за урок!

Список литературы:

1. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса /Б.М. Ивлев, С.М. Саакян, С.И. Шварцбурд. – М.: Просвещение, 2003.

2. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10–11 кл. общеобразовательных учреждений / А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын и др.; Под. ред. А.Н. Колмогорова. – М.: Просвещение, 2004.

3. Алгебра и начала математического анализа. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных . учреждений (профильный уровень)/А.Г. Мордкович и др. ; под редакцией А.Г. Мордковича—7-е изд., стер.—М.: Мнемозина, 2010.

4. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10 кл. общеобразоват. учреждений /С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин. – М.: Просвещение, 2003.

5. Задачи по алгебре и началам анализа: Пособие для учащихся 10–11 кл. общеобразоват. учреждений /С.М. Саакян, А.М. Гольдман, Д.В. Денисов. – М.: Просвещение, 2003.

6. Галицкий М.Л. и др. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики/ М.Л. Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич. – 3-е изд. – М.: 1996. – 271 с.: ил.

Тема урока :

• ” Решение уравнений
• вида sinx = a. “

Цели урока:

• а) Повторить с учащимися определение и свойства функции у = sinx и ее график.
• б) Закрепить навыки решения простейших тригонометрические уравнений, а также уравнении, сводящихся к простейшим в результате преобразования тригонометрических выражений.

• ” Изучать что-либо и не задумываться над
• выученным - абсолютно бесполезно.
• Задумываться над чем-либо, не изучив
• предварительно предмет раздумий-
• опасно.”

• из задачника № 22.8 (а,б)

а)sinx=

б) sinx=